TNS et Analyse Spectrale

1. TNS et Analyse Spectrale III. La Transformée de Fourier Rapide IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP VI. Estimation spectrale paramétrique I. Le DSP : Introduction II. La Transformée de Fourier Discrète

2. module de la réponse en fréquences de boxcar 1 0.9 0.8 0.7 0.6 mod 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 freq. reduite V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP 1) Utilisation des fenêtres temporelles en analyse spectrale - La TFD implique l ’utilisation implicite d ’une fenêtre rectangulaire sur les données. équivalent à avec - L ’inconvénient de la fenêtre rectangulaire est son premier lobe secondaire à seulement -13 dB sous le lobe principal et une pente des pics suivants à -6 dB /octave. Ceci est très gênant en cas de signal faible de fréquence voisine d ’un signal fort. - L ’avantage de la fenêtre rectangulaire est son lobe principal le plus étroit et donc une résolution fréquentielle maximale pour un nombre de points donnés. » N=128;w=boxcar(N);N1=2048;W=fft(w,N1);mod=abs(W(1:N1/8));f=[0:N1/8-1]/N1; » plot(f,mod/N), axis([0 0.125 0 1])

3. V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP - De nombreuses fenêtres temporelles ont été proposées pour améliorer ce point (diminution des lobes secondaires au prix d ’un élargissement du lobe principal). Les plus utilisées sont : - La fenêtre de Hanning (ou cosinus surélevé) lobe secondaire le plus élevé :-31 dB, pente -18 dB/octave - La fenêtre de Hamming lobe secondaire le plus élevé :-41 dB, pente -6 dB/octave - La fenêtre de Blackman combine les 2 précédentes lobe secondaire le plus élevé :-57 dB, pente -18 dB/octave - La fenêtre de Kaiser est aussi très employée I0[ ] est la fonction de Bessel modifiée d ’ordre 0 de première espèce et b un paramètre de compromis entre largeur du lobe principal et niveaux des lobes secondaires. En pratique 4 < b < 9

4. fenêtre de hamming module de la réponse en fréquences de hamming 1 0 0.9 -10 0.8 -20 0.7 -30 0.6 -40 amp 0.5 dB -50 0.4 -60 0.3 -70 0.2 -80 0.1 -90 0 0 20 40 60 80 100 120 140 -100 indice 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 freq. reduite module de la réponse en fréquences de blackman module de la réponse en fréquences de hanning 0 0 -10 -10 -20 -20 -30 -30 -40 -40 dB -50 dB -50 -60 -60 -70 -70 -80 -80 -90 -90 -100 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 -100 freq. reduite 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 freq. reduite V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP » N=128;w=hamming(N);N1=2048;W=fft(w,N1);mod=abs(W(1:N1/8));f=[0:N1/8-1]/N1; » stem(w) » plot(f,20*log10(mod/max(mod))), axis([0 0.125 -100 0])

5. module de la réponse en fréquences de kaiser pour beta=9 module de la réponse en fréquences de kaiser pour beta=4 0 0 -10 -10 -20 -20 -30 -30 -40 -40 dB -50 dB -50 -60 -60 -70 -70 -80 -80 -90 -90 -100 -100 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 freq. reduite freq. reduite V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP Ex. : Tracer les fenêtres de Kaiser en temps et en fréquence pour b = 4 et b =9 En déduire le niveau du lobe secondaire le plus élevé et la pente

6. fft des 3 sinusoides signal déterministe de 3 sinusoides 80 2 70 1.5 60 1 50 0.5 mod. 40 amp. 0 30 -0.5 20 10 -1 0 -1.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 freq. réduite 0 20 40 60 80 100 120 ech. V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP Ex. : Transformée de Fourier d ’un signal déterministe comprenant 3 sinusoides d ’amplitude différente. Utilisation du zero-padding (remplissage de zéros) et d’une fenêtre temporelle. »N=128;A1=1;A2=1;A3=0.01;f1=0.1;f2=0.11;f3=0.3;k=[0:N-1]; » x=A1*cos(2*pi*f1*k)+A2*cos(2*pi*f2*k)+A3*cos(2*pi*f3*k); » X=fft(x,N);plot([0:N/2-1]/(N),abs(X(1:N/2))) » X=fft(x,2*N);plot([0:N-1]/(2*N),abs(X(1:N))) » X=fft(x'.*hanning(N),N);plot([0:N/2-1]/(N),abs(X(1:N/2)))

7. fenêtrage du signal par Hanning fft des 3 sinusoides avec Hanning 1.5 30 1 25 0.5 20 amp. 0 mod. 15 -0.5 10 -1 5 -1.5 0 20 40 60 80 100 120 140 ech. 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 freq. réduite fft des 3 sinusoides avec Hanning et zero-padding 30 25 fft des 3 sinusoides avec zéro-padding 80 20 70 60 mod. 15 50 10 mod. 40 30 5 20 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 10 freq. réduite 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 freq. réduite V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP Ex./suite : Transformée de Fourier d ’un signal déterministe comprenant 3 sinusoides d ’amplitude différente. Utilisation du zero-padding (remplissage de zéros) et d’une fenêtre temporelle.

