L ’ analisi bivariata

1. L’analisi bivariata • L’analisi bivariata serve a studiare la relazione fra coppie di variabili. • Le sue funzioni sono: • Stabilire se date due variabili (x e y) esiste tra loro una relazione di indipendenza o di associazione; • In caso di associazione, quantificare (ove possibile) il grado di associazione tra coppie di variabili mediante coefficienti. • Cosa bisogna tenere a mente quando si effettua un’analisi bivariata: • L’analisi bivariata studia relazioni statistichee quindi probabilistiche; • Distinzione tra variabili indipendenti e variabili dipendenti; • Le tecniche di analisi bivariata variano in base al tipo di variabili considerate. Metodologia della ricerca sociale

2. L’analisi bivariata: tipi di variabili e di relazioni Metodologia della ricerca sociale

3. L’analisi bivariata L’analisi bivariata ha dunque, nella maggior parte dei casi, come prodotto principale una tavola di contingenza (o tabella a doppia entrata, o incrocio). Rispetto alla distribuzione di frequenza la tavola di contingenza tiene contemporaneamente conto di due variabili: una posta in colonna, l’altra in riga. Oltre alle frequenze assolute, possiamo riportare nella tabella anche (oppure soltanto) le frequenze relative (le percentuali). Metodologia della ricerca sociale

4. L’analisi bivariata • Le frequenze possono essere relativizzate al totale di riga o di colonna, o al totale complessivo. Bisogna essere consapevoli che percentualizzazioni differenti danno informazioni differenti. • Il tipo di percentualizzazione: • Si sceglie la percentuale di colonna quando si vuole analizzare l’influenza che la variabile posta in colonna ha sulla variabile posta in riga; • Si sceglie la percentuale di riga quando si vuole analizzare l’influenza che la variabile posta in riga ha sulla variabile posta in colonna. I totali, di riga e di colonna, costituiscono le frequenze marginali e corrispondono alle frequenze delle variabili prese singolarmente (cioè alle loro distribuzioni monovariate). Metodologia della ricerca sociale

5. Esempi: quali informazioni si ottengono cambiando la percentualizzazione? Quale quota di occupati nel privato è donna? Percentuale di riga Metodologia della ricerca sociale

6. Esempi: quali informazioni si ottengono cambiando la percentualizzazione? Quale quota di donne è occupata nel settore privato? Percentuale di colonna Metodologia della ricerca sociale

7. Esempi: quali informazioni si ottengono cambiando la percentualizzazione? Quale quota del campione è donna e occupata nel settore privato? Percentuale sul totale Metodologia della ricerca sociale

8. Le statistiche bivariate: quali indici possono essere utilizzati in base al tipo delle due variabili? Misurare l’associazione tra due variabili • I programmi di analisi dei dati offrono la possibilità di calcolare diversi indici in grado di informarci sulla significatività della relazione, la misura dell’associazione, il livello di cograduazione o correlazione tra due variabili, ma è il ricercatore a scegliere • l’indice più adatto: • al tipo di variabili; • alle sue esigenze conoscitive. Metodologia della ricerca sociale

9. Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato Misurare l’associazione tra due variabili Il test del chi-quadrato (Х2) è un test di “verifica” delle ipotesi che dà conto della significatività della relazione fra due variabili categoriali (non ci dice nulla sulla forza della relazione). Il test rientra nella famiglia dei test delle ipotesi, cioè permette di confrontare un set di dati osservati con il corrispettivo set di dati attesi in base ad un’ipotesi teorica e di stimare la validità di questa ipotesi. Si tratta di falsificare l’ipotesi nulla (H0), ovvero di assenza di relazione statistica fra due variabili. Se l’ipotesi di assenza di relazione viene respinta, automaticamente viene accettata l’ipotesi di ricerca (H1) che sostiene l’esistenza della relazione. • Il suo calcolo si basa sul confronto tra: • Frequenze osservate: il numero dei casi effettivamente osservati; • Frequenze attese: la frequenza teorica che si dovrebbe attendere sulla base dei totali marginali, se tra le due variabili considerate non esistesse alcuna relazione. Metodologia della ricerca sociale

10. Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato Logica e test del Chi-quadrato Il test del chi-quadrato Х2si basa sulla differenza tra frequenze osservate e frequenze attese: è dato dalla somma dei quadrati di queste differenze rapportati alle frequenze attese. Se la frequenza osservata è “molto” diversa rispetto alla frequenza che avremmo in caso di mancanza di relazione, allora c’è un associazione tra le due variabili. Il valore del chi-quadrato è tanto maggiore quanto maggiore è la distanza fra la tabella delle frequenze osservate e la tabella delle frequenze attese. È zero nel caso di indipendenza perfetta. Metodologia della ricerca sociale

11. Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato Logica e test del Chi-quadrato Come si stabilisce se il chi quadrato Х2indica una relazione significativa? Si confronta il valore calcolato sulla tabella con quello di una distribuzione teorica. La tavola di distribuzione del chi-quadrato ci dice se un certo valore del chi quadrato è sufficientemente piccolo da poter essere attribuito ad errori casuali (ovvero ad una distribuzione casuale delle unità nelle celle della tabella) o se esiste una qualche relazione fra le due variabili e a che livello di probabilità tale relazione è significativa. Il controllo sulle tavole di distribuzione è necessario in quanto, a determinati livelli di probabilità, anche valori del chi-quadrato lontani dallo zero potrebbero rendere compatibile il risultato con l’ipotesi nulla H0 di indipendenza fra le variabili. Metodologia della ricerca sociale

12. Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato Come si effettua il controllo del valore ottenuto con quello della tavola di distribuzione? Bisogna innanzitutto calcolare i gradi di libertà di una tabella: g.d.l. = (n. di righe – 1) * (n. di colonne -1) 2. Va individuato il livello di probabilità cui riferirsi; 3. Si confrontano valori calcolati con quelli della tavola di distribuzione del chi-quadrato. In una tabella composta da due variabili ciascuna con quattro modalità: g.d.l. = (4 - 1) * (4 - 1) = 9 In una tabella composta da due variabili ciascuna con due modalità: g.d.l.=(2-1)*(2-1)=1 Convenzionalmente si respinge l’ipotesi nulla di indipendenza (H0) se p ≤ 0,05, cioè se il valore del chi-quadrato Х2 è così grande da avere solo il 5% di probabilità di essere dovuto al caso (cioè ad errori casuali) ed il 95% di essere invece addebitabile ad una relazione fra le variabili. Metodologia della ricerca sociale

13. I gradi di libertà • I gradi di libertà sono il numero di valori “liberi di variare”: • in una distribuzione di frequenza con k modalità i gradi di libertà sono sempre K-1 (ad esempio per la variabile genere, una volta definito che i maschi sono il 40% e che il totale è 100% le femmine non possono che essere il 60%, per cui c’è un solo grado di libertà dato da 2-1=1; per la variabile età (codificata da 1 a 100 anni e oltre) dobbiamo definire le quote per tutte le altre età perché un valore sia vincolato: i gradi di libertà sono 100-1=99); • in una tavola di contingenza il numero di valori liberi di variare è dato da (n. di righe – 1) * (n. di colonne -1) cioè dal prodotto dei g.d.l. delle due distribuzioni: Una volta definito il contenuto di una sola cella tutte le altre sono vincolate. Serve definire il contenuto di due celle perché tutte le altre siano vincolate. Metodologia della ricerca sociale

14. I gradi di libertà: esempi […] g.d.l.= (3-1)*(3-1)= 4 Serve definire il contenuto di quattro celle perché tutte le altre siano vincolate. […] g.d.l.= (3-1)*(4-1)= 2*3=6 Serve definire il contenuto di sei celle perché tutte le altre siano vincolate. Metodologia della ricerca sociale

15. Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato • tanto più alti sono i gradi di libertà della tabella (cioè tanto più numerose sono le modalità delle variabili considerate) tanto più alto dovrà risultare il Х2per avere un livello di probabilità accettabile; • 2. tanto più alto è il livello di probabilità desiderato (e dunque tanto più piccolo è il rischio di errore che si è disposti ad assumere) tanto più elevato dovrà risultare il Х2per permettere il rifiuto di H0. Metodologia della ricerca sociale

