Por LUCIANO MENESES CARDOSO DA SILVA Engenheiro Civil Especialista em Recursos Hídricos da ANA

1. Elementos de Estatística Por LUCIANO MENESES CARDOSO DA SILVA Engenheiro Civil Especialista em Recursos Hídricos da ANA Doutor em Desenvolvimento Sustentável (UnB - CDS) M.Sc. Recursos Hídricos (UFRGS - IPH) Especialista em Saneamento Ambiental (Universidade de Linköping - Suécia) Slides próprios e obtidos de Tucci, Porto e Ahy.

2. Conceitos básicos • Variável aleatória: não possui um explicação determinista da sua ocorrência: P. Ex. a precipitação de um local; qual o número que sairá numa roleta • Populaçãoé o universo de possibilidades de ocorrência de uma variável aleatória. P. ex. num dado são seis possibilidades, sendo que cada número tem igual chance de ocorrer. • Amostraé a quantidade de indivíduos (valores) que permite estimar as estatísticas da população. Por ex. após jogar o dado 1000 vezes é possível determinar qual a probabilidade de ocorrer cada um dos número e certamente será 1/6, mas se tivesse jogado o dado apenas 10 vezes, provavelmente minha estimativa da probabilidade seria errada porque minha amostra é pequena.

3. Conceitos • Estatísticas: uma variável aleatória tem várias estatísticas que a caracterizam como: média, desvio padrão, assimetria, etc. • A média pode ser aritmética, geométrica, etc. A média aritmética é simplesmente a média dos valores da amostra; • o desvio padrão retrata a distribuição dos valores da variável com relação a média. Quanto maior o valor, maior a dispersão em relação a média; • A assimetria retrata como os dados se distribuem com relação a média. Uma assimetria positiva mostra que a maioria da freqüência do valores fica são maiores que a média.

4. Número de intervalos (k): 2k≥ n; k: menor inteiro; n: número de elementos da amostra

7. Positiva Negativa Tipos de curva de freqüência

11. Raiz quadrada da Variância Medida da dispersão dos dados Desvio quadrático médio da média

12. Conceitos básicos • Risco: é a possibilidade de ocorrência de valores da variável aleatória fora do planejado. Por ex. qual o risco de ocorrência de um número do dado maior que 4? • Incerteza é o erro da diferença entre as estatísticas da amostra e da população na estimativa do risco. • Em hidrologia a incerteza pode estar na medida das vazões, no processamento dos dados, no tamanho da amostra e na metodologia.

13. Conceitos • Variável estacionária: uma variável é estacionária quando as suas estatísticas não variam com o tempo e não-estacionária no caso contrário. • Ex. a mudança da média do escoamento de uma bacia urbana devido a impermeabilização; aumento ou diminuição da vazão de estiagem depois da construção de uma barragem, são exemplos de variáveis não-estacionárias. • Hidrologia estocástica: trata da estatística temporal. Conceitos de probabilidade para avaliar a variabilidade temporal de uma variável aleatória.

14. Conceitos • Probabilidade e tempo de retorno: A probabilidade é a chance de ocorrência de uma variável. Esta probabilidade pode ser cumulativa ou individual. Ex. A probabilidade de sair o número 3 é de 1/6 a chance de que ocorra uma número maior que 3 é de 3/6 ou ½. • O tempo de retorno (utilizado em hidrologia) retrata a freqüência seqüencial de ocorrência de valores. Ex. o número 3, em média, ocorre a cada seis jogadas. • Portanto TR = 1/P • Em hidrologia é utilizado para caracterizar a freqüência de repetição de um evento. Ex. Uma inundação que tem a chance de ser maior ou igual num ano qualquer de 0,05 ou 5%, tem um tempo de retorno de 1/0,05 = 20 anos. Significa que, em média, a inundação ocorrerá a cada 20 anos. Não significa repetição cíclica.

16. QUESTÃO P ( x >=X)= ? Qual é a probabilidade P de uma variável hidrológica X ser igualada ou excedida em um ano qualquer ? Conceito: Período de Retorno ( ou Recorrência) T T = 1/P (anos) Intervalo de tempo médio, em anos, em que uma variável hidrológica é igualada ou excedida. Para não-excedência: T = 1/(1-P)

17. Se uma vazão Q tem um período de recorrência de 50 anos isto significa que,em média(!), esta vazão é igualada ou excedida a cada 50 anos. • Em outros termos: A vazão Q tem uma probabilidade P= 1/T = 0.02 (ou 2%) de ser igualada ou excedida, em um ano qualquer • OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: É um conceito probabilístico (não significa periodicidade!)

