Didaktik der Algebra (7)

1. Didaktik der Algebra (7) Variablen, Terme und TermumformungenDie Formelsprache im Mathematikunterricht

2. Lehrplan Realschule Klasse 7

3. Lehrplan Realschule Klasse 8

4. Als einzuführende Begriffe oder zu behandelnde Inhalte werden in der Regel aufgeführt: Variable, Term, Termumformungen, Bruchterme, Ausklammern, Ausmultiplizieren, Faktorisieren, binomische Formeln.

5. Variablen, Terme und Termumformungen werden nach ihrer Einführung im Zusammenhang mit Formeln, Gleichungen, später auch Funktionsgleichungen behandelt. Sie werden für die Äquivalenzumformungen zum „Umstellen“ von Formeln und zur Lösung von Gleichungen gebraucht.

6. Das Thema Terme kann deshalb eigentlich nicht isoliert von dem Thema Gleichungen betrachtet werden. Die Trennung im Rahmen dieser Vorlesung ist künstlich, ist aber durch die besondere Schwierigkeit für die Schülerinnen und Schüler beim „Übergang von der Arithmetik zur Algebra“ gerechtfertigt.

7. Im Rahmen dieser Vorlesung werden angesprochen • mathematische und mathematikdidaktische Aspekte im Umgang mit Variablen und Termen; • Probleme, die Schülerinnen und Schüler mit Variablen, Termen und Termumformungen haben; • Folgerungen zum Lernen und Lehren von Termen und ihren Umformungen im Mathematikunterricht.

8. Der Übergang vom Umgang mit Zahlen zum Umgang mit Variablen und Termen ist mit einer höheren Abstraktionsstufe des Denkens verbunden.Wurde beim Umgang mit Zahlen eher eine anschaulich-konkrete Denkweise angesprochen, so beginnt nun eine Verlagerung hin zu einer verstärkt abstrakt-formalen Denkweise.

9. Das Erlernen der Formelsprache ist ein langfristiger Prozess, der sich in Phasen unterschiedlicher Intensität fast über die ganze Schulzeit hinzieht.Dies beginnt in der Grundschule mit dem Umgang von Platzhaltern und Wortvariablen, geht über die Buchstabenvariablen, Terme, Termstrukturen, Termumformungen bis hin zu Bruchtermen und Wurzeltermen in Realschule und Gymnasium.

10. Mathebaum 2, Schroedel 1999

11. Mathebaum 3, Schroedel 2000

12. Vollrath (1994) gliedert diesen Lernprozess in sechs Phasen: • Intuitiver Gebrauch der Sprache, • Reflexion, • Erkundung und Aneignung, • Nutzung der Sprache, • Erweiterung der Sprache, • Neue Sprachen.

13. Die erste Phase, intuitiver Gebrauch der Sprache, beginnt bereits in der Grundschule. In dieser Phase geht es vor allem um die Anwendung der Formelsprache, weniger um die Reflexion und Regeln. Es kommt vor allem darauf an, Problemsituationen mit Hilfe von (Wort- und Buchstaben-)Variablen zu beschreiben und so Aufgaben zu lösen.

14. Im Unterricht werden in dieser Phase die sog. Platzhalteraufgaben mit Leerstellen, Kästchen und später auch Buchstaben als Platzhalter, Rechenschemata in Form von zu bearbeitenden Tabellen und Aufgaben zum Aufstellen von Termen behandelt.

15. In dieser Phase (bis ca. 6/7. Klasse) wird man Wert legen auf • eine konkret-anschauliche Denkweise, • das Aufstellen und Interpretieren von Formeln, Termen, weniger auf das Umformungskalkül, • den Sinn und Zweck der Terme und Formeln, • den Gegenstandsaspekt der Variablen.

16. Neues Mathematisches Arbeitsbuch 5, Diesterweg 1989

17. Neues Mathematisches Arbeitsbuch 5, Diesterweg 1989

18. Aspekte des Variablenbegriffs (Malle 1993) Gegenstandsaspekt: Variable als unbekannte Zahl, Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter für Zahlen, Kalkülaspekt: Variable als Zeichen, mit dem nach bestimmten Regeln gerechnet werden darf.

19. Phasen des Lernens der Formelsprache Intuitiver Gebrauch der Sprache, Reflexion, Erkundung und Aneignung, Nutzung der Sprache, Erweiterung der Sprache, Neue Sprachen.

20. Die zweite Phase ist eine Reflexionsphase, in der über die bisherige Verwendung und die Erfahrung mit Variablen und Termen gesprochen wird. In dieser Phase werden Bezeichnungen wie Variable und Term eingeführt und ihr Sinn und ihre Nützlichkeit besprochen.

21. Die Bezeichnung Variable löst in der Regel den Begriff Platzhalter ab, der vorher verwendet wurde. Während Platzhalter vom Wort her eigentlich nur den Gegenstandsaspekt abdeckte, ist die Bezeichnung Variable für alle drei Aspekte passend.

