UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANAPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Modelagem da Histerese Magnética Jean Vianei Leite Curitiba , abril de 2010.

2. Modelo de JA - Parâmetros Parâmetros do Modelo – Ms, k, c, a,  Magnetização de saturação MS • Influência na magnetização máxima e a remanente • O campo coercitivo sofre pouca • alteração

3. Modelo de JA - Parâmetros Parâmetro a • Advém da teoria de Langevin, está associada aos momentos magnéticos e à temperatura. • Modifica a forma do laço, tornando-o mais ou menos inclinado.

4. Modelo de JA - Parâmetros Parâmetro k • Deduzido das considerações a respeito • do bloqueio das paredes dos domínios • Influência na magnitude do • campo coercitivo

5. Modelo de JA - Parâmetros Parâmetro  • Da teoria de Langevin,  está relacionado • às interações entre os domínios • Modifica a retangularidade do laço • e a magnitude da indução remanente

6. Modelo de JA - Parâmetros Parâmetro c • Parâmetro da reversibilidade da magnetização.

7. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS A PARTIR UM LAÇO EXPERIMENTAL DE HISTERESE • O cinco parâmetros do modelo de Jiles-Atherton podem ser obtidos de um laço experimental de histerese do material. • Jiles et alii propõem um algoritmo para obtenção dos parâmetros a partir das susceptibilidades em regiões distintas da curva de histerese e dos valores de campo coercitivo e magnetização remanente, além da magnetização máxima experimentada pelo material. • Outros metodologias propõem métodos de minimização de erro ajustando o conjunto de parâmetros até o modelo seguir a curva experimental.

8. Modelo de JA - Obtenção dos Parâmetros • Os cinco parâmetros do modelo são obtidos de um único laço experimental, o qual tenha atingido a saturação. Obtenção dos parâmetros do modelo – Método de Jiles • Jiles propõe um • algoritmo baseado em • pontos chaves do laço.

9. Modelo de JA – Obtenção do parâmetros • Para a obtenção dos parâmetros, as equações anteriores necessitam ser resolvidas simultaneamente. • As equações são não lineares e complexas, as suas derivadas são complexas também. Há a necessidade de uso um método linear baseado nos dois valores mais recentes da função. • O método das Secantes é geralmente utilizado (Newton-Raphson torna-se complicado para trabalhar com as derivadas).

10. Modelo de JA – Obtenção do parâmetros • Um algoritmo usando o método das Secantes é apresentado a seguir. Uma iteração é mostrada. • Cálculo de k

11. Modelo de JA – Obtenção do parâmetros 2. Cálculo de  • Método das Secantes para calcular

12. Modelo de JA – Obtenção do parâmetros 3. Cálculo de a • Método das Secantes para calcular a

13. Modelo de JA – Obtenção do parâmetros 4. Cálculo de c • O procedimento é repetido até que uma determinada precisão seja obtida.

14. Obtenção dos Parâmetros – Análise do Algoritmo • Pequenas variações nas susceptibilidades, magnetizações e campos retirados da curva medida levam a significativos desvios na obtenção do conjunto de parâmetros. • Conjunto de dados imprecisos podem levar o algoritmo a divergir. • Outra dificuldade é a curva de magnetização inicial, necessária para levantar a susceptibilidade inicial. Assim necessita-se de um sistema para levar o material a estar totalmente desmagnetizado.

15. Obtenção dos Parâmetros – Métodos Alternativos O algoritmo anterior é complexo, composto por um sistema de equações interdependentes. A precisão necessária no levantamento dos parâmetros pode ser evitada utilizando métodos de ajuste da curva medida e o modelo através de algoritmos que minimizem o erro médio entre as curvas modelada e medida (MSE).

16. Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos Parâmetros • No método de minimização do erro entre as curvas, a precisão necessária para levantar os pontos chaves é evitada. • Neste método, os parâmetros são variados seqüencialmente dentro de um limite específico. • O modelo utiliza o conjunto de parâmetros obtido para calcular um novo laço de histerese. O programa então calcula o erro médio entre as curvas obtida e medida.

17. Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos Parâmetros • Observando a evolução do erro médio quadrático entre as duas curvas, o algoritmo, através da malha de controle, decide se a variação dada aos parâmetros foi efetiva no sentido de diminuir o erro médio quadrático. • O algoritmo pode variar os parâmetros novamente e repetir o procedimento até que um erro mínimo permitido seja obtido.

18. Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos Parâmetros • O uso do modelo inverso melhora a convergência do algoritmo apresentado uma vez que usa a indução como variável independente (a indução é filtrada naturalmente pela integração).

19. Obtenção dos Parâmetros – Algoritmos Genéticos • Outra metodologia usada para a obtenção dos parâmetros é a técnica de Algoritmos Genéticos (AG); • AG são mais rápidos que a variação sequencial dos parâmetros e os parâmetros obtidos permitem uma boa concordância entre os laços medidos e calculados. Conjunto inicial de 5 parâmetros

20. Obtenção dos Parâmetros – Algoritmos Genéticos Obtenção de Parâmetros usando EXCEL

21. Comparação entre Modelo Inverso e Direto • Comparações entre os modelos direto e inverso em cascata, mostraram serem os mesmo equivalentes. • Ao final das simulações as ondas encontradas eram exatamente • iguais, em fase e amplitude àquelas usadas na entrada.

22. Problema de laços internos e menores • Parâmetros bons para o laço externo podem não ser bons para os laços internos. • Laços menores não fisicos.

23. Escalonamento Para Laços Internos e Menores • Apesar do modelo de Jiles-Atherton possuir ótima concordância para os laços maiores o mesmo não é observado nos laços internos de indução. • Jiles e Atherton modificam a teoria do ferromagnetismo para ajustar os laços menores e internos, utilizando um fator de escala. • Nessa metodologia as equações necessitam de um prévio conhecimento de onde ocorrerá um ponto de inversão. • Os campos são calculados através de equações transcendentais nos extremos dos laços. • Carpenter apresenta um método similar de ajuste, porém utilizando equações diferenciais.

24. Escalonamento Para Laços Internos • A equação do balanço de energia de Jiles em termos da Indução magnética efetiva Be é: onde é a função de Langevin • A solução homogênea é: Constante

25. Escalonamento Para Laços Internos • A solução particular é dada por: onde L(n)(x) é a n-ésima derivada de L(x). • A solução homogênea representa a curva de magnetização inicial da curva. • A solução particular representa o laço externo de magnetização. • A magnetização é calculada retendo somente a solução particular, escalonando e deslocando os ramos ascendente e descendente.

26. Mp(Bei) Mi Be /a Ms Bei Escalonamento Para Laços Internos M / MS • O fator de escala  necessário para fazer o valor da saturação do laço menor igual ao do maior, no ponto (Mi, Bei) é:

27. Escalonamento Para Laços Internos • O offset que deverá ser somado será: • Para a trajetória de de um laço menor na direção , começando no ponto (Mi, Bei) a magnetização será dada por: • Em termos de equação diferencial:

28. Escalonamento Para Laços Internos • Expandindo por série: M / MS Integrando a equação anterior retida no terceiro termo da expansão Be /a

29. Escalonamento Para Laços Internos • Seguindo o trabalho de Lederer o fator de escalonamento foi aplicado a magnetização total: Laços obtidos por integração da equação anterior

30. Comparação Com Curvas Experimentais • Modelo inverso com e sem fator de escalonamento foi comparado com curvas experimentais; • As curvas experimentais foram obtidas numa bancada construída para caracterização eletromagnética de materiais e medição de perdas eletromagnéticas; • O dispositivo padrão usado foi o transformador de Epstein padrão do tipo B-EP-25cm, com relação de transformação unitária, com 700 espiras, caminho magnético médio de 0,94 m e resistência do primário de 0,691 . • A alimentação é feita controlando-se a tensão no secundário, impondo-se assim a indução magnética.