16. Come si calcola il Chi-quadrato 1. Il calcolo delle frequenze attese (fe) sulla base dei marginali e del totale: 2. Applicazione della formula: Χ2= [(56-41,25)2/41,25]+[(21-35,75)2/35,75]+[(19-33,75)2/33,75]+[(44-29,25)2/29,25] Χ2=5,27 + 6,08 + 6,45 + 7,44 Χ2=25,24 Metodologia della ricerca sociale

17. Come si controlla la significatività del Chi-quadrato 3. Confronto del valore di X2 ottenuto dal calcolo con quello del tabulato: Il valore del Х2 ottenuto è maggiore a tutti quelli riportati in tabella per un solo grado di libertà (25,24>7,88), quindi possiamo affermare che la relazione è significativa con un livello di probabilità superiore allo 0,005. Χ2=25,24 g.d.l.= (2-1)*(2-1)=1*1=1 Metodologia della ricerca sociale

18. Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato. 1. Assenza di relazione significativa Tabella 2x2 Metodologia della ricerca sociale

19. Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato. 2. Presenza di una relazione significativa Tabella 2x2 Metodologia della ricerca sociale

20. Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato. 1. Assenza di relazione significativa Tabella 2x3 Metodologia della ricerca sociale

21. Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato. 2. Presenza di una relazione significativa Tabella 2x3 Metodologia della ricerca sociale

22. Le misure di associazione Il chi-quadrato ci informa circa la significatività della relazione tra due variabili, ma non ci dice nulla circa la sua intensità (o forza). Perché nonè possibile utilizzare il Х2 come misura della forza di una relazione? Semplicemente perché i valori del Х2 sono direttamente proporzionali alla numerosità campionaria: tanto più numerosi sono i casi (più alte le frequenze osservate e attese) tanto più alto sarà il valore dell’indice. Per avere informazioni circa l’intensità della relazione tra due variabili è dunque necessario utilizzare misure di associazione. Le principali misure di associazione si basano però sul Х2, che appare sempre al numeratore o al denominatore. Metodologia della ricerca sociale

23. Le misure di associazione: il Phi Dato che il Х2 non può essere utilizzato come misura di associazione perché dipende dalla numerosità del campione la soluzione più semplice è quella di rapportarlo al numero di casi: la radice quadrata di questo rapporto è detta Phi: Ф. Tale indice però non è normalizzato, ossia non ha un campo di variazione compreso tra 0 e 1: il suo minimo teorico (che indica l’assoluta indipendenza delle variabili) è 0, ma il suo massimo varia a seconda delle dimensioni della tabella. Questo rende difficile sia la sua interpretazione che il raffronto con indici diversi (provenienti da altre popolazioni diversamente numerose). Metodologia della ricerca sociale

24. Le misure di associazione: la V di Cramèr e il C di Pearson La misura V proposta da Cramèr rapporta il valore del Х2al suo massimo teorico, (k - 1)*N, dove k è il minore fra il numero di righe e di colonne: L’indice assume valori compresi fra 0 (indipendenza) e 1 (relazione perfetta). La misura C di Pearson, detta anche coefficiente di contingenza, rapporta il valore del Х2 alla somma tra se stesso e il numero di casi: Questo indice non permette una piena confrontabilità fra valori ottenuti con variabili diverse in quanto il limite superiore varia a seconda delle dimensioni della tabella. Metodologia della ricerca sociale