22. Terme werden als Rechenausdrücke definiert. Zahlen und Variablen sind Terme und die Verknüpfung von Variablen und/oder Zahlen ebenfalls. Je nach Formalisierung kann hier der rekursive Charakter herausgestellt werden.In einigen Schulbüchern (Hauptschule) wird auf die Bezeichnung Term verzichtet und die Bezeichnung Rechenausdruck weiterverwendet.

23. Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg 1993

24. Mathematik 8, Hahn/Dzewas 1990

25. Für die „Formelsprache“ ist es notwendig, dass die Schüler Sinn und Zweck des Erlernten erfassen und einsehen.„Ein Ziel des Algebraunterrichts sollte also darin bestehen, dass Schüler das „Formelaufstellen“ als eine sinnvolle und grundlegende mathematische Tätigkeit erkennen, die nicht weniger sinnvoll bzw. grundlegend ist als „Rechnen“ (oder vielleicht sogar „Schreiben“ und „Lesen“).“ (Malle, 1993).

26. Diese Einsicht kann durch entsprechende Aufgaben aber auch durch Aufforderung zur Reflexion erworben werden.Bei den Aufgaben ist aufzupassen, dass sie keinen künstlichen Charakter haben wie z.B. „In einem Stall sind H Hasen und G Gänse. Es sind 4 Hasen mehr als Gänse. Drücke dies durch eine Gleichung in H und G aus!“

27. Antworten auf die Frage nach dem Sinn von Formeln und Termen sind: allgemeingültige Beschreibung von inner- und außermathematischen Prozessen; Möglichkeit, eine Situation zu explorieren und allgemeine Einsichten zu bekommen; abstrakte Problemlösung ist planbar und Probleme können allgemein gelöst werden; allgemeingültige Argumentationen (Beweise) sind möglich; über Wissen kann auf abstrakter Ebene kommuniziert werden.

28. An den einzelnen Punkten ist zu sehen, dass die Vorteile der Formeln und Terme auf der abstrakt-formalen Ebene liegen und kaum mit einem Denken auf der konkret-anschaulichen Ebene einzusehen sind. Um so wichtiger ist es, die Schülerinnen und Schüler auf diese abstrakt-formale Ebene zu führen. Dies darf aber nicht durch einfaches „Eintrichtern“ passieren, sondern die Schüler müssen selbst die Einsicht gewinnen, dass diese Ebene viele Vorteile bietet.

29. Die abstrakt-formale Ebene mit der Allgemeingültigkeit ist gerade das, was die wissenschaftliche Mathematik ausmacht. Es gibt philosophische Ansätze, die die Mathematik mit der „Grammatik einer Sprache“ vergleichen. Für jeden passenden Kontext liefert dieses Regelwerk Ergebnisse. Die Gültigkeit des Regelwerkes wird nicht anhand eines beliebigen Kontextes gemessen, sondern an dem transzendentalen logischen Kontext. Dieser Ansatz erklärt allerdings nicht die Weiterentwicklung der Wissenschaft durch die Mathematiker.

30. Eine große Rolle beim Umgang mit Termen spielt die Erkennung von Termstrukturen. Die Schülerinnen und Schüler müssen lernen, Terme zu analysieren und übersichtlich darzustellen. Das Erkennen von Termstrukturen ist die Voraussetzung für die Anwendung von Regeln zur Termumformung. Termstrukturen können z.B. anhand von Diagrammen verdeutlicht werden.

32. Aufgabenbeispiele aus Malle (1993):

33. In Malle (1993) wird erwähnt, dass bei Untersuchungen von kleinen Schülergruppen auffiel, dass Schüler die Termstrukturen entweder sehr gut oder sehr schlecht erkannten. Es gab kaum Schüler, die diesbezüglich mittelmäßig waren. Hier könnte man folgern, dass das Erkennen von Termstrukturen stark mit der Einsicht in die Problematik zusammenhängt.

34. Der nächste Schritt auf dem Weg zu Termumformungen ist das Erkennen der Gleichheit von Termen. Die Gleichheit ist dabei als „Einsetzungsgleichheit“ zu verstehen. In manchen Büchern wird auch der Begriff „Äquivalenz“ verwendet.Die Frage der Gleichheit von Termen tritt auf, wenn zur Lösung einer Aufgabe verschiedene Terme aufgestellt werden können:

35. Mathematik 8, Hahn/Dzewas 1990

36. Die Begründung dafür, dass Terme gleich sind, liefern die Termumformungen. Man kann sagen, dass zwei Terme gleich sind, wenn sie durch Termumformungen ineinander überführbar sind.Das Einsetzen von einigen Zahlen mit anschließender Prüfung der Einsetzungsgleichheit ist im Hinblick auf das Beweisen und Begründen im Mathematikunterricht problematisch, da es ein falsches Bild vermittelt.