31. Comparação Com Curvas Experimentais - Equações • As grandezas magnéticas B e H foram obtidas através das grandezas elétricas tensão e corrente: Número de espiras Caminho magnético médio Número de espiras Área da seção transversal do transformador

32. Comparação Com Curvas Experimentais - Materiais Materiais Ensaiados: Material A - Ensaio à 1Hz, 50% das lâminas cortadas no sentido de laminação e 50% cortadas na direção perpendicular; • Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas no sentido de laminação (B 0o); • Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas na direção perpendicular ao sentido de laminação (B 90o); • Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas na direção a 45o ao sentido de laminação (B 45o).

33. B [T] Modelo Medida B [T] H [A/m] H [A/m] Comparação Com Curvas Experimentais - Material A Laços calculados com modelo inverso, sem escalonamento Material A, caracterizado à 1 Hz, indução de pico de 1,24 T Detalhes das altas induções

34. H [A/m] t [s] Comparação Com Curvas Experimentais - Material A • Campo magnético para indução de 1 T

35. B [T] Modelo Medida H [A/m] H [A/m] t [s] Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 0o Laços calculados com modelo inverso, sem escalonamento Material B 0o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,239 T Campo para indução de 0,538 T

36. B [T] Modelo Medida H [A/m] H [A/m] t [s] Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 0o  • Aplicando o fator de escalonamento Variação de  com B Campo com escalonamento para indução de 0,538 T

37. B [T] H [A/m] Modelo Medida H [A/m] t [s] Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 90o Laços calculados com modelo inverso, sem escalonamento Material B 90o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,035 T Campo para indução de 0,8 T

38.  B [T] B [T] H [A/m] H [A/m] t [s] Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 90o • Aplicando o fator de escalonamento Campo para indução de 0,8 T

39. Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 45o B [T] Material B 45o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,258 T Modelo Medida H [A/m] Curvas calculadas com modelo inverso e medidas

40.  B [T] B [T] Modelo Medida H [A/m] Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 45o • Aplicando fator de escalonamento

41. B [T] Modelo Medida H [A/m] H [A/m] t [s] Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 45o Realizando nova modelagem agora com indução de 1,004 T Laços calculados com modelo inverso, sem escalonamento Campo para indução de 0,582 T

42. Circuito RL e RLC • A presença de materiais ferromagnéticos, com permeabilidade magnética variável torna indutâncias variáveis; • Resolução dos circuitos contendo materiais ferromagnéticos, considerando o fenômeno da histerese através do modelo inverso de Jile-Atherton. lm - caminho magnético médio S - área da seção transversal N - número de espiras Circuito RL

43. Circuito RL • Equação do circuito • Transformação para grandezas eletromagnéticas

44. B [T] H [A/m] H [A/m] Número de pontos Circuito RL • Foram considerados os parâmetros do material A. • Saturação modelada pela função de Langevin. Cálculo considerando saturação sem histerese. Tensão senoidal, 1 Hz e 0,5 V

45. B [T] H [A/m] H [A/m] Número de pontos Circuito RL • Saturação modelada pela média da curva de histerese Tensão senoidal, 1 Hz e 0,5 V

46. Circuito RLC Resposta Livre • Circuito RLC

47. B [T] B [T] H [A/m] H [A/m] Circuito RLC Resposta Livre • Laço de histerese do material do núcleo magnético (fictício). Langevin e Média

48. H [A/m] t [s] Circuito RLC Resposta Livre • Campos, considerando indutor linear, saturação e histerese.

49. Conclusão • As principais vantagens dos modelos: • formulação em termos de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem; • necessitam somente de cinco parâmetros. • Como desvantagem tem-se: • processo de identificação dos parâmetros complexo; • comportamento não físico, próximo aos extremos do laço. • Programas utilizando modelos apresentam ótima convergência. • A aplicação do fator de escalonamento, proposto por Carpenter, não produziu melhora na representação dos laços menores. • A boa representação dos laços menores está associada à um bom conjunto de parâmetros, sem necessidade de modificações nas equações do modelo.