1 / 57

Matrik Invers

Matrik Invers. Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5 -1 atau 5 -1 .5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A.A -1 = A -1 .A = I Maka : Jika tidak ditemukan matrik A -1 , maka A disebut matrik tunggal (singular).

valora
Download Presentation

Matrik Invers

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matrik Invers Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5-1 atau 5-1.5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A.A-1 = A-1.A = I Maka : Jika tidak ditemukan matrik A-1, maka A disebut matrik tunggal (singular)

  2. Sifat-sifat matrik yang memiliki invers (invertibel)

  3. Inversmatrik 2 x 2 : Maka , A-1diperolehdenganrumus : 1. A.A-1 = I 2. 3. Jika ad – bc = 0, makamatrik A non-invertibel OBE Metode Gauss-Jordan

  4. Mencariinversdengandefinisi • Langkah-langkahnya : • Dibuatsuatumatrikinversdenganelemen-elemenmatrikpermisalansehinggamendapatkansuatupersamaanjikadilakukanperkaliandenganmatriknya. • Perkalianmatrikdenganmatrikinversnyamenghasilkanmatrikidentitas • Dilakukanpenyelesaianpersamaanmelaluieliminasiataupunsubstitusisehinggadiperolehnilaielemen-elemenmatrikinvers. A A-1 = A-1 A = I

  5. 2) Mencariinversdengan OBE (OperasiBarisElementer) • Langkah-langkah : • Dilakukan OBE padahinggadiperoleh • denganmemperhatikandefinisioperasiberikut: OBE

  6. MatriksElementer: (E) Matriks A(nxn) disebutelementerbiladengansekalimelakukanOperasiBarisElementer (OBE) terhadapmatriksidentitas In. B2(1/5) B2(5) B12 B12 B32(-4) B32(4) B3= B3+ 4B2 B3= B3+(- 4)B2

  7. E = matrikelementer, maka EA = matrikbaru yang terjadibila OBE tersebutdilakukanpadamatrik A. Notasi sebagai berikut : A = EA = . A Contoh : OBE Ek…..E2E1A = In OBE B12 E.A B12

  8. Tunjukkan bahwa matrik adalah perkalian matrik elementer ! Jawab : Dari penyelesaian dengan OBE yang menghasilkan matrik identitas, maka matrik A adalah matrik invertible Dengan demikian, matrik A dapat dituliskan sebagai hasil kali dari matrik elementer. B12 B21(-2) B12(1) B2(-1/3)

  9. Kita memiliki E4E3E2E1A = I dengan : Matrikelementerinimenyatakanoperasibariselementeruntukmembentukmatrik A menjadimatrikidentitas. Dengandemikian :

  10. 3) MencariInversdenganMatrikAdjoint • Langkah-langkah : • Hitung • Carimatrikadjointdenganterlebihdahulumenentukanmatrikkofaktor. • Matrikadjointmerupakanmatriktranspose darimatrikkofaktor. • Matrikinversdiperolehdenganmengkalikanmatrikadjointdenganseper-determinan |A| ≠ 0

  11. Matrik kofaktor dan matrik adjoint Jikabariskeidankolom j dibuang, maka disebut minor keijdarimatrik A. Kofaktorkeijdarimatrik A adalah :

  12. Matrikkofaktordari A adalah:

  13. Sehinggadiperolehmatrikkofaktor A : Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor.

  14. MatrikAdj (A) dariA2x2 = Kesimpulan : C21 = - M21 = - b C11 = M11 = d C12 = - M12 = - c C22 = M22 = a = adj(A) =

  15. Contohsoal : • Carilahmatrikinversdari : Jawab : Cara 1) Misalkan : =

  16. OBE (A | I) (I | A-1) Cara 2)

  17. Cara 3) :

  18. Carimatrikinversdengan OBE darimatrikberikut : Jawab : OBE (A | I) (I | A-1) B21(-3) B2(-1/2) B12(-2)

  19. 3. Tentukan A-1 dan B-1 pada matrik berikut ini :

  20. 3. Apakahmatrik B merupakanmatrikinversdarimatrik A? dan Jawab : HarusdibuktikanapakahA.B = B.A = I A.B = B.A = I Jadimatrik B merupakaninversmatrik A

  21. Inversmatrik 3 x 3 Samasepertimencariinversmatrik 2 x 2, hanyadiperlukanketelitian yang lebihdibandingkanmencariinversmatrik 2 x 2.

