Herzlich Willkommen

1. Herzlich Willkommen Vortragsthema: Der goldene Schnitt Sebastian Grothe

2. Inhalt 1 Definition und Grundeigenschaften 1 Definition und Grundeigenschaften 1.1 Definition und Herleitung des Zahlenwertes 1.2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal 1.3 Goldener Winkel & Spirale 2 Historisches 2 Historisches 3 Beispiele 3 Beispiele 3.1 Architektur 3.2 Kunst 3.3 Biologie 3.4 Die Fibonacci-Zahlen 4 Zusammenfassung 4 Zusammenfassung

3. Definition und Herleitung 1 Definition und Grundeigenschaften Der goldene Schnitt – Was ist das überhaupt? • bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen zueinander • beispielsweise Längen & Strecken: 2 Historisches 3 Beispiele • Doch das reicht uns als angehende Mathematiker nicht aus! 4 Zusammenfassung

4. Definition und Herleitung 1 Definition und Grundeigenschaften Wir wollen den „genauen“ Zahlenwert ermitteln: • Zahlenwert oft als Konstante Φ(Phi) bezeichnet 2 Historisches 3 Beispiele • Φist eine irrationale Zahl Goldener Schnitt wird auch als stetige Teilung bezeichnet, denn: • subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine Strecke, zu der die kürzere wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht 4 Zusammenfassung

5. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Gibt mehrere Möglichkeiten („innere Teilung“): Skizze 2 Historisches 3 Beispiele • Strecke AB zeichnen und Strecke BC senkrecht zu AC, wobei AC halb so lang ist wie AB • Strecke AC zeichnen, Zirkel in C ansetzen mit Radius BC, Schnittpunkt auf AC mit D bezeichnen 4 Zusammenfassung • Zirkel in A ansetzen mit Radius AD, Schnittpunkt auf AB mit S kennzeichnen

6. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

7. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

8. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

9. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

10. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Möglichkeit der „inneren“ Teilung nach Euklid: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

11. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

12. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

13. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

14. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Möglichkeit der „äußeren“ Teilung: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

15. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis: 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

16. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

17. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

18. Die Goldene Spirale 1 Definition und Grundeigenschaften Teilt man ein goldenes Rechteck in ein Quadrat und ein weiteres Goldenes Rechteck und wiederholt diesen Vorgang immer wieder ergibt sich folgendes Bild: 2 Historisches 3 Beispiele • ergibt sich logarithmische Spirale, deren Radius sich um Φ bei jeder Vierteldrehung ändert 4 Zusammenfassung

19. Die Goldene Spirale 1 Definition und Grundeigenschaften Und nun betrachtet einmal das Kalkgehäuse einer Nautilus (Schneckenart): 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

20. Na und wofür ist das wichtig? 1 Definition und Grundeigenschaften Besonders eindruckvoll tritt der goldene Schnitt bei regulären Fünfecken in Erscheinung. EUKLID führt in seinen Elementen den goldenen Schnitt vor allem aus dem Grund ein, um mit seiner Hilfe, das reguläre Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruieren zu können. 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

21. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktion Man nutzt aus, dass die Diagonalen im Fünfeck gleich lang sind und sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen. Gegeben sei die Diagonale d=AB des Fünfecks. Man teilt sie im Verhältnis des Goldenen Schnittes. (Siehe Konstruktion Innere Teilung) 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

22. Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktion Die Punkte A,B und T sind also gefunden. Trage die Strecke AT von B aus auf AB ab. P1 entsteht. Zeichne um T und P1 Kreise mit dem Radius TB. P2 und P3 entstehen. Zeichne die Geraden P1P2, P2T, AP3 und BP3. Es entsteht ein Stern. Verbinde die Spitzen des Sterns. 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

23. Na und wofür ist das wichtig? 1 Definition und Grundeigenschaften Fünfeck und darin enthalten das Pentagramm: 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

24. Na und wofür ist das wichtig? 1 Definition und Grundeigenschaften Im Pentagramm lassen sich wieder Strecken finden, die im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen: 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

25. Historisches 1 Definition und Grundeigenschaften Wann wurde der goldene Schnitt „entdeckt“? Hippasos vom Metapont (ca. 450 v. Chr.) „Verhältnis von Kantenlänge zu Diagonale im Fünfeck lässt sich nicht durch rationale Zahl beschreiben!“ 2 Historisches 3 Beispiele Euklid (325 - 270 v. Chr.) Stieß auf goldenen Schnitt bei seinen Untersuchungen an platonischen Körpern und verfasste Arbeit darüber. 4 Zusammenfassung

26. Historisches 1 Definition und Grundeigenschaften Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 – 1514) Verfasste Buch „De Divina Proportione“ im Jahr 1509 über Goldenen Schnitt Martin Ohm (1792 – 1872) Verwendete 1835 erstmals die Bezeichnung „Goldener Schnitt“ 2 Historisches 3 Beispiele Adolf Zeising (1810 – 1876) Stellte Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt her, welchen er als „Naturgesetz der Ästhetik“ sah 4 Zusammenfassung

27. Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) 4 Zusammenfassung

28. Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele Abbildung 1: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) 4 Zusammenfassung

29. Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele Abbildung 2: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) 4 Zusammenfassung

30. Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Dom von Florenz (1436)

31. Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Menschliche Proportionen nach Vitruv von Leonardo da Vinci (1492)

32. Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue)

33. Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue)

34. Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503)

35. Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503)

36. Aus der Biologie 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Sonnenblume

37. Aus der Biologie 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Efeu

38. Aus der Biologie 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Phyllotaxis

39. Die Fibonacci-Zahlen 1 Definition und Grundeigenschaften Der Goldene Schnitt findet sic auch bei den Fibonacci-Zahlen wieder: 2 Historisches Dividiert man nun zwei Aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ergibt sich folgendes: 3 Beispiele Das bedeutet, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen sich dem Goldenen Schnitt nähert, je weiter man in der Folge geht. 4 Zusammenfassung

40. Die Fibonacci-Zahlen 1 Definition und Grundeigenschaften • Zum Beispiel bestehen zwischen Nachbarn der ersten zwölf Glieder • 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … • jeweils die Verhältnisse für : • 1 • 0,5 • 0,67 • 0,6 • 0,625 • 0,6154 … 2 Historisches 3 Beispiele Damit ergibt sich 4 Zusammenfassung

41. Die Fibonacci-Zahlen 1 Definition und Grundeigenschaften • Literatur • Loeb, Arthur L: Concepts & Images (Visual Mathematics); Boston: Birkhäuser, 1993 • Bühler, W: Das Pentagramm und der Goldene Schnitt als Schöpfungsprinzip; Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben GmbH, 1996 • Walser, H: Der Goldene Schnitt (2.Auflage); Leipzig: Teubner Verlagsgesellschaft, 1996 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

42. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!