25. Le misure di associazione asimmetriche Goodman e Kruskal hanno proposto diverse misure di associazione tra variabili nominali basate sul criterio della riduzione proporzionale dell’errore. I calcoli sono complessi, dunque non studieremo le formule, ma in breve: l’associazione è calcolata come la proporzione di riduzione degli errori di previsione nel prevedere il valore di Y (la variabile dipendente) conoscendo X (la variabile indipendente). L’idea è che, se in molti casi conoscere X permette di prevedere Y, le due variabili sono associate; se invece la conoscenza di X non fa diminuire gli errori nel prevedere Y, le due variabili non sono associate. Naturalmente queste misure assumono un valore diverso a seconda di quale variabile viene scelta come dipendente, per questo sono dette misure di associazione asimmetriche. Le misure più note sono laλ(lambda) e la τ (tau) di Goodman e Kruskal, e si leggono come la quota di errore che la conoscenza della variabile indipendente ci evita di commettere nella previsione della variabile dipendente. Metodologia della ricerca sociale

26. Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato, il Phi e la V. 1. Assenza di relazione significativa Tabella 2x3 Metodologia della ricerca sociale

27. Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato, il Phi e la V. 2. Presenza di una relazione significativa Tabella 2x3 Metodologia della ricerca sociale

28. La scarsa fortuna delle misure di associazione • Perché nonostante l’ampio utilizzo di variabili nominali nella ricerca sociale nei rapporti di ricerca si incontrano raramente misure di associazione? • Perché quasi tutte le misure di associazione, come si è visto, sono insoddisfacenti dal punto di vista della confrontabilità. • Perché tutte le misure di associazione presentano dei problemi nella loro interpretazione (mentre la lettura della tabella è semplice e diretta). • Perché quando si ha a che fare con variabili nominali può avere poco senso calcolare un’unica misura di associazione, dato che le modalità delle variabili godono di una piena autonomia semantica. Spesso una buona lettura della tavola di contingenza e delle differenze tra percentuali dice molto di più di uno o più indici di associazione. Come vedremo a breve in alcuni casi è inoltre possibile avvalersi di un’altra serie di strumenti legati all’interpretazione della relazione tra variabili in termini di rapporti di probabilità (odds). Metodologia della ricerca sociale

29. Un caso particolare: la tabella 2x2 • Il caso in cui si abbia a che fare con due variabili dicotomiche è del tutto particolare: • Le misure Φ e V coincidono; • Queste due misure coincidono anche con il coefficiente di correlazione r di Pearson (vedi oltre) calcolato assegnando i valori 0 e 1 alle due modalità di ciascuna variabile; • sostanzialmente questa particolarità è dovuta al fatto che le tavole 2x2 hanno un solo grado di libertà. Le misure di associazione nella tabella 2x2 si basano sul prodotto incrociato: Cross product = (ad - cb) Perché? Perché se la relazione è forte i casi si addensano su una delle due diagonali, e se questo accade la differenza tra il prodotto di a per d e quello di b per c sarà elevata. Metodologia della ricerca sociale

30. La tabella 2x2: il Q di Yule Il Q di Yule è una misura di associazione per tavole 2x2, rapporta il prodotto incrociato alla somma dei prodotti ad e cb: Q= (ad - cb)/(ad + cb) può variare fra -1 e +1; assume il valore 0 in assenza di relazione. Associazione Q=[(75*56)-(32*23)]/[(75*56)+(32*23)] Q=0.65 Mancanza di associazione Q=[(34*36)-(28*42)]/[(34*36)+(28*42)] Q=0.02 Metodologia della ricerca sociale

31. La tabella 2x2: dalle proporzioni agli odds p= Tx0/T Una proporzionep è un rapporto fra la parte e il tutto. Un oddsw(rapporto di probabilità) è il rapporto fra la frequenza di una categoria e quella della categoria alternativa (nel caso di variabili dicotomiche). E’ pari a 1 quando le due modalità della variabile hanno lo stesso peso. w= Tx0/Tx1 Il passaggio dall’odds alla proporzione e quello contrario sono molto semplici, infatti: w= p /(1-p) e p= w/(1+w). Metodologia della ricerca sociale

32. La tabella 2x2: dalle proporzioni agli odds Le proporzioni condizionate e i rapporti di probabilità condizionati non sono che proporzioni e odds calcolati per la variabile X entro una sola delle modalità della variabile Y o viceversa. Le percentuali di riga e di colonna non sono che proporzioni condizionate: a/(a+c)= a/Ty0 b/(b+a)= b/Tx0 ecc… Uomini occupati nel pubblico: a/(a+c) 75/(75+32)=0,701 =70.1% Uomini occupati nel privato: c/(a+c) 32/(75+32)=0,299 =29.9% Metodologia della ricerca sociale