18. Risco é a probabilidade de uma obra falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, N. Pode ser deduzido: R = 1 - (1 - 1/T)N • Exemplo: Qual o risco que a canalização do rio Tamanduateí tem de falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, estimada em 50 anos? A obra foi projetada para T = 500 anos.

20. Hidrologia

21. Qual a vazão de projeto? É um dos problemas mais comuns (e importantes) em hidrologia, uma vez que envolve diretamente as dimensões da obra - e, portanto, o seu custo - e o risco que esta obra tem de falhar durante sua vida útil. Valores usuais de T (ANOS) Obras de microdrenagem 2 a 10 Obras de macro drenagem 25 a 500 Barragens 1000 a 10000

22. Hidrologia Solução: Risco de não ocorrer em qualquer ano = 90% = 0,90 Risco de não ocorrer 5 anos seguidos = (0,9)5 = 0,5905 ≈ 59%

23. Condições • Valores independentes: os valores da amostra não devem apresentar correlação entre si. P. ex. Numa amostra de vazões máximas anuais, o valor de cada ano não devem ter correlação com o do ano seguinte. Por isto que os valores são escolhidos dentro do ano hidrológico. • Variável estacionária: as estatísticas da série não podem se alterar ao longo do tempo. • Amostra representativa: as estatísticas da amostras devem ser representativas da população. O número de anos de uma amostra de valores é importante, mas não significa tudo.

24. Exemplo de Blumenau Cheias máximas em Blumenau/SC: 1852 – 16,52 m 1880 – 17,10 m 1911 – 16,90 m 1983 - 15,34 m 1984 – 15,50 m Entre 1911 e 1984 não houve nenhuma inundação com cota maior que 16,90 m, período pouco representativo

25. Função de distribuição Normal

26. N(μ;σ) Observe como os valores de média (μ) de desvio padrão (σ) alteram a forma e aposição da curva {N(μ;σ)}.

27. Variável reduzida (tabelada)

28. A área sob a curva significa a probabilidade cumulativa de 0 a 1. Z = (X – μ)/σ 1 x σ 2 x σ 3 x σ

29. Z = (X – μ)/σ

31. 10

32. Área = 0,4  Z ≈ 1,28 Z = (X – μ)/σ A = 0,4 A = 0,5 = ?

33. 1

34. Z = (X – μ)/σ X = Z* σ + μ Exemplo: Qméd(μ) = 311 m³/s e desvio padrão (σ) = 169,7 m³/s. Calcule a vazão (X) com 200 anos de retorno (Tr = 200 anos). X = Z.σ + μ ; Para Tr = 200, Z = 2,5758 Então, X = 2,5758.169,7 + 311 = 748,1 m³/s

35. Determinação da Relação Q = f (T) Metodologia 1. Processamento dos dados 2. Escolha da distribuição de probabilidades: determinação da relação entre a vazão (Q) e o tempo de retorno (T) Q = f(T)

36. 1. Processamento dos dados a) coletar uma série de observações hidrológicas de vazões, a mais longa possível (N > 30 anos), de um posto próximo do local de interesse. b) escolher a maior vazão diária de cada ano hidrológico:

37. 1. Processamento dos dados

38. 1. Processamento dos dados c) ordenar as vazões em ordem decrescente (m) e atribuir a cada uma delas uma probabilidade empírica dada pela expressão: P(q > Q) = m/(N+1) Empírico como na Tabela:

39. 1. Processamento dos dados

42. Distribuições de probabilidade • Eventos máximos: • Gumbel, Log-Normal (2 e 3 parâmetros), Pearson III e Log-Pearson III • Eventos mínimos: • Log-Normal (2 e 3 parâmetros), Pearson III, Log-Pearson III e Weibull

43. e e

46. e

47. DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL (TIPO 1) Posição de Plotagem 200 180 Q100= 136 m3/s 160 140 120 100 80 Reta empírica 60 40 20

49. Valores de Kt para Pearson III Tr