Analyse Spectrale de Fourier

1. Analyse Spectrale de Fourier - définition de la densité spectrale de puissance - erreurs aléatoires : propriétés des estimateurs - effet de biais - effet des fenêtres fuites - les Unités analyse spectrale

2. Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de puissance : définition • x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique) • n: [-,+] • T=1 • 2 formulations équivalentes : • transformée de Fourier de la Fonction d ’autocorrélation • moyenne (d ’ensemble) du module carré de la T de Fourier analyse spectrale

3. Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de puissance : estimateur • x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique) • n: [-1,N], nombre de points fini • T=1 • 2 estimateurs (équivalents quand N>>>): • corrélogramme • périodogramme analyse spectrale

4. Analyse Spectrale de Fourierestimateur du périodogramme • On utilise l ’estimateur du périodogramme : calcul avec la FFT. • Propriétés de l ’estimateur : • biais : =E [Sxx/per(k)] = Sxx(k) quand N>> • sans biais asymtotiquement • variance : = E[Sxx/per(k)- ]²  S²xx/per(m) • la variance est très importante !! analyse spectrale

5. Analyse Spectrale de Fourierestimateur du périodogramme Bruit blanc filtré passe-bas superposition de [20 FFT]² calculées sur des tranches de 256 points analyse spectrale

6. Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme Moyenné: contrôle de la variance(1) • D ’où l ’idée de moyenner l ’estimateur du périodogramme sur plusieurs ‘ tranches ’ du signal. (Moyenne d ’ensemble) -WELCH- N points par tranche M 1 2 m SM S1 S2 Sm ( Sm)/M S analyse spectrale

7. Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme : effet du moyennage Bruit blanc filtré passe-bas moyenne de [2 FFT]² calculées Moyennage de 20 [FFT]² analyse spectrale

8. Analyse Spectrale de Fourierpropriétés du périodogramme moyenné • Le moyennage permet de diminuer la variance. Le biais ne change pas puisqu ’il ne dépend que de N (longueur chaque tranche). • Propriétés de l ’estimateur : • biais : =E [Sxx/per/moy(k)] = Sxx(k) quand N>> • sans biais asymtotiquement • variance : = E[Sxx/per/moy(k)- ]²  S²xx(k)/M • la variance diminue en 1/M !! • Écart-type: =S(k)/M • ps: les résultats sont obtenus en supposant une distribution gaussienne ainsi qu ’une indépendance des tranches. analyse spectrale

9. Analyse Spectrale de FourierPériodogramme Moyenné par recouvrement • il faut augmenter M pour diminuer la variance • le TEMPS d ’ANALYSE Tmax >N.M.T peut être prohibitif N points par tranche 1 2 m M S1 S2 Sm SM ( Sm)/M S analyse spectrale

10. Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme moyenné :recouvrement(2) • Une méthode pour diminuer Tmax . On fait recouvrir les tranches . Mais Les tranches ne sont plus ‘ indépendantes ’: • la variance décroît moins vite avec N • les fenêtres contribuent à rendre ‘  indépendantes ’ les tranches Fenêtre rectangulaire Fenêtre type Hanning analyse spectrale

11. Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme :contrôle du biais • Estimateur asymtotiquement non biaisé • il faut augmenter N (c ’est-à-dire augmenter la résolution fréquentielle) pour diminuer le biais • si f =1/NT trop grand : • sous estimation des maximum (pics) • sur-estimation des minimum • en général T fixé par l ’analyse  N • une régle pratique : pour un ‘ pic ’ de largeur f0 : • il faut choisir N tel que : f = 1/NT < f0/4 • pour un système à 1ddl avec amortissement visqueux . • f0=2 fr r fr f résonance; r amortissement réduit analyse spectrale

12. Analyse Spectrale de Fouriereffet des fenêtres : exemple • Démo ‘ fuites ’ (voir DFT) • 1 sinusoïde dont la fréquence correspond à une raie FFT • 1 sinusoïde dont la fréquence se situe entre 2 raies • - comparaison des fenêtres de Hanning et rectangulaire • l ’effet des raies latérales dues à une fenêtre font augmenter la puissance . • Ceci est corrigé en divisant par ‘ la puissance équivalente de la fenêtre ’. Voir tableau chapitre ‘ DFT ’. La correction est faite sur les analyseurs. analyse spectrale

13. Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros : zeros padding • Objectifs : • augmenter la taille de la tranche pour avoir N = puissance de 2 • augmenter la résolution ??? • Intérêts : les transitoires, signaux courts • résultats : • interpolation entre les points DFT calculés sans l ’ajout de zéros • la fonction d ’interpolation est liée à la fenêtre de pondération l analyse spectrale

14. Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros : exemple • démo fouzéros analyse spectrale

15. Analyse Spectrale de FourierUnités : signaux continus • Signaux périodiques • Signaux non-périodiques analyse spectrale

16. Analyse Spectrale de FourierUnités : signaux discrets • Discret : • T  N.T • dt  T • df   f=1/N T •    • l ’ENERGIE totale T= N.T • V².sec • or à cause de la division par N dans la DFT inverse, Parseval s ’écrit: • rem: on introduit un facteur 2 pour tenir compte des fréquences négatives analyse spectrale

17. Analyse Spectrale de FourierUnités : résumé • x( ) en Volts • Puissance DS Puissance Energie DS Energie • V² V²/Hz V².sec V².sec/Hz=V².sec² • amplitude • V V/Hz V.  sec V.sec analyse spectrale

18. Analyse Spectrale de FourierUnités : signaux discrets, exemple analyse spectrale