33. I rapporti di probabilità (odds) condizionati. I rapporti di probabilità condizionati (odds condizionati) permettono di analizzare quanto le due variabili sono in relazione. Ad esempio se il rapporto tra uomini e donne occupati nel pubblico fosse uguale a quello nel privato non avremmo ragione di ritenere che ci sia relazione tra il genere e il settore di occupazione, nella tabella invece: Rapporto tra uomini e donne occupati nel pubblico: a/b 75/47=1.59 (per ogni donna occupata nel pubblico ci sono 1,59 uomini) Rapporto tra uomini e donne occupati nel privato: c/d 32/56=0,57 (per ogni donna occupata nel privato ci sono 0,57 uomini) Per poter calcolare gli oddsbasta che una sola delle due variabili sia dicotomica, ma potranno essere calcolati solo per la variabile dicotomica entro le modalità dell’altra. Metodologia della ricerca sociale

34. Il confronto tra rapporti di probabilità condizionati: l’odds ratio Rapporto tra donne e uomini nel pubblico: a/b 75/47=1,59 Rapporto tra donne e uomini nel privato: c/d 32/56=0,57 I rapporto tra i rapporti di probabilità condizionati (odds ratio) permette di formalizzare il confronto tra odds: odds ratio= (a/b)/(c/d) = ad/bc = 1,59/0,57 = 2,78 Come si legge questo valore? Posto pari a uno il rapporto tra donne e uomini occupati nel privato, lo stesso rapporto nel settore pubblico è quasi triplo (2,78 volte superiore). Il rapporto tra gli odds o rapporto di associazione può assumere valori compresi tra 0 e più infinito, e il valore 1 indica l’assenza di relazione (i due rapporti sono uguali). Per poter calcolare l’odds ratio entrambe le variabili devono essere dicotomiche. Metodologia della ricerca sociale

35. Le misure di cograduazione Nel caso in cui entrambe le variabili incluse nell’analisi siano variabili ordinali, è possibile utilizzare non solo misure di associazione, ma anche misure di cograduazione. Non solo cioè è possibile analizzare la significatività statistica e la forza della relazione, ma anche la sua forma (o segno). Relazione diretta Relazione inversa • Cioè è possibile chiedersi: • Esiste una relazione tra anzianità di servizio e reddito da lavoro? • Quanto è forte la relazione tra anzianità di sevizio e reddito da lavoro? • ma anche: • Il reddito da lavoro cresce o decresce al crescere dell’anzianità di servizio? Metodologia della ricerca sociale

36. Le misure di cograduazione: il Gamma Le misure di cograduazione si basano sul confronto fra i valori assunti dalle variabili X ed Y su tutte le possibili coppie di casi, gli esiti possibili di questo confronto sono tre: i casi sono concordanti (P): i valori di X e Y sul caso A sono entrambi maggiori (o entrambi minori) di quelli delle stesse variabili sul caso B; i casi sono discordanti (Q): un caso A ha un valore maggiore di X e uno minore di Y rispetto ad un caso B; i casi sono appaiati: presentano lo stesso valore su X e/o su Y. Se la maggior parte delle coppie è concordante o discordante si è in presenza di una cograduazione. Il coefficiente più noto è il gamma di Goodman e Kruskal (1954) Se γ è uguale a +1 c’è una perfetta relazione positiva, se è uguale a -1 la relazione è negativa. Quando γ è uguale a 0 c’è assenza di relazione (lo stesso numero di coppie discordanti e concordanti). Metodologia della ricerca sociale

