Iniziamo con la rappresentazione dell’architettura…

1. … e se l’edifico è complesso? Iniziamo con la rappresentazione dell’architettura…

3. Abbiamo quindi 2 problemi: • la scelta della superficie di riferimento GEODESIA vediamo qual è la miglior superficie per rappresentare la terra • lo sviluppo sul piano di tale superficie CARTOGRAFIA sviluppiamo sul piano questa superficie • La rappresentazione è in prima approssimazione una proiezione ortogonale • in quale sistema di riferimento? • c’è un sistema nazionale/internazionale unico?

4. Forma della terra La terra è tonda e liscia come una palla da biliardo (irregolarità dell’ordine di 1/1000)

5. verticale GEOIDE P mare q P’ Geoide Il Geoide è quella superficie che è sempre perpendicolare alle linee di forza del campo gravitazionale. Assumiamo il Geoide come riferimento delle quote Quota di P è la distanza di P dal Geoide, considerata sulla verticale.

6. v  A  R S Un po’ di storia………….. Eratostene 220 a.c. ipotesi: Terra sferica non animata da moti  verticale diretta nel centro Come determinarne il RAGGIO? • I raggi del Sole si considerano paralleli in quanto provenienti ~ dall’ • A Siene (S), nel giorno del Solstizio d’estate, il Sole illumina il fondo dei pozzi: è allo Zenit • E’ possibile misurare  ad Alessandria (A) • AS è misurato (a passi di cammello!) AS=R* Errore dell’ordine del 10% !!!

7. AS=R*

8. c a Copernico, Galileo, Keplero,… Scoprirono i moti terrestri:la Terra non è una sfera : è schiacciata Mac Laurin (1700): ELLISSOIDE DIROTAZIONE Sorse il problema di come determinare valori per a e c, ovvero =(a-c)/a Campagne per la misura del grado a diverse latitudini: CASSINI – meridiano di Francia PERU’ - LAPPONIA (1737-1743) a  1/300

10. z nord r P Q y x sud CONSIDERAZIONI SUL GEOIDE Ogni particella della Terra è animata nel cosmo da un movimento che deve essere considerato risultante di moti elementari. Ai fine del calcolo della gravità è sufficiente, per i nostri scopi considerare il moto di rotazione (precessione, nutazione, .. sono ininfluenti) La velocità angolare di rotazione w è costante e vale w = 2p/86164 rad/sec FORZE AGENTI SULL’ELEMENTO P

11. nord z r P Q r P y f x g F sud • Accelerazione centrifuga: sul punto P, dove è concentrata la massa m, il moto rotatorio della Terra intorno all’asse polare causa un’accelerazione • a= ² r, dove: • rè la distanza del generico punto Pdall’asse di rotazione •  è la velocità angolare del moto di rotazione (2/giorno siderale) • L’accelerazione determina una forza centrifuga pari a: • massima all’equatore, nulla ai poli • Attrazione newtoniana: sul punto P, dove è concentrata la massa m, la massa M, concentrata in Q esercita la forza • dove: • l è la distanza tra P e Q • G costante newtoniana 6.67 10-11 m3kg-1s-2

12. P f dF g Non possiamo calcolare con la formula F=(GM m’)/l² l’attrazione che TUTTA LA TERRA esercita suP Decomponiamo la massa in elementi infinitesimidM Ciascun elemento infinitesimo esercita sul puntoP dF = G dM l2 La risultanteFdi tutte le forze elementari è l’attrazione newtoniana esercitata da tutta la Terra suP SuP agiscono in prima approssimazionef, dovuta al moto rotatorio, dF, dovuta all’attrazione newtoniana. Cioè g= dF +f La forza di gravità g è la composizione di queste due forze g è la forza di gravità

13. La tangente alla loro direzione in un punto è fornita dalfilo a piombo: è facilmente individuabile geoide Ogni punto della Terra è soggetto allaforza di gravitàed ha un suo valore dig La gravità costituisce un campo di forze: IL CAMPO GRAVITAZIONALE POSSIAMO CONSIDEARE LE LINEE DI FORZA DELCAMPO GRAVITAZIONALE e cioè LINEE CHE HANNO IN OGNI LORO PUNTO PER TANGENTE LA DIREZIONE DELLA FORZA Le linee di forzadel campo gravitazionalesono curve gobbe e si chiamanoverticali

14. Siamo arrivati a dire che: • esiste un campo di forze, il campo gravitazionale • le linee di forza del campo gravitazionale sono inviluppate dalle verticali r P f dm in P sia unitaria, dm=1 F z nord dM P Q g z c y x b a y x dM dF = - G (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² sud g = dF + f f = ² r= ²(x² + y²)½ Quando si dice che una funzione v =v(x,y,z) ammette un potenziale (x,y,z) ? Quando = vx = vy = vz x y z

15. dm dm dV = G = G [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)²]½ l dm volume elementare  densità a b c variabili di integrazione  da db dc V = G   [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)²]½ Le due funzioni dF e f ammettono come potenziali dV e v v = 1² (x² + y²)= 1²r² 2 2 Per i potenziali vale la proprietà additiva IL POTENZIALE DELLA GRAVITÀ W(x, y, z) = V (x, y, z) + v (x, y)

16. Linee di forza W=ci W(x, y, z) = cost Ponendo Troviamo l’equazione di una superficie il cui potenziale ha valore costante, cioè UNA SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE Facendo variare la costante inW= ci si ottiene UNA FAMIGLIA DI SUPERFICI, superfici di livello, che in ogni loro punto sono normali alla direzione della gravità

17. Quella particolare superficie di livello che passa per un punto stabilito, e che definisce il livello medio del mare, è il GEOIDE W=ci verticale P mare Linee di forza linea di forza la verticale le è tangente GEOIDE W=c0 P’ g g è la forza di gravità W(x, y, z) =G   da db dc + 1²r² 2 [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)²]½ W(x, y, z) = V (x, y, z) + v (x, y) = C IL GEOIDE È L’ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA TERRA

18. superficie fisica della Terra GEOIDE W(x, y, z) =G   da db dc + 1²r² 2 [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)²]½ IL GEOIDE È L’ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA TERRA PERCHE’ NON UTILIZZIAMO L’ESPRESSIONE DEL GEOIDE NEL PASSAGGIO PROIEZIONE SUL PIANO

19. QUESTA FORMULA NON E’ OPERATIVA PERCHE’ NON CONOSCIAMO IL VALORE DI  W(x, y, z) =G   da db dc + 1²r² 2 [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)²]½

20. GEOIDE ELLISSOIDE superficie fisica della Terra PROIEZIONE SUL PIANO

21. A Torino differenza di ca. 50 m A Torino scostamento di circa 50m

22. SISTEMI ASSOLUTI E RELATIVI Coordinate geografiche (dipendono dal datum) Latitudine () Paralleli Longitudine () Meridiani

23. Geodetica: curva gobba di minima lunghezza che unisce due punti sull'ellissoide (distanza) Coordinate geodetiche polari e rettangolari

24. sfera osculatrice Raggi principali di curvatura , N

25. Teoremi della geodesia operativa Formule di Puiseaux-Weingarten Fino a lunghezze di archi di geodetica dell'ordine del centinaio di chilometri: • gli angoli misurati fra sezioni normali (A) differiscono da quelli delle corrispondenti geodetiche () di quantità sicuramente inferiori alla massima precisione possibile nelle misure angolari • la differenza di lunghezza fra un arco misurato di sezione normale ed il corrispondente arco di geodetica è sempre trascurabile per qualsiasi valore della lunghezza dell'arco medesimo

26. Semplificazioni della superficie di riferimento Ellissoide Sfera locale Piano tangente

27. Scostamenti ellissoide-sfera - PLANIMETRIA Campo geodetico (di Weingarten) Precisione 10-6 Scostamenti ellissoide-sfera - ALTIMETRIA Livellazione trigonom.

28. Scostamenti ellissoide-piano - PLANIMETRIA Precisione 10-6 Campo topografico Scostamenti ellissoide-piano - ALTIMETRIA Livellazione geom. Precisione 10-6 Livellazione geom.