  22. Carilahinversdari A = Jawab : C11 = M11 = - 5 C31 = M31 = - 4 C12 = - M12 = 1 C32 = - M32 = 0 C13 = M13 = 1 C33 = M33 = 2 C21 = - M21 = 4 C22 = M22 = - 2 C23 = - M23 = 0

  23. adj(A) = = |A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2 A-1 = = =

  24. MencariinversdenganOperasiKolomElementer (OKE) Sepertihalnyadengan OBE, OKE mengabungkanmatrik A diatasmatrikidentitas, kemudiandilakukanoperasikolomelementersehinggamatrik A bertransformasimenjadimatrikidentitas (I) danmatrikinversberadadibawahnya. Notasipencarianinversdengan OKE : OKE

  25. denganmelakukan OKE ! Carilahinversdari B = Jawab: K21(-2) = ~ K31(-2)

  26. K1(1/2) K12(-1) K13(-1) ~ ~ ~ K3(-1) ~

  27. = Jadi B-1 =

  28. denganmelakukan OBE ! Carilahinversdari B = Jawab : (B | I) = B13 ~ B21(1) ~ B31(2)

  29. B1(-1) ~ B3(-1/2) B13(-3) B12(-2) ~ ~ B23(1)

  30. = (I | B-1) Jadi B-1 =

  31. Carimatrikinversdari OBE Jawab : B21(-2) B31(1) Karenaelemenbariske 3 padamatrikkirisemuanol, makamatrik A tidakpunyainvers (non-invertibel) B32(1)

  32. Mencarinilai x daripersamaan linier berikutini: Dalambentukmatrikpersamaantersebutditulismenjadi : A x = b, dengan :

  33. Denganmenggunakan OBE diperolehmatrikinversdarimatrik A : Sehingganilai x daripersamaandiatasadalah :

  34. FaktorisasiMatrik Faktorisasi suatu bilangan misalnya 30 = 2.3.5, juga berlaku pada matrik. Jadi sebuah matrik dapat dituliskan dalam perkalian dua atau lebih matrik yang disebut : faktorisasi matrik. Contoh :

  35. Faktorisasi LU Suatu matrik bujursangkar A dapat difaktorisasi menjadi matrik L (matrik segitiga bawah) dan matrik U (matrik segitiga atas), sehingga A = LU Contoh : Terdapat 3 matrik elementer yang mereduksi A menjadi matrik U. B32(2) B21(-2) B31(1)

  36. Oleh karena itu : Sehingga diperoleh : A = LU

  37. Ax = b LUx = b atau L(Ux) = b Jika A = LU, • Menyelesaikanpersamaan Ly = b • MenyelesaikanpersamaanUx= y Pemakaianfaktorisasi LU padasistempersamaan linier. Jikadidefinisikany = Ux, maka x dapatdiperolehdengan 2 langkahyaitu :

  38. Contohsoal : Selesaikanpersamaan Ax = b denganmenggunakanfaktorisasi LU jikadiketahui : Jawab : Langkah 1:menyelesaikanpersamaan Ly = b.

  39. Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut : y1 = 1 2y1 + y2 = – 4 –y1 – 2y2 + y3= 9 Diperolehnilai y1=1, y2 = – 6, y3 = – 2

  40. Langkah 2 : menyelesaikan persamaan Ux = y Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut : 2x1+ x2 + x3 = 1 – 3x2 – 3x3 = –6 2x3 = –2 Diperolehnilai x1=1/2, x2 = 3, x3 = – 1

  41. Contoh : Cari faktorisasi matrik A dengan cara LU jika matrik A : Jawab : Reduksi matrik A dalam bentuk eselon baris : B21(-2) B31(-1) B41(3)

  42. B32(-1/2) B43(1) B42(-4) Untukmendapatkanmatrik L, kitahanyamemasukkannilaiperkalianpadasubdiagonalmatrikidentitas. Tiganilaiperkalianoperasipertamayaitu 2, 1 dan – 3 :

  43. Dua nilai perkalian operasi kedua yaitu 1/2 dan 4 : Nilai perkalian operasi terakhir yaitu – 1:

  44. Jadi hasil faktorisasi matrik A dengan metode LU adalah

  45. Matrikpermutasi (P) Matrikpermutasidiperolehdarimatrikidentitas yang elemennyaberpindahposisi/urutannya. Contoh : Apabilamatrik A adalahmatrikbujursangkar, makafaktorisasimatrik A dapatdituliskan : A = PTLU = P-1LU

More Related