37. Es ist außerdem zu beachten, dass gleiche Terme nur in einem gewissen Sinne „gleich“ sind, sie sind z. B. in der Regel nicht identisch. Aus diesem Grunde bietet sich auch der Begriff Äquivalenz an. Problematisch ist hier allerdings, dass Äquivalenz von Schülerinnen und Schüler immer mit Äquivalenzzeichen und Aussagen/Gleichungen verbunden wird und es hier zu Konflikten bzw. Verwirrung kommen kann.

38. Phasen des Lernens der Formelsprache Intuitiver Gebrauch der Sprache, Reflexion, Erkundung und Aneignung, Nutzung der Sprache, Erweiterung der Sprache, Neue Sprachen.

39. In der Phase Erkundung und Aneignung geht es um die Erarbeitung der verschiedenen Typen der Termumformungen: Ordnen, Zusammenfassen, Auflösen/Ausmultiplizieren von Klammern, Multiplikation von Klammern, Faktorisieren.

40. Die systematische Behandlung der Umformungsregeln folgt nach der Festlegung der Gleichheit/Äquivalenz von Termen. Da Terme gleich sind, wenn sie durch eine Termumformung ineinander überführt werden können, ist es natürlich, diese Umformungen genauer zu betrachten.

41. Neben den mathematischen Regeln spielen bei den didaktischen Überlegungen zu den Termumformungen insbesondere die Schülerfehler, die Form des Übens und der Sinn und Zweck der Umformungsregeln eine wichtige Rolle.Diese Aspekte werden wir nach den Umformungsregeln noch genauer betrachten.

42. 1. Schritt: OrdnenSummen: Es üblich in einem Term gleiche Summanden möglichst in alphabetischer Reihenfolge hintereinander zu schreiben, z.B. x+y+x·y+y+x·y+x+y = x+x+x·y+x·y+y+y+y.(Kommutativität der Addition)Aufgrund der Assoziativität brauchen keine Klammern gesetzt zu werden.

43. Produkte: In Produkten wird entsprechend geordnet, wobei Zahlen als Faktoren nach vorne gesetzt werden:a·2·b·b·a·b = 2·a·a·b·b·b.(Kommutativität der Multiplikation)Auch hier brauchen aufgrund der Assoziativität keine Klammern gesetzt zu werden.

44. Kombination von Summen und Produkten:Es werden in der Regel zunächst die Produkte geordnet und dann die Summen:a·2·b+b·4+b·a·3+2·b = 2·a·b +4·b +3·a·b+2·b= 2·a·b +3·a·b+2·b +4·b.Es bietet sich an die Regel Punkt-Rechnung geht vor Strich-Rechnung zu wiederholen.Außerdem wird die Konvention mitgeteilt, dass der Malpunkt weggelassen werden kann, wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind.

45. 2. Schritt: ZusammenfassenIn Summen können gleichartige Summanden zusammengefasst werden:a+a+a+b+b = 3a+2b oder 2ab+3ab+2b+4b = 5ab+6b.Begründet werden kann dies mit dem Distributivgesetz:2ab+3ab = (2+3)ab = 5ab.Analog betrachtet man das Zusammenfassen bei Differenzen. Dabei spielen die Rechenregeln mit negativen Zahlen eine Rolle.

46. In Produkten werden gleiche Faktoren zu Potenzen zusammengefasst:a·a·a·b·b = a3b2 oder 2ab ·3ab = 6 a2b2.Schließlich sollten Ordnen und Zusammenfassen kombiniert betrachtet werden.Der Sinn und Zweck des Ordnens und Zusammenfassens ist den Schülerinnen und Schülern in der Regel sofort einsichtig und bedarf keiner weiteren Erläuterung.

47. 3. Schritt: Auflösen/Ausmultiplizieren von KlammernBeim Auflösen von Klammern geht es um das Subtrahieren eines Klammerausdruckes, d.h. um das Minus-Zeichen vor der Klammer.Es stellt sich die Frage, ob dies konsistent mit dem Ausmultiplizieren von Klammern über das Distributivgesetz eingeführt wird, oder ob man eine eigene Regel dafür angibt.Im ersten Fall ist der auftretende Doppelcharakter des Minus-Zeichens eine Quelle von Schwierigkeiten.

48. Mathematik 8, Hahn/Dzewas, Westermann 1990

49. In den meisten Schulbüchern wird das Auflösen von Klammern auf die Regel des Vorzeichenwechsels zurückgeführt. Malle (1993) schlägt vor, diese Regel nicht nur in Worten sondern auch formal anzugeben:A -(B +C) = A -B -C bzw. A -(B -C) = A -B +C.

50. Das Ausmultiplizieren von Klammern wird auf das Distributivgesetz zurückgeführt:4·(3x +4y) = 4·3x + 4·4y=12x +16yoder in einer allgemeineren Form:3·(2x-5y+z) = 3·2x +3·(-5y) +3·z=6x + (-15)y +3z = 6x -15y +3z.In diesen Bereich gehören auch Aufgaben der Art:x·(3x +4x2) = 3x2 + 4x2.