RÚDSZERKEZETEK KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEI

1. RÚDSZERKEZETEK KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEI

2. DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK • RÚD: olyan egyenes tengelyű tartószerkezet, melynek egyik mérete a másik kettőnél lényegesen nagyobb (L>>h, b) • RÚDSZERKEZET: rudakból csomóponti kapcsolatokkal és támaszokkal összeállított tartószerkezet MEGJEGYZÉS: szűkített értelemben (RÁCS)RÚDnak azokat a rudakat nevezzük, amelyekben CSAK normálerő működik, azokat a rudakat pedig, amelyek a terhelést jellemzően nyíróerőkkel és nyomatékokkal veszik fel, GERENDÁknak nevezzük. A görbe tengelyű rúdszerű szerkezeteket poligonálisan egyenes tengelyű darabokból összeállítottnak tekinthetjük. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

3. DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK • KERESZTMETSZET: a rúd tengelyére MERŐLEGESEN FELVETT metszet • A rúd PRIZMATIKUS (a km. alakja-mérete a hossz mentén nem változik) TENGELYEK: • a rúd tengelye x • a keresztmetszet síkjában a vízszintes tengely y a függőleges tengely z(ezek nem feltétlenül tehetetlenségi főirányok!) • a km. síkjában az „erős” tengely (1. főirány) u, a „gyenge” tengely (2. főirány) v KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

4. DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK ANYAGTULAJDONSÁGOK: a rúd anyaga • HOMOGÉN (az anyagjellemzők HELYfüggetlenek) • IZOTROP (az anyagjellemzők IRÁNYfüggetlenek) • (ideálisan) RUGALMAS (F/e ill. s/e konstans) • lokálisan RUGALMAS-KÉPLÉKENY KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

5. DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK VISELKEDÉSI TULAJDONSÁGOK: • A RÚD alakváltozása ELÉG KICSINY ahhoz, hogy hatását az igénybevételek számítása során elhanyagolhassuk (megmerevítés elve, I. rendű számítás) • az alakváltozás során a rúd KERESZTMETSZE-TEI SÍKOK maradnak és a hossztengellyel párhu-zamos ELEMI SZÁLAK a keresztmetszeti síkokra MERŐLEGESEK maradnak (ez utóbbi feltevés nem minden esetben tartható!) KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

6. DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK IGÉNYBEVÉTELEK: térbeli rúd egy kereszt-metszetében előfordulható igénybevételek: Nx normálerő Tz vagy Tv nyíróerő Ty vagy Tu nyíróerő Mx csavarónyomaték My vagy Mu hajlítónyomaték Mz vagy Mv hajlítónyomaték My =Mu Ty =Tu Mx y(=u) Mz =Mv Nx x Tz =Tv z (=v) KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

7. DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK Az igénybevételek FÜGGETLENSÉGE: • A számítások során arra törekszünk, olyan közelítéseket alkalmazunk, hogy az egyes igénybevételekből származó feszültségek a többi igénybevételtől FÜGGETLENÜL legyenek számíthatók. MEGJEGYZÉS: a Tz nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van My hajlítónyomaték, ill. a Ty nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van Mz hajlítónyomaték!!!! d(My(x)/dx=-Tz(x); ill. d(Mz(x)/dx=-Ty(x) KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

8. DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK Az igénybevételek FÜGGETLENSÉGE: Alapállapotban a megfelelőséget a normál- ill. a nyírófeszültségekre KÜLÖN-KÜLÖN ellenőriz-zük, a különböző hatásokból származó, de azonos jellegű (normál- ill. nyíró-) feszültségeket (vekto-riálisan) összegezve. Erős kihasználtság esetén e kétfajta, ugyanazon pontban egyidejűleg működő feszültség EGYÜTTES hatását is vizsgálni kell (összehasonlító feszültségvizsgálat, törési feltételek, főfeszültségvizsgálat). KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

9. Nx TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS) NxTy Tz Mx My Mz Tiszta húzás (nyomás) esetén CSAK tengely- irányú, centrikus (a teher- bírási középponton támadó) erő terheli a keresztmetszetet. Az ébredő p(x,y,z) keresztmetszeti feszültségeknek biztosan lesz x irányú, azaz s feszültségkomponense, vagy másként: ez a normálerő a keresztmetszeti s feszültségrendszer eredőjeként értelmezhető. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

10. TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS Ha a keresztmetszetben általános állású feszültségvektorokat tétele-zünk fel, akkor az egyes pontok-ban a nyírófeszültségek a két csat-lakozó darabon ellentétes kereszt-irányú deformációkat okoznának, és emiatt az átvágott keresztmet-szetben a két tartódarab végmetsze-tei nem illeszkedhetnének, ami vi-szont sérti az anyag folytonosságát. EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS! KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

11. TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS) Ha a keresztmetszetben csak normál-feszültséget tételezünk fel, de annak eloszlását nem egyenletesnek tekint-jük, akkor az egyes pontokban az el-térő normálfeszültségi értékek miatt a fajlagos nyúlások is különbözők len-nének, és emiatt az átvágott kereszt-metszetben a két tartódarab végmet-szetei nem illeszkedhetnének, ami viszont sérti az anyag folytonosságát. EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS! KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

12. TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS A centrikusan húzott rúd közbenső ke-resztmetszeteiben az anyag folytonos-sága csak úgy biztosítható, ha a ke-resztmetszetekben CSAK ex fajlagos nyúlás keletkezik és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben EGYENLE-TES azaz a keresztmetszetben CSAK sx normálfeszültség ébred, és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben (szintén) EGYENLETES. sx=Nx/A KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

13. My! Tz =Tv Mz! Ty =Tu TISZTA NYÍRÁS NxTyTz Mx My Mz A keresztmetszeti igénybevételek differenciális összefüggése miatt a keresztmetszeti nyíróerő léte meg-kívánja a (vele azonos síkban műkö-dő, azonos terhelésből származó) nyomatéki igénybevétel létét. A tiszta (más igénybevételektől mentes) nyírás tehát tényleges rúd-keresztmetszetekben valójában NEM FORDULHAT ELŐ!!! d(My(x)/dx=-Tz(x); ill. d(Mz(x)/dx=-Ty(x)! KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

14. g dx TISZTA NYÍRÁS NxTyTz Mx My Mz Az elméleti lehetetlensé-get elismerve mégis adó-dik olyan terhelési eset, amelyben a keresztmetszet pontjaiban a nyíróerő ha-tása dominál. Ezekre a (kapcsolatokban, kötőele-mekben előforduló) ese-tekre (közelítő megoldás-ként) alkalmazhatónak elfogadjuk a TISZTA NYÍRÁSi igénybevételt. T t t t t Ddz Ddz dx dx A tiszta nyírásban a nyíróerőből csakt feszültségekre számítunk. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

15. t t g/2 t dx t TISZTA NYÍRÁS NxTyTz Mx My Mz t t A tiszta nyírás igénybevétele a ke-resztmetszeteket a tartótengelyre MERŐLEGESEN mozdítja el, és így az elemi szálaknak a keresztmetsze-tekkel bezárt (eredetileg merőleges) állása megváltozik. Az elemi hasáb tengelyre merőleges elmozdulásának a tartótengely mentén mért hosszhoz viszonyított értékét a nyírásra jellem-ző deformációnak, g NYÍRÁSI SZÖGTORZULÁSnak nevezzük. T g t t Ddz dx Ddz dx Általános esetben az elemi hasáb torzulása szimmetrikus, így a g/2 jelenik meg az ábránkon. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

16. t=0 t=0 tx=0 tx tx tx t=0 tx t=0 tx tx tx tx t=0 tx T T tx tx=0 TISZTA NYÍRÁS NxTyTz Mx My Mz A rúd oldalfelületén, az érintősíkokban (a VALA-MI és SEMMI határfelü-letén) SEMMILYEN IRÁNYÚ NYÍRÓFE-SZÜLTSÉG NEM ÉB-REDHET. Emiatt a ke-resztmetszet SÍKJÁBAN a kerület mentén CSAK ÉRINTŐIRÁNYÚ NYÍ-RÓFESZÜLTSÉG kelet-kezhet. t=0 A dualitás miatt tehát a keresztmetsze-ti nyírófeszültségek pontról-pontra mind állásukban, mind nagyságukban ELTÉRŐK lesznek. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

17. tx=0 tx tx tx tx tx tx tx tx tx T T tx tx=0 TISZTA NYÍRÁS NxTyTz Mx My Mz MÉGIS: a gyakorlat számára a kapcsolóelemekben egy ÁTLAGOSÍTOTT, FIK-TÍV nyírófeszültséget veszünk figyelembe, amelynek IRÁNYÁT a nyíróerő irányával azo-nosnak, ELOSZLÁSÁT pedig egyenletesnek vesszük. Az egyenletes fiktív nyírófeszültség alkal-mazása a tiszta nyírású metszetekben rész-ben a képlékeny kiegyenlítődés, részben pedig az anyagellenállás hasonló módon történt meghatározása miatt elfogadható. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