37. Le misure di cograduazione: i Tau • Il coefficiente gamma presenta però delle criticità: • tende a sovrastimare la forza di un’associazione (perché non considera le coppie appaiate); • risente del numero delle modalità delle due variabili (aumenta all’aumentare della sensibilità di una delle classificazione delle variabili categoriali ordinate). • Kendall per ovviare a questi limiti ha proposto altre due misure: • il Tau-b (o tau q), più utilizzata per le tabelle quadrate; • il Tau-c (o tau r), più utilizzata per le tabelle rettangolari. Dove: P sono le coppie concordanti, Q le coppie discordanti, Px è il numero massimo di coppie calcolato in base ai marginali della variabile X, Py il numero massimo di coppie calcolato in base ai marginali della variabile Y, N il numero dei casi e m in numero minore tra quello delle modalità in riga e quello delle modalità in colonna. I coefficienti di Kendall, come il gamma, sono ambedue bidirezionali. Metodologia della ricerca sociale

38. Le coppie Coppie concordanti P = a*(e+f+h+i) + b*(f+i) + d*(h+i) + e*i Coppie discordanti Q = c*(e+d+h+g) + b*(d+g) + f*(h+g) +e*g Coppie massime (X) Px = (a+d+g)*(b+e+h) + (a+d+g)*(c+f+i) + (b+e+h)*(c+f+i) Coppie massime (Y) Py = (a+b+c)*(d+e+f) + (a+b+c)*(g+h+i) + (d+e+f)*(g+h+i) Metodologia della ricerca sociale

39. Le coppie concordanti P = a*(e+f+h+i) + b*(f+i) + d*(h+i) + e*i Metodologia della ricerca sociale

40. Le coppie discordanti Q = c*(e+d+h+g) + b*(d+g) + f*(h+g) + e*g Metodologia della ricerca sociale

41. Le coppie, il Gamma e il Tau-b: un esempio Coppie concordanti P = 12*(9+8+7+11) + 4*(8+11) + 6*(7+11) + 9*11=703 Coppie discordanti Q = 1*(9+6+7+2) + 4*(6+2) + 8*(7+2) +9*2=146 Coppie massime (X) Px = 20*20 + 20*20 + 20*20=1200 Coppie massime (Y) Py = 17*23 + 17*20 + 23*20=1191 Gamma= (703-146)/(703+146) = 0,656 Tau b= (703-146)/√(1200*1191) = 0,466 Metodologia della ricerca sociale

42. Le coppie, il Gamma e il Tau-c: un esempio Coppie concordanti P = a*(d+f)+c*f P = 12*(8+11)+6*11=294 Coppie discordanti Q = b*(c+e)+d*eQ = 1(6+2)+8*2=24 Gamma= (294-24)/(294+24) = 0,849 Tau c= (294-24)*[2*2/(402*(2-1))]= 0,675 Metodologia della ricerca sociale

43. Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-b e il gamma. • Assenza di cograduazione Tabella 3x3 Metodologia della ricerca sociale

44. Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-b e il gamma. 2. Cograduazione Tabella 3x3 Metodologia della ricerca sociale

45. Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-b e il gamma. 3. Contrograduazione Tabella 3x3 Metodologia della ricerca sociale

46. Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-c e il gamma. • Assenza di cograduazione Tabella 4x3 Metodologia della ricerca sociale

47. Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-c e il gamma. 2. Cograduazione Tabella 4x3 Metodologia della ricerca sociale

48. Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-c e il gamma. 3. Contrograduazione Tabella 4x3 Metodologia della ricerca sociale

49. Altre misure di cograduazione • D di Somer, un coefficiente uni-direzionale. Rispetto al gamma, al denominatore troviamo le coppie appaiate, ovvero le coppie formate da casi che hanno lo stesso valore sulla variabile in colonna, considerata dipendente. Il coefficiente D indica la prevalenza di coppie concordanti (cograduate) e discordanti (contrograduate) nell’insieme delle coppie non legate sulla variabile indipendente. • Nel caso di variabili ordinali con un elevato numero di modalità (es. graduatorie o valori derivanti da un termometro dei sentimenti) la misura di cograduazione più utilizzata è il ρ (rho) di Spearman: Dove d è la differenza tra i punteggi di un caso sulle due variabili messe in relazione (ad esempio tra le sue posizioni in due diverse graduatorie), e N è la numerosità della popolazione. Metodologia della ricerca sociale