UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI- NORTE

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI- NORTE LIC. GRACIELA LÓPEZ

2. MATEMÁTICA I UNIDADES A DESARROLLAR I U Geometría Analítica Vectorial II U Límite y continuidad de funciones en una y varias variables III U Derivada y Diferenciales de funciones en una y varias variables IV U Aplicaciones de la Derivada en una y varias variables

3. I UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORIAL OBJETIVOS DE UNIDAD • Utilizar el sistema coordenado rectangular en tres dimensiones para representar gráficamente lugares geométricos en el espacio • Aplicar los algoritmos de la suma y resta vectorial así como sus propiedades y relaciones en ejercicios • Aplicar el producto punto y producto cruz, así como sus relaciones y propiedades a problemas de trabajo físico, área, volumen y la determinación de la posición entre planos, rectas, rectas y planos

4. Determinar las ecuaciones cartesianas y vectoriales de la recta en el espacio y de planos • Graficar rectas en el espacio, así como planos • Diferenciar los distintos tipos de superficies, esferas cilindros y cuádricas a partir de sus ecuaciones • Graficar cualquier superficie

5. I UNIDADGEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORIAL OBJETIVOS • Representen correctamente puntos en el plano coordenado rectangular tridimensional • Calculen correctamente distancia entre dos puntos y coordenadas del punto medio en 3D • Determinen con precisión coordenadas de un vector, representación y módulo • Demuestren respeto, disciplina, participación e integración al trabajo en equipo

6. SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR Un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio R3 se determina por una unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre sí concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado. El punto de intersección se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados, estos se denotan por OX,OY y OZ

8. Representación de puntos en el plano R3

9. Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados, estos son: el plano OXY, OYZ y OXZ, a su vez los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. Los puntos en el sistema de coordenadas tridimensional se representan por medio de ternas. • Distancia entre dos puntos Th. 1 Consideremos dos puntos P (x1, y1, z1) y Q (x2, y2, z2) la distancia esta dada por la fórmula: Esta fórmula es ampliación de la fórmula en dos dimensiones.

10. Distancia y punto Medio en R3 Las coordenadas del punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) son: Ejemplo: Localizar los siguientes pares de puntos, calcular la longitud del segmento que los une y las coordenadas de sus puntos medios.

11. Vectores de posición y trasladados Vectores fundamentales: • Definición. Supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas rectangulares. Se define el vector î como el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo X, el vector ĵ es el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo Y, y el vector k es el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo Z

12. Vectores de posición y trasladados Vectores en el espacio En el espacio los vectores se denotan por ternas ordenadas v=‹v1,v2,v3›. El vector cero se denota por 0= ‹0,0,0›. Usando los vectores unitarios i=‹1,0,0›, j=‹0,1,0› y k =‹0,0,1›. La notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es v= v1i+v2j+v3k. Las componentes de un vector dados dos puntos se obtiene restando las coordenadas del punto final menos el punto inicial, sea P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3) así: v=‹v1,v2,v3›=‹q1-p1,q2-p2,q3-p3›.

13. Vectores en el espacio. Sean u = <u1, u2, u3> y v = <v1, v2, v3> vectores en el espacio y sea c un escalar. • Igualdad de Vectores: u = v sí y solo sí u1 = v1 u2 =v2 u3 =v3 • Expresión mediante las componentes: Si v se presenta por el segmento de recta dirigido de P(p1, p2, p3) a Q (q1, q2, q3 ). Entonces: v = <v1, v2, v3> =< q1- p1 , q2 - p2 , q3- p3 > • Longitud:║v║ = • Vector unitario en la dirección de v:

14. Suma de vectores: v + v = < u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3> • Multiplicación por un escalar. cv =<cv1, cv2, cv3> • Hallar las componentes de un vector en el espacio. • Ejemplo Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene punto inicial (-2, 3, 1) y punto final (0,-4,4) Después hallar un vector unitario en la dirección de v.

15. Definición de Vectores Paralelos. Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que u = cv. Ejemp. El vector w tiene punto inicial (2, -1, 3) y punto final (-4,7,5). ¿Cuál de los vectores siguientes es paralelo a w? • Ejemplo. • Uso de vectores para determinar puntos colineales. Determinar si los puntos P (1,-2,3), Q (2,1,0) y R(4,7,-6) son colineales.

16. Ejemplo. • Notación empleando los vectores unitarios canónicos. • Exprese el vector v = 4i - 5k por medio de sus componentes. • Hallar el punto final del vector v = 7i-j+3k, dado que el punto inicial es P(-2,3,5) Solución. • Como falta j, su componente es 0 y v= 4i- 5k = <4,0,5> • Se necesita encontrar Q (q1, q2, q3 ) tal que v = PQ = 7i-j+3k. Esto implica que q1-- (-2)= 7, q2 – 3 =-1 y q3 -5 = 3. Por tanto, Q es (5,2,8)

17. SOLO HAY UNA COSA QUE VUELVE UN SUEÑO IMPOSIBLE…..EL MIEDO A FRACASAR EL RETO ESTÁ EN TUS MANOS, ASÚMELO HAZLO RESLIDAD,YA ERES UN TRIUNADOR