18. Az ellenkező irányba mozdulni akaró lemezelemek közötti sík(ok)ban a kötőelemek igénybevétele TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötőelem csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁSalakul ki. TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás A húzott-nyomott acéllemezek csava-rozott-szegecselt kapcsolatában a kö-tőelemek nyíródó felületein TISZTA NYÍRÁSI igénybe-vételi állapotot tételezhetünk fel. A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

19. TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás A húzott-nyomott acéllemezek csava-rozott-szegecselt kapcsolatában a kö-tőelemek nyíródó felületein TISZTA NYÍRÁSI igénybe-vételi állapotot tételezhetünk fel. A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak. Az ellenkező irányba mozdulni akaró lemezelemek közötti sík(ok)ban a kötőelemek igénybevétele TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötőelem csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁSalakul ki. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

20. TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás Más egyszerűsítések: A valós palástnyomá-si feszültségek helyett (is) fiktív, az átmérő mentén egyenletes, a húzóerővel párhuza-mos „feszültségeket” alkalmazunk. A kö-tőelemek között az erőt egyenletesen el-osztottnak tekintjük. A palástnyomási (fiktív!) „feszültségeket” az egy irányban dolgozó lemezek (összegzett) vastagsága mentén (is) állandónak vesszük. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

21. TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás Más egyszerűsítések: A teljes húzóerőt a nyírásvizsgálat során (is) a kötőelemek kö-zött egyenletesen el-osztottnaktekintjük. (A kimért erőeloszlás a végelemekre nagyobb ér-téket ad, de ha az egymás mögött álló elemek szá-mát korlátozzuk, a kép-lékeny kiegyenlítődés alapján az egyenletesség elfogadható.) A kötőelemek „nyírás-számát” a tönkremene-telhez (a szabad mozgáshoz) egyidejűleg elnyíródni kényszerülő felületek száma adja. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

22. LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA Más egyszerűsítések: A húzott elemekben a lyukgyengítések ke-resztmetszetében ki-alakuló normálfe-szültségek eloszlását (is) egyenletesnek tekintjük. A mérések szerint a lyu-kak mellett (az erővona-lak összesűrűsödése mi-att) a feszültség lényege-sen nagyobb, de a képlé-keny átrendeződés itt is segít. A húzott lemez ill. a heveder mértékadó gyengített keresztmetszete(i) A gyengített keresztmetszet (számítási!) „fe-szültségeit” mind a keresztirányú (hatékony) szélesség, mind az egy irányban dolgozó le-mezek (összegzett) vastagsága mentén állan-dónak vesszük. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

23. LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A fenti ábrán egy, mindkét végén egyenletesen megoszló erővel hú-zott acéllemez számított hosszirányú normálfeszültségeinek eloszlá-sát mutatjuk be. Látható, hogy a feszültségeloszlás egyenletes, csak a lyukak közvetlen környezetében van anomália: a lyukak szélessé-gében a lyuk előtt-mögött a hosszirányú normálfeszültség lecsökken, a lyuk mellett viszont jelentősen megnő. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

24. LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A kinagyított ábrán látható, hogy a lemezre jellemző 200 N/mm2 (itt: 20 kN/cm2) értékű normálfeszültség a lyuk mellett több, mint kétsze-resére ugrik fel, de az is látható, hogy ez a túlfeszültség csak rövid szakaszon alakul ki, azaz a képlékeny átrendeződés elfogadható. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

25. LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A feszültségeloszlás térbeli képe KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

26. LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A számított feszültségeloszlás a keresztirányú metszetekben (a feliratok a normálfeszültség számított értékei kN/cm2-ben) egy általános helyen lévő keresztmetszet a gyengített keresztmetszet (a lyuktengelyben) KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

27. a hajlítás síkja y x z TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS NxTy Tz MxMy Mz Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli, TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e nyomaték VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás EGYENES HAJLÍTÁS. My A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJA a tartó tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

28. a hajlítás síkja y x Mz z TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS NxTy Tz Mx MyMz Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli, TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e nyomaték VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás EGYENES HAJLÍTÁS. A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJA a tartó tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

