Lineaire functies

1. Lineaire functies • Lineaire functie • y is een lineaire functie van x betekent y = ax + b • met • de grafiek is een lijn door het punt (0, b) met richtingscoëfficiënt (helling) a • richtingscoëfficiënt a betekent 1 naar rechts en a omhoog. 14.1

2. n = aT + b met n = 1,6T + b T = 24 en n = 32 Dus n = 1,6T – 6,4. n = 1,6T – 6,4 geeft 1,6T = n + 6,4 T = 0,625n + 4 n = geeft T = 0,625 · 22 + 4 T = 17,75 Dus de temperatuur is bijna 18 ºC. opgave 4 a 1,6 · 24 + b = 32 38,4 + b = 32 b = –6,4 b c

3. Vergelijkingen van de vorm ax + by = c • De algemene vorm van een lineaire vergelijking met de variabelen • x en y is ax + by = c. • De bijbehorende grafiek is een rechte lijn. • Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt • bv. x = 5 • Van een horizontale lijn is de richtingscoëfficiënt 0 • bv. y = –2 14.1

4. y 3 p l opgave 7 a n 2 m • • 1 n • • • x -1 4 -3 -2 0 1 2 3 5 6 -1 m -2 q • -3 rcl = 3 rcm = –1 rcn = 1 rcp = 0 rcq = bestaat niet b -4 l -5

5. Het oplossen van een stelsel vergelijkingen • Kies één van de vergelijkingen om een variabele vrij te maken. • Substitueer wat je gekregen hebt in de andere vergelijking. • Bereken de andere variabele door de vergelijking bij 1. te gebruiken. 14.1

6. x + 4y = 38, dus x = –4y + 38. x = –4y + 38 en 3x – 2y = –12 geeft 3(–4y + 38) – 2y = –12 –12y + 114 – 2y = –12 –14y = –126 y = 9 y = 9 en x = –4y + 38 geeft x = 2. Dus x = 2 en y = 9. opgave 14

7. Stel ze beleggen x euro in fonds A en y euro in fonds B. Los op x + y = 150 000, dus x = –y + 150 000. x = –y + 150 000 en 0,06x + 0,08y = 11 000 geeft 0,06(–y + 150 000) + 0,08y = 11 000 –0,06y + 9000 + 0,08y = 11 000 0,02y = 2000 y = 100 000 y = 100 000 en x = –y + 150 000 geeft x = 50 000. In fonds A wordt 50 000 euro ondergebracht. opgave 16 x + y = 150 000 0,06x + 0,08y = 11 000

8. l = 50 geeft BMR = 66 + 13,7g + 5h – 6,8 · 50 BMR = 66 + 13,7g + 5h – 340 BMR = 13,7g + 5h – 274 l = 28, g = 68 en BMR = 1700 geeft 66 + 13,7 · 68 + 5h – 6,8 · 28 = 1700 807,2 + 5h = 1700 5h = 892,8 Zijn lengte is 179 cm. BMR = 66 + 13,7g + 5h – 6,8l g = h – 100 l = 40 opgave 21 a b c BMR = 66 + 13,7(h – 100) + 5h – 6,8 · 40 BMR = 66 + 13,7h – 1370 + 5h – 272 BMR = 8,7h – 1576

9. Kwadratische formules • De algemene vorm van een kwadratische formule is • y = ax2 + bx + c, waarbij a niet nul is. • Voor a > 0 is de grafiek een dalparabool, • voor a < 0 is de grafiek een bergparabool. 14.2

10. –0,002q2 + 24q = 0 q(–0,002q + 24) = 0 q = 0 ⋁ –0,02q + 24 = 0 q = 0 ⋁ –0,002q = –24 q = 0 ⋁ geeft Uit de schets volgt dat R maximaal is voor q = 6000. De maximale opbrengst per maand is Rmax = –0,002 · 60002 + 24 · 6000 Rmax = 72 000 euro. opgave 25 a = 12 000 R b q O 6000

11. –0,002q2 + 24q = 64 000 –0,002q2 + 24q – 64 000 = 0 q2 – 12 000q + 32 000 000 = 0 (q – 4000)(q – 8000) = 0 q = 4000 ⋁q = 8000 Aflezen: bij aantallen tussen 4000 en 8000 is de opbrengst meer dan 64 000 euro. opgave 25 c d

