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TNS et Analyse Spectrale

TNS et Analyse Spectrale. III. La Transformée de Fourier Rapide IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP VI. Estimation spectrale paramétrique. I. Le DSP : Introduction. II. La Transformée de Fourier Discrète.

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  1. TNS et Analyse Spectrale III. La Transformée de Fourier Rapide IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP VI. Estimation spectrale paramétrique I. Le DSP : Introduction II. La Transformée de Fourier Discrète

  2. III. La Transformée de Fourier Rapide 1) Forme matricielle de la TFD a) propriétés de la racine n-ième de l ’unité Propriétés : - - - - - - -

  3. III. La Transformée de Fourier Rapide b) forme matricielle de la TFD et de la TFDI

  4. III. La Transformée de Fourier Rapide 2) FFT par entrelacement temporel • La FFT a été proposée par Cooley et Tukey en 1965. Il en existe plusieurs versions dont la FFT par entrelacement temporel : • Ex. N=4 • En utilisant les propriétés de la racine n-ième de l ’unite :

  5. X0 x(0) a a+WNkb X1 1 1 x(2) -j 1 X2 WNk a-WNkb x(1) b X3 x(3) III. La Transformée de Fourier Rapide • X0= ( x(0) + x(2) ) + ( x(1) + x(3) ) • X2= ( x(0) + x(2) ) - ( x(1) + x(3) ) • X1= ( x(0) - x(2) ) + WN( x(1) - x(3) ) • X3= ( x(0) - x(2) ) - WN ( x(1) - x(3) ) A partir d ’une cellule de base appelée papillon FFT (butterfly) : • la FFT pour N=4 peut être représentée par :

  6. X0 x(0) X1 1 1 x(2) -j 1 X2 x(1) X3 x(3) III. La Transformée de Fourier Rapide • - comparaison des coûts de calcul : • calcul direct : 4 fois (4 multiplications+3 additions) = 16 multiplications+12 additions • calcul par la fft : 2 fois (2 multiplications+4 additions) = 4 multiplications+8 additions • - FFT par entrelacement temporel car il a fallu mélanger les échantillons x(k) grâce au renversement des bits (bit reverse) de la représentation binaire des indices sur L bits avec N=2L • pour N=4, L=2 bits :

  7. x(0) X0 X1 1 x(4) 1 x(2) X2 W2 1 X3 x(6) x(1) W X4 1 1 x(5) X5 W2 1 x(3) X6 W3 W2 1 x(7) X7 III. La Transformée de Fourier Rapide • - FFT d ’ordre N=8 par entrelacement temporel, L=3 : • W=exp(-j2p/N)= exp(-jp/4)

  8. III. La Transformée de Fourier Rapide • - comparaison générale des coûts de calcul pour N puissance de 2, N=2L et L=log2(N) : • calcul direct de la TFD : N fois N multiplications complexes • calcul par la FFT : L fois (N/2 multiplications+N additions) soit L.N/2 multiplications • -ex. N=1024, TFD :1.048.576 mult. FFT : 5.120 mult. soit un rapport TFD/FFT de 205 • - Il existe bien d ’autres algorithmes rapides pour calculer la TFD, comme par exemple la FFT par entrelacement fréquentiel (decimation in frequency) : • - Les échantillons ne sont pas entrelacés mais la sortie de la FFt doit être désentrelacée fréquentiellement. • - ces algorithmes basés sur des papillons d ’ordre 2 (2 entrées-2 sorties) sont dit radix-2 mais il existe aussi des algorithmes dits radix-4 (papillons d ’ordre 4) et des algorithmes mixtes pour N différent de 2L

  9. nb de flops pour une fft 4 x 10 15 10 5 0 20 40 60 80 100 120 ordre de la fft III. La Transformée de Fourier Rapide • - estimation avec matlab du nombre de flops pour une fft d ’ordre N variant de 15 à 129 • for n=15:129, flops(0), fft([1:n]),count(n)=flops, end

  10. II. La Transformée de Fourier Discrète Ex. 1 Soit le signal réel de longueur N, x(k) : x=[1 1 0 0 0 0 0 0] - utilisez le diagramme en papillons de la FFT pour donner sa TFD - vérifier le résultat avec matlab - calculer la TFD inverse en utilisant le diagramme en papillons - vérifier le résultat avec matlab

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