29. ex (y,z) My y zP yP P(y,z) eP,x dA=dy×dz z TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS A keresztmetszetek torzulás-mentessége miatt a nyomaték hatására elforduló keresztmet-szet pontjai egy SÍKRA illesz-kednek, azaz a keletkező e faj-lagos nyúlások-összenyomódá-sok a semleges tengelytől mért távolság lineáris függvényei. (Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra végezzük. Ez esetben az y tengellyel párhuza-mosan a (szimmetria miatt) az e fajlagos nyúlások értéke állandó.) KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

30. sx (y,z) My y zP yP P(y,z) sP,x dA=dy×dz z TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS Az anyag ideális rugalmassága miatt (s =E× e) a nyomaték hatására elforduló keresztmet-szet s feszültségvektorainak végpontjai (is) egy SÍKRA il-leszkednek, azaz a keletkező s normálfeszültségek a semleges tengelytől mért távolság line-áris függvényei. (Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra végezzük. Ez esetben az y tengellyel párhuza-mosan (a szimmetria miatt) a s normálfeszültségek értéke állandó.) KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

31. sx (y,z) My y zP yP P(y,z) sP,x dA=dy×dz z TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS A km. nyomatéki igénybevéte-le valójában az elemi felületda-rabokon ébredő (fajlagos) bel-ső erők nyomatékainak össze-ge. Az egy pontban ébredő ele-mi erő (dF) a pont z koordiná-tájával, az általa kifejtett nyo-maték (dM) a pont z koordiná-tájának négyzetével arányos. Az ábrán a P ponthoz tartozó dA=dy×dz elemi felületet a láthatóság végett nagyra rajzoltuk, de ez a határátmenet képzésekor tart a zérushoz, azaz a dF elemi erő helye tart a P pont y-z koordinátáihoz. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

32. sx (y,z) My y zP yP P(y,z) sP,x dA=dy×dz z TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS dF=sx×dydz=sx×dA=E×e×dA=E×emax/zmax×z×dA dM=z×dF=z×sx×dA=z×E×e×dA= =z×E×emax/zmax×z×dA= =E×emax/zmax×z2×dA A P pontban ébredő s feszültségből származó elemi erő nyomatékát fel-írva és a teljes felületen összegezve a külső nyomatékot kell kapnunk. Mbelső=∫dM=∫E×emax/zmax×z2×dA= =E×emax/zmax×∫z2×dA= E×emax/zmax×Jy=smax/zmax×Jy Mbelső= Mkülső smax/zmax×Jy= Mkülső smax= Mkülső/Jy× zmax s=smax/zmax ×z KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

33. sx (y,z) My y zP yP P(y,z) sP,x dA=dy×dz z TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS dF=sx×dydz=sx×dA=E×e×dA=E×emax/zmax×z×dA dM=z×dF=z×sx×dA=z×E×e×dA= =z×E×emax/zmax×z×dA= =E×emax/zmax×z2×dA A P pontban ébredő s feszültségből származó elemi erő nyomatékát fel-írva és a teljes felületen összegezve a külső nyomatékot kell kapnunk. Mbelső=∫dM=∫E×emax/zmax×z2×dA= =E×emax/zmax×∫z2×dA= E×emax/zmax×Jy=smax/zmax×Jy Mbelső= Mkülső smax/zmax×Jy= Mkülső smax= Mkülső/Jy× zmax s=smax/zmax ×z KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

34. My sz y= sem- leges tengely x z TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS A tiszta egyenes hajlítással terhelt keresztmetszetben tehát a normál-feszültségek a nyomatékkal egye-nes arányban, a keresztmetszet (nyomatékvektorral megegyező állású semleges tengelyére vett) inercianyomatékával fordított arányban alakulnak, és a vizsgált pontnak csak a semleges tengelytől mért z távolságától függnek (egyenes arányban). s(z)= Mkülső/Jy× z (Jy: főirány!) s(x,y,z)= Mkülső (x)/Jy (x)× z KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

35. dq TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS A tiszta egyenes hajlítás ese-tében feltételeztük a sík ke-resztmetszetek és a tengely-lyel párhuzamos elemi szá-lak merőlegességének állan-dóságát. Emiatt a pontok környezetében felvett elemi hasábokban szögtorzulás nem léphet fel, azaz a txz feszültség a keresztmetszet minden pontjában zérus. h dz dx dx KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

36. s-ediagram sábra felsőszál s1,felső s2,felső emax eábra 2. rugalmas tartomány 1. rugalmas tartomány s1,felső=s2,felső emax alsószál s-ediagram KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET Ha egy igénybevételi állapot a keresztmetszetben változó nagy-ságú feszültségeket ébreszt (haj-lítás, nyírás, csavarás), a legna-gyobb feszültségű pontok képlé-keny alakváltozása a keresztmet-szet elmozdulásának növelésével újabb pontokban-elemi szálak-ban teszi lehetővé a maximális szilárdság elérését és ezzel a ke-resztmetszetet többletigénybevé-tel felvételére teszi alkalmassá. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

37. KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET A lokális képlékeny alakváltozásokat megengedő teherbírásnövelő folyamat (elvileg) addig folytat-ható, míg a keresztmetszet minden pontja, elemi szála eléri a képlékenységi határt, hiszen ekkor már a keresztmetszetelmozdulásoktovábbi igény-bevételnövekedés nélkül is folytatódnak, a kereszt-metszet képlékeny teherbírása (is) kimerült. Ehhez az állapothoz a keresztmetszet derékszögű elfordulása tartozna, tehát ez az (elvi) állapot a gyakorlatban sohasem érhető el! KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

38. rugalmas tartomány KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁS Ha a mértékadó hajlítónyomaték nem éri el a rugalmas határértéket, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, de még maximális értékük is kisebb az anyagra jellemző rugalmas határfeszültségnél. Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékkal megegyező értékű, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, és maximális értékük az anyagra jellemző rugalmas határfeszültséggel (az anyag folyási határszilárdságával) azonos. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

39. rugalmas tartomány KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁS Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékot meghaladja, a keresztmetszet azon (szélső) elemi szálai, amelyekben a megnyúlás-összenyomódás már elérte a folyási határt, a feszültség változatlan értéke mellett tovább alakváltoznak. Az ennek folytán kialakuló keresztmetszetelfordulás-növekmény a belső elemi szálak (rugalmas) feszültségeit is megnöveli. A belső erő-növekmény (egyre csökkenő erőkarral) a keresztmetszet nyomatéki ellenállását is növeli. Határesetben már minden elemi szál képlékeny állapotba került, és a keresztmetszet nem tud további nyomatékot felvenni, képlékeny csuklóvá alakul. A képlékeny határállapotban a keresztmetszet pontjaiban csak a srugalmas, határ léphet fel. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

40. srugalmas, határ krugalmas M h srugalmas, határ Nrugalmas krugalmas DNképlékeny h DHképlékeny kképlékeny Hrugalmas TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY NYOMATÉKI TÖBBLETE RUGALMAS ÁLLAPOT KÉPLÉKENY TÖBBLET KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

41. Nteljes M kteljes Hteljes srugalmas, határ h TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY HATÁRNYOMATÉKA A keresztmetszet teljes képlékeny határnyomatéka: A képlékeny többlet a nyomaték növekedésének függvényében egyre lassabban nő, a modellünkben bemutatott képlékeny határállapotot a keresztmetszet csak végtelen nagy alakváltozások árán érheti el. A gyakorlati szerkezetekben tehát ez az elméleti teherbírási tartaléknem érhetőel. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

42. rugalmas állapot F képlékeny alakváltozás a középkeresztmetszetben F+DF KÉPLÉKENY CSUKLÓ A keresztmetszetben a képlékeny teherbírási növekmény lokális folyási-morzsolódási hatás révén mobilizálódik, és visszafordíthatatlan többlet alakváltozást okoz a szerkezetben. MH,rug MH,rug+DMképl Képlékeny nyomatéki határállapot elérésekor a keresztmetszet (képlékeny) csuklóvá alakul, a további terheléssel szembeni nyomatéki merevsége zérusra csökken, így a statikailag határozott szerkezeteink teherbírása megszűnik, a szerkezetek mozgási mechanizmussá alakulnak. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

43. q -Mrugalmas, határ Mrugalmas +Mrugalmas, határ Dq DMképlékeny KÉPLÉKENY TARTALÉK A statikailag határozatlan szerkezeteknek legalább egy külső vagy belső többletmerevsége van, így egy keresztmetszet nyomatéki merevségének elvesztése csak eggyel csökkenti a szerkezet belső merevségét, de a szerkezet állékony, teherbíró marad. Az ilyen szerkezetek a képlékeny csukló(k) kialakulása után is terhelhetők, mégpedig a képlékeny csuklót valós csuklóként megjelenítő statikai vázon. A szerkezet csak akkor tekintendő tönkrementnek, ha a képlékeny csuklók száma meghaladja a statikai határozatlanság fokszámát. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