8. V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP 2) Estimation de la DSP a) Le corrélogramme simple - La DSP , donc si on a un bon estimateur de la fonction d ’autocorrélation, en prenant la TF, on aura un bon estimateur de la DSP - On a 2 estimateurs non biaisé et biaisé de l ’autocorrélation, - On garde l ’estimateur biaisé. Le corrélogramme simple est défini comme la TF de l ’autocorrélation :

9. V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP - Calcul du biais du corrélogramme simple : est un estimateur biaisé. - Calcul de la variance du corrélogramme simple : - La variance du corrélogramme ne dépend pas du nombre de points N. Cet estimateur est inconsistant. A constante de proportionnalité

10. V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP b) Le périodogramme simple - La DSP - si on supprime l ’opérateur espérance E et qu ’on le remplace par l ’ estimateur de la fonction d ’autocorrélation, sur les N données disponibles et qu ’on développe, on obtient un nouvel estimateur , directement à partir des données. - On définit le périodogramme simple : - est un estimateur biaisé de la DSP - La variance est proportionnelle à la DSP, donc le périodogramme est un estimateur inconsistant de la DSP - Le corrélogramme simple et le périodogramme simple sont égaux en théorie.

11. V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP c) Le périodogramme moyenné - L ’idée est de réduire la variance des estimateurs précédents par moyennage sur des estimateurs indépendants. - On divise les N données en L sections successives de M observations chacune. on calcule M périodogrammes simples qu ’on moyenne pour obtenir le périodogramme moyenné : - est un estimateur biaisé de la DSP (plus M est petit, plus le biais est important) - La variance est proportionnelle à la DSP, mais diminue quand L augmente. - Il faudra trouver un compromis biais-variance

12. V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP d) Le corrélogramme lissé - On réduit la variance des estimateurs spectraux par lissage en fréquence, ce qui revient à multiplier par une fenêtre temporelle. - On prend l ’estimateur de l ’autocorrélation qu ’on multiplie par une fenêtre de longueur 2*M- 1 avec M < N. - On définit le corrélogramme lissé : - w(k) doit être paire pour que l ’estimateur de la DSP soit réel et positif. -L ’énergie de la fenêtre doit être égale à 1 : - est un estimateur biaisé de la DSP (plus M est petit, plus le biais est important) - On peut définir également le périodogramme lissé (fenêtre w(k) d ’énergie 1) :

13. V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP e) Le périodogramme de Welch - On combine les périodogrammes moyenné et lissé. - On divise les N données en L sections successives de M observations chacune multipliée par une fenêtre w(k). - On calcule M périodogrammes lissés qu ’on moyenne pour obtenir le périodogramme modifié dit de Welch : -C est un facteur de normalisation dû à la fenêtre w(k) - En pratique on utilisera la FFT et M sera une puissance de 2. - La variance diminue quand L augmente mais la résolution fréquentielle diminue aussi. - On autorise un recouvrement (overlap) des sections pour améliorer la résolution fréquentielle. - la fonction psd (ou spectrum) de matlab utilise par défaut M=256, un overlap de 50% et une fenêtre w(k) de Hanning.

14. DSP des 3 sinusoides bruitées 400 tracé des 3 sinusoides bruitées 350 4 300 3 250 2 amp 200 1 amp 150 0 100 -1 -2 50 -3 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -4 freq. red. 0 500 1000 1500 2000 ech. DSP des 3 sinusoides bruitées 1 DSP des 3 sinusoides bruitées 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 amp amp 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 freq. réd. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 freq. réd. V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP »N=2048;A1=1;A2=1;A3=0.01;f1=0.1;f2=0.11;f3=0.3;k=[0:N-1]; » x=A1*cos(2*pi*f1*k)+A2*cos(2*pi*f2*k)+A3*cos(2*pi*f3*k); » x=x+1.*randn(1,N); Tracer la DSP du signal x(k) » NFFT=N;NOVER=0,WIND=hanning(NFFT);P=SPECTRUM(x,NFFT,NOVER,WIND); » f=[0:length(P)-1]/NFFT;plot(f,P(:,1)) » NFFT=128;NOVER=0,WIND=hanning(NFFT);P=SPECTRUM(x,NFFT,NOVER,WIND); » NFFT=1024;NOVER=7*NFFT/8,WIND=hanning(NFFT);P=SPECTRUM(x,NFFT,NOVER,WIND);