12. Kwadratische vergelijkingen • Kwadratische vergelijkingen die te herleiden zijn tot de vorm AB = 0. • maak het rechterlid 0 • ontbind het linkerlid in factoren • pas toe AB = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0 • abc-formule • Vergelijkingen van de vorm A2 = B2 • Uit A2 = B2 volgt • A = B⋁ A = –B • Vergelijkingen van de vorm AB = AC • Uit AB = AC volgt • A = 0 ⋁ B = C 14.2

13. T = 2,50; A = 40 000 en A = aT 2 + bT + 60 000 geeft 6,25a + 2,50b + 60 000 = 40 000 ofwel 6,25a + 2,50b = –20 000. T = 5,00; A = 25 000 en A = aT 2 + bT + 60 000 geeft 25a + 5b + 60 000 = 25 000 ofwel 25a + 5b = –35 000. 6,25a + 2,50b = –20 000, dus 2,50b = –6,25a – 20 000 ofwel b = –2,50a – 8000. b = –2,50a – 8000 en 25a + 5b = –35 000 geeft 25a + 5(–2,50a – 8000) = –35 000 25a – 12,5a – 40 000 = –35 000 12,5a = 5000 a = 400 a = 400 en b = –2,50a – 8000 geeft b = –9000. Dus a = 400 en b = –9000. opgave 37 a

14. A = 400T 2 – 9000T + 60 000 R = T· A R = T(400T 2 – 9000T + 60 000) R = 400T 3 – 9000T 2 + 60 000T = 1200T 2 – 18 000T + 60 000 geeft 1200T 2 – 18 000T + 60 000 = 0 T 2 – 15T + 50 = 0 (T – 5)(T – 10) = 0 T = 5 ⋁T = 10 Uit de schets volgt dat R maximaal is voor T = 5. De dagopbrengst is dus maximaal bij een toltarief van € 5,00. opgave 37 b c

15. Gebroken vergelijkingen oplossen en breuken herleiden • Gebroken vergelijkingen • Rekenen met breuken geeft A = BC geeft A = 0 geeft AD = BC 14.3

16. opgave 43 a

17. opgave 44 a

18. opgave 48 a

19. opgave 50 a Dus en

20. opgave 54 a Dus en b = 16. b

21. Lineaire en exponentiële groei • Lineaire groei • N = at + b • Om a te berekenen gebruik je het verschil van de twee gegeven N-waarden. • Exponentiële groei • N = b· gt • Om g te berekenen gebruik je het quotiënt van de twee gegeven N-waarden. • Is de groeifactor per tijdseenheid g, dan is de groeifactor per n tijdseenheden gn. 14.4

22. N1 = at + b met N1 = –90t + b t = 6 en N1 = 2180 Dus N1 = –90t + 2720. N2 = b· gt met g4 tijdseenheden = dus gtijdseenheid = N2 = b · 0,956t t = 6 en N2 = 2180 Dus N2 = 2858 · 0,956t. opgave 57 a –90· 6 + b = 2180 b = 2720 b· 0,9566 = 2180

23. N2 = 2 · N1 2858 · 0,956t = 2(–90t + 2720) Voer in y1 = 2858 · 0,956x en y2 = 2(–90x + 2720). Intersect geeft x ≈ 25,1. Dus voor t = 25,1 opgave 57 b

24. Rekenregels voor machten 14.4

25. opgave 61 a

26. opgave 62 a

27. Variabelen vrijmaken bij machtsformules • Uit xn = a volgt • Variabelen vrijmaken bij logaritmische formules • Uit glog(x) = y volgt x = gy. • glog(gy) = y en • Variabelen vrijmaken bij exponentiële formules • Rekenregels bij logaritmen x≥ 0 en a ≥ 0 14.4

28. geeft opgave 65 a

29. opgave 66 a geeft

30. g = 185 geeft S = 290 log(185 + 100) – 550 S≈ 161,9 De schouderhoogte is 162 cm. S = 210 geeft 290 log(g + 100) – 550 = 210 290 log(g + 100) = 760 De spanwijdte is 318 cm. opgave 70 a b

31. S = 290 log(g + 100) – 550 geeft 290 log(g + 100) – 550 = S 290 log(g + 100) = S + 550 g = 78,8 · 1,008S – 100 opgave 70 c

32. opgave 76 a