44. znyomott b snyomóN snyomóM shúzó semleges tengely M snyomóM snyomóN shúzóM N KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY TARTALÉKA Ha a keresztmetszetünket csak hajlítónyoma-ték terheli, akkor a képlékeny határállapot-ban a húzott és a nyomott felületek terüle-tének meg kell egyeznie, azaz a képlékeny ha-tárállapothoz tartozó hajlítási semleges tengely a húzott és a nyomott felületek területazonossá-ga alapján számítható. h Hajlítónyomaték és normálerő együttes működése esetén az egyensúlyi egyenletek a következőképpen alakulnak: A nyomatéki egyenletet a szelvény alsó szélső szálára felírva: KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

45. shúzó semleges tengely snyomó KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY SZÁMÍTÁSA A két egyenletből két ismeretlen határoz-ható meg. A képlékeny határállapotban tehát ismert normálerőhöz meghatároz-hatjuk a nyomott zóna magasságát és az egyidejűleg működtethető nyomatékot, vagy fordítva: ismert nyomatékhoz meg-határozhatjuk a nyomott zóna magassá-gát és az egyidejűleg működtethető nor-málerőt. Ha a keresztmetszetben mind a normálerő, mind a nyomaték ismert, ak-kor nem biztos, hogy a keresztmetszetben kialakul a képlékeny határállapot. Mkülső=Mbelső Nkülső=Nbelső KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

46. HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlítással egyidejűleg működő nyírás esetén a kereszt-metszeti síkok és a tengellyel párhuzamos elemi szálak merőlegessége NEM tartható, hiszen akkor nem ébred-hetne nyírófeszültség, ami viszont a nyíróerő léte miatt nem lehetséges. Ennek ellenére (a tapasztalatok szerint) a nyomatékból származó normálfeszültségek értékének és eloszlásának meghatározására jó közelítéssel elfogad-ható a tiszta egyenes hajlítás összefüggése. Ugyancsak elfogadható az a feltevés, hogy a hajlítónyomatékból CSAK normálfeszültség, a nyíróerőből CSAK nyíró-feszültség keletkezik. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

47. sx (y,z) zP P(y,z) sP,x dA=dy×dz z HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A tartó x koordinátájú kereszt-metszetében működő igénybe-vételek: My(x) és Tz(x). Az x+dx koordinátájú metszetben működő igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx). A tar-tószeletre a véglapokon műkö-dő nyomatékok nem egyenlí-tik ki egymást, és így az ezek-ből származó normálfeszültsé-gek sem. dx Az x irányú egyensúlyt csak a szelet belsejében (a z normá-lisú síkon) ébredő tzx nyírófeszültségek révén biztosítható. My(x+dx) y x yP KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

48. HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A tartó x koordinátájú keresztmetszetében működő igénybevételek: My(x) és Tz(x). Az x+dx koordinátájú keresztmetszetben működő igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx). Az My(x) és a Tz(x) függvényeket sorba fejtve, az elsőfokú tagokat megtartva: dx x+dx x x F(x) F közelítő,1 fok (x+dx)= F(x)+F’(x)×dx F közelítő,0 fok (x+dx)= F(x) F(x+dx) egy F(x) függvény sorbafejtésének 0-adfokú és elsőfokú tagjai KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

49. HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A fentiek szerint a tartó dx vastagságú szeletére az x koor-dinátájú (vég)keresztmetszetben –My(x), az x+dx koordiná-tájú keresztmetszetben +My(x)+dMy(x) nyomaték működik. Ennek alapján a tartó dx vastagságú szeletének két oldalán működő s normálfeszültségeknek az My(x) nyomatékból származó része x irányú vetületben kiegyenlíti egymást, x irányú kiegyenlítetlen erő csak az x+dx koordinátájú met-szetet terhelő dMy nyomatéki többletből származik. Ha a tartószeletet egy z koordinátájú magasságban vízszintesen (is) elvágjuk, a megmaradó (alsó vagy felső) elemre felírva a SFix=0 vetületi egyenletet, a dMy nyomatékból származó kiegyenlítetlen normálfeszültségeket csak a vízszintes met-szetben keletkező nyírófeszültségek kompenzálhatják. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

50. by dx T’x=∫∫tzx(x,y)dx×dy dMy tzx(x,y) y x x A’ sx (y,z) N’x=∫∫sx(y,z)dy×dz sx (y,z) z HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS a dx vastagságú szeletet a vizsgálandó pont magasságában vízszintesen (is) elvágjuk: A s feszültségek itt már csak a nyomaték növekményéből származnak, dM/dx pedig a (negatív) nyíróerőt adja. SFix=0 yP KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK