750 likes | 1.34k Views
Matrik dan operasi-operasinya. Definisi Matrik : susunan bilangan berbentuk segi empat atau bujur sangkar yang diatur dalam baris dan kolom , ditulis antara dua kurung , yaitu ( ) atau [ ]. Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran / ordo : m x n
E N D
Matrik dan operasi-operasinya DefinisiMatrik : susunanbilanganberbentuksegiempatataubujursangkar yang diaturdalambarisdankolom, ditulisantaraduakurung, yaitu ( ) atau [ ] • Jumlahbaris : m • Jumlahkolom : n • Ukuran/ordo : m x n • Elemen diagonal : a11, a22,….. ann
Suatubagantransportasi yang menghubungkan 3 kotadigambarkansebagaiberikut : 1 2 3 Kita buattabel : Kota 1 Kota 2 Kota 3 Dari kota 1 dapatpergikekota 1 1 0 Dari kota 2 dapatpergikekota 1 1 1 Dari kota 3 dapatpergikekota 0 0 1
Angka 1 dari tabel menyatakan bahwa kota pada baris dapat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen aij = 1 ketika dapat pergi dari kota i ke kota j dan lainnya nol. Perhatikan : selalu dapat pergi dari kota i ke kota i Dengan demikian aii = 1 untuk i = 1, 2, 3
Kesamaan Matrik Matrik A danMatrik B dikatakansamajika : • Ordonyasama • Elemen yang seletaksama A = (aij ) A = B jikaaij =bijuntuki = 1,2,……..m dan j = 1,2, …….n B = (bij )
Contoh : 1) Matrik A = B jika a = 2, b = 0, c = 5 dan d = 3. Matrik A dan B tidakakansamadenganmatrik C sebabordo A dan B adalah 2 x 2, sedangkanordo C adalah 2 x 3. 2) R C karena R berordo 1 x 3 dan C : 3 x 1
Bentuk-bentuk Matrik • MatrikBujursangkar : jumlahbaris = jumlahkolom(Ann n x n) Contoh :
b. Matrik Diagonal : matrikbujursangkar yang elemen diagonal utamanyatidaksemuanol(tidakdisyaratkanelemen diagonal harustidaknol), sedangkanelemen yang lain nol. Contoh :
MatrikSegitiga • Matriksegitigaatas : matrikbujursangkar yang setiapelemendibawah diagonal utamabernilai 0 • Matriksegitigabawah : matrikbujursangkar yang setiapelemendiatas diagonal utamabernilai 0 Catatan :tidakdisyaratkanbahwaelemen diagonal harusbernilaitaknol
Contoh : Matrik A adalah matrik segitiga atas, matrik B adalah matrik segitiga bawah, sedangkan matrik C merupakan matrik segitiga atas dan juga matrik segitiga bawah
Adatigahal yang perludiketahuitentangmatriksegitiga : • Transpose darimatriksegitigaatasakanmenghasilkanmatriksegitigabawah, demikian pula sebaliknya. Contoh :
2. Hasil kali antaramatriksegitigaatasakanmenghasilkanmatriksegitigaatas, demikianjugasebaliknya.
3. Matriksegitigamempunyaiinversjikadanhanyajikaelemenpada diagonal utamanyatidakmemuatangkanol (0). Contoh : Matrik A diatastidakmempunyaiinvers, karenasalahsatuelemenpadadiagonalnyabernilainol (0)
e. Matriksatuan/identitas : matrikbujursangkar yang elemen diagonal utamanyabernilaisatu, sedangkanelemen yang lain bernilai nol. Contoh : d. MatrikNol : matrikdengansemuaelemennyanol (0)
Sifatmatrikidentitasdanmatriknol Jika A adalahmatrikberukuran n x n, maka : I . A = A . I = A A + 0 = 0 + A = A A . 0 = 0 . A = 0
f. Matrik singular : matrikbujursangkar yang tidakmempunyaiinvers (determinannya = 0) g. Matrik non singular : matrikbujursangkar yang mempunyaiinvers (determinannya 0)
h. MatrikPangkat : ArAs = Ar + s ; (Ar)s = Ars • Matrik Idempotent : matrikbujursangkar yang berlaku A2 = A atau An = A, dengan n = 2, 3, 4 ….. Contoh : Jawab :
Matrik Nilpotent : matrikbujursangkar yang berlaku A3 = 0 atau An = 0, dengan n = 3, 4 ….. Contoh :
Contoh beberapa kasus pemangkatan matrik 1). Jawab :
Disimpulkan : Untuk n = 1
2) Jawab :
Jadi B5= B. Dengandemikiandapatdisimpulkanbahwapemangkatan B hinggaBnmerupakanpengulangandari B4 B B2 B3 B4 B5 = B
i. Transpose matrik Transpose matrik A (dinotasikan AT) , adalahdiubahnyabarismenjadikolomdankolommenjadibarisdarimatrik A. Notasimatematik transpose matrikditulissebagaiberikut : (AT)ij= (A)ji
Pembuktian sifat matrik transpose : Pembuktian sifat 1 :
Pembuktian sifat 2 : Pembuktian sifat 3 :
Contoh Soal : 1) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik : Jawab :
j. Matriksimetri : Sebuahmatrikbujursangkardikatakansimetrijika A = AT. Jikasuatumatrik : A = AT Ditransposemenjadi : Makamatrik A dikatakansimetri, karenaelemen yang terdapatpada A samadenganpada AT
Beberapahalpentingmengenaimatriksimetri : 1. Jika A simetri, maka ATjugasimetri 2. Jika A dan B simetri, maka A+B atau A-B jugasimetri 3. Jika a simetri yang mempunyaiinvers, maka A-I adalahsimetri 4. Jika A memilikiinvers, maka A.AT danAT.A memilikiinvers pula.
ContohSoal : Apakahmatrik A dan B berikutinimerupakanmatriksimetri ? Jawab : A merupakanmatriksimetrikarenaAT = A B bukanmatriksimetrikarena ≠ B
k. MatrikPartisi : sebuahmatrikdapatdibagimenjadibagian yang lebihkecildengangarispemisah/partisimendatardanvertikal.
Iadalahmatrikidentitas 3 x 3, B adalahmatrik 3 x 2 Oadalahmatriknol 2 x 3 C adalahmatrik 2 x 2 Dengancarapartisitersebut, kitadapatlihatbahwamatrik A adalahsebagaimatrik 2 x 2
JikaterdapatmatrikAberukuranm x ndanmatrikBberukurann x r, makauntukmendapatkanhasilperkaliannya (AB) kitadapatmembuatnyamenjadiperkalianmatrikpartisi. • Kita partisimatrik B dalambentukvektorkolom maka : Bentukakhirdisebutperkalianmatrik-kolom.
Contohperkalianmatrikkolom : Cobahasilinidicocokandenganperkalianbiasa.
2. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris Bentuk akhir disebut perkalian matrik-baris
3. Kita partisimatrik A dalambentukvektorbarisdanmatrik B dalambentukvektorkolom. Bentukakhirdisebutperkalianbaris-kolom. Demikian pula dapatdilakukanpartisisebaliknya (kolom-baris), disebutperkaliankolom-baris.
disebut perkalian bagian luar disebut : ekspansi perkalian bagian luar
Contoh soal : Hitung ekspansi perkalian bagian luar AB jika diketahui : Jawab :
Perkalian bagian luar adalah : Jadi ekspansi perkalian bagian luar AB :
Jikamatrik A dipartisimenjadibeberapasubmatrik, makabagiantersebutdinamakanblok. Sehinggakitamempunyaistrukturbloksebagaiberikut:
l.Matrikdalambentukeselonbarisdaneselonbaristereduksi . Matrikmemilikibentukeselonbaristereduksiharusmemenuhikriteria : • Dalamsuatubaris yang semuaelemennyabukannol (0), angkapertamapadabaristersebutharuslah 1 ( disebut leading 1) • Jikasuatubaris yang elemennyanolsemua, makabaristersebutdiletakkanpadabaris paling bawah.
Untuk sembarang dua baris yang berurutan, leading 1 dari baris yang lebih bawah harus berada disebelah kanan leading 1 baris di atasnya. Kolom yang memiliki leading 1 harus angka nol untuk semua elemen pada kolom tersebut.
Contoh : Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1 Syarat 2 : baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
Syarat 3 : baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3 Syarat 4 : matrik di bawah ini memenuhi syarat ke 4 disebut eselon baris
Matrik yang memenuhi kriteria 1 – 3 saja disebut : matrik eselon baris Contoh matrik eselon baris :