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Modelli deterministici per l’inquinamento atmosferico

Modelli deterministici per l’inquinamento atmosferico. I modelli deterministici. Caratteristiche generali (1/3). Per studiare la dispersione di inquinanti in atmosfera, occorre descrivere, in termini matematici:

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Modelli deterministici per l’inquinamento atmosferico

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Presentation Transcript

  1. Modelli deterministici per l’inquinamento atmosferico I modelli deterministici A.A. 2008/2009

  2. Caratteristiche generali (1/3) Per studiare la dispersione di inquinanti in atmosfera, occorre descrivere, in termini matematici: • il trasporto turbolento di gas (gli inquinanti) disciolti in un altro gas (l’atmosfera). Si deve tener presente che: • l’effetto DOMINANTE è rappresentato dal trasporto convettivo e diffusivo dell’atmosfera • NON dalla diffusione per effetto di gradienti di concentrazione(legge di Fick) A.A. 2008/2009

  3. Caratteristiche generali (2/3) Diffusione per gradiente di concentrazione (Fick) Diffusione per convezione e dispersione A.A. 2008/2009

  4. Caratteristiche generali (3/3) • In linea di principio, tali modelli permettono di stimare la concentrazione di inquinanti nei punti di interesse, una volta noti: • Il campo vettoriale del vento • La turbolenza atmosferica • Gli effetti di tunneling e canalizzazione dovuti all’orografia dell’area di studio • Gli effetti di riflessione ed assorbimento degli inquinanti da parte del suolo • Le reazioni chimiche degli inquinanti in aria • ... A.A. 2008/2009

  5. Possibili descrizioni matematiche (1/4) • DESCRIZIONE LAGRANGIANA: l’evoluzione del fenomeno viene descritta rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il moto dei volumi infinitesimi di fluido (punto di vista molecolare o sostanziale). • DESCRIZIONE EULERIANA: l’evoluzione del fenomeno viene descritta rispetto ad un sistema di riferimento fisso, solidale con il suolo (punto di vista locale). A.A. 2008/2009

  6. Possibili descrizioni matematiche (2/4) Evoluzione del sistema “S” .P s C0 = Configurazione iniziale del sistema .P0 C = configurazione del sistema all’istante t C C0 Xh(Yh,t), funzioni continue fino alla derivata terza (trasformazioni regolari) P0 (Yh), h =1,2,3 P (Xh), h =1,2,3 Nello schema del continuo A.A. 2008/2009

  7. Possibili descrizioni matematiche (3/4) Una qualunque grandezza definita nel sistema “S” (ad esempio la densità  ) si può pensare funzione: • o delle variabili iniziali e del tempo (Yh , t) • si studia la variazione di densità di ogni particella (volume infinitesimo). Yh indipendente da t. • o delle variabili  (Xh , t) • si studia la distribuzione di densità nel campo C occupato all’istante t. Xh dipendenti da t. A.A. 2008/2009

  8. Possibili descrizioni matematiche (4/4) La derivata temporale di una qualunque grandezza definita nel sistema “S” (ad esempio la densità  ) può essere effettuata: • o direttamente, assumendo come variabili Yh (indipendenti da t)e t • o attraverso le Xh(t) d(Yh|t) = (xh|t) +   . X’h dt t x Derivata Derivata molecolare locale A.A. 2008/2009

  9. Schema generale (proprio di tutta la fluidodinamica) PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA In un volume infinitesimo dx.dy.dz, durante il tempo dt, l’incremento della massa dell’inquinante imo e, quindi, la sua concentrazione media ci(x,t) è uguale all’apporto netto dovuto a: • ingressi esterni (x,t) • sorgenti inquinati interne al volume s(x,t) • fattori di rimozione r(x,t) A.A. 2008/2009

  10. Il principio di conservazione della massa dM/dt = d(C.V)/dt = = iAi+S + R M=C.V R S in = (x-x).u(x-x) out = (x+x).u(x+x) A.A. 2008/2009

  11. Secondo la descrizione euleriana (1/3) A.A. 2008/2009

  12. Secondo la descrizione euleriana (2/3) • Per semplicità, nel seguito, ci limiteremo al caso bidimensionale x,z. • A causa della vorticosità dell’atmosfera nei primi 1000 m di atmosfera (PBL), il moto dell’aria (e dell’inquinante) è molto vario e con traiettorie aleatorie. A.A. 2008/2009

  13. Secondo la descrizione euleriana (3/3) • Si analizzi il fenomeno per un tempo T che sia: • Maggiore della scala temporale Tf delle fluttuazioni turbolente (qualche secondo). • Minore della scala temporale delle variazioni di velocità media del campo di vento nel punto di interesse (qualche minuto). ALLORA A.A. 2008/2009

  14. Trattazione delle componenti stocastiche (1/3) A.A. 2008/2009

  15. Trattazione delle componenti stocastiche (2/3) Vx Vx t Fluttuazioni della velocità del vento attorno ad un valore medio A.A. 2008/2009

  16. Trattazione delle componenti stocastiche (3/3) • Le componenti medieVidel campo dei venti sono responsabili degli effetti convettivi o di trasporto. • Le componenti stocastiche (fluttuanti)Vwi sono responsabili degli effetti diffusivi. A.A. 2008/2009

  17. Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa per i termini convettivi (1/5) Teorema della divergenza. Consideriamo il volume infinitesimo di superficie S Vz (x,z+dz) C (x,z+dz) (x+dx, z+dz) Vx (x,z) Vx (x+dx,z) z C (x,z) C (x+dx,z) x (x, z) Vz (x,z) C (x,z) A.A. 2008/2009

  18. Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa per i termini convettivi (2/5) A.A. 2008/2009

  19. Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa per i termini convettivi (3/5) A.A. 2008/2009

  20. Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa per i termini convettivi (4/5) A.A. 2008/2009

  21. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (1/12) • In questa prima e, per ora parziale, componente del trasporto di massa compare solo la velocità media del vento Vi . • La componente fluttuante del vento(Vwx, Vwz) è responsabiledella diffusione turbolenta. • Ma,se si introducono tali componenti stocastiche perV e C nella (1, siottiene un numero di variabili MAGGIORE del numero di equazioni (termini del tipo <Vwj.Cw>). A.A. 2008/2009

  22. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (2/12) • Per risolvere tale problema si ricorre alla così detta: • “Teoria della lunghezza di rimescolamento” • o, anche: “K-theory”. • Essa si basa su alcune ipotesi relative alla: • struttura del campo dei vento • analogie con il meccanismo di diffusione molecolare A.A. 2008/2009

  23. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (3/12) • Si consideri un campo di fluido che sia, in prima approssimazione: • parallelo al piano XY • ed abbia una distribuzione delle componenti medie Vi del tipo: z Vx (z+l) l Vx (z) l Vx (z-l) Vx A.A. 2008/2009

  24. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (4/12) • Si ipotizza che questo profilo della velocità media possa dare ragione anche delle fluttuazione stocastiche del modulo delle velocità, nel senso che: • una particella di fluido, soggetta ad una fluttuazione di velocità Vwx,esaurisce il suo moto turbolento spostandosi lungo Z di una lunghezza caratteristical. A.A. 2008/2009

  25. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (5/12) • Se la particella si porta ad una velocità più bassa Vwx,sviluppando in serie di Taylor il profilo di velocità ipotizzato, in un intorno del punto di ordinata Z, si ottiene: A.A. 2008/2009

  26. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (6/12) • Analogamente, se la particella si porta ad una velocità più alta Vw’x,si ottiene: • Se ore si considerano le differenze di velocità Vwx eVw’xcome fluttuazioni trasversali istantanee della velocità nello strato di livello Z, vale a dire: A.A. 2008/2009

  27. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (7/12) • Se il profilo delle velocità medie descrive, in un opportuno intorno dei vari punti, anche gli effetti della turbolenza dinamica dell’atmosfera, allora: (7 A.A. 2008/2009

  28. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (7/12) • La lunghezza l viene detta: “lunghezza di mescolamento”. • Essa rappresenta “il percorso trasversale che un particella di fluido deve compiere perché la differenza fra la sua velocità iniziale e quella del livello finale a cui giunge sia uguale alla fluttuazione media della velocità dovuta alle componenti turbolente del campo del vento”. A.A. 2008/2009

  29. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (8/12) • La teoria deve essere completata anche con l’ipotesi che: • Le fluttuazioni di velocità longitudinali Vwx e trasversaliVwz siano: • dello stesso ordine di grandezza • inter-correlate mediante il coefficiente di correlazione r A.A. 2008/2009

  30. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (9/12) • Con queste assunzioni, dall’equazione (7 sul modulo delle fluttuazioni: • si può derivare lo sforzo tangenzialexzprodotto da un fluido di densità  per via dalle fluttuazioni turbolente : A.A. 2008/2009

  31. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (10/12) A.A. 2008/2009

  32. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (11/12) • Per il calcolo del flusso dovuto alle componenti stocastiche della velocità del vento Vwe della concentrazione Cwoccorre stimare i loro prodotti: • Vwx.Cw e Vwz.Cw • Basandosi sul modellodella lunghezza di mescolamento, in maniera analoga alla (8 si assume: A.A. 2008/2009

  33. Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-theory (12/12) A.A. 2008/2009

  34. Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa per i termini diffusivi (1/4) A.A. 2008/2009

  35. Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa per i termini diffusivi (2/4) A.A. 2008/2009

  36. Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa per i termini diffusivi (3/4) A.A. 2008/2009

  37. Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa per i termini diffusivi (4/4) • Infine, un terzo processo che contribuisce al trasporto d’inquinante nell’atmosfera è rappresentato dalla diffusione molecolare. • La legge di Fick, in maniera analoga alla diffusione turbolenta, descrive tale flusso come: A.A. 2008/2009

  38. Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa per i termini diffusivi (4/4) • Dove, per semplicità, si è assunto: • D costante sul dominio d’integrazione • K>>D A.A. 2008/2009

  39. Forma differenziale dell’equazione del bilancio di massa • Pertanto, nella sua forma differenziale completa, l’equazione (1 di conservazione della massa diviene: A.A. 2008/2009

  40. Generalizzazione dell’equazione precedente • L’equazione (14 è applicabile, in linea teorica, come principio di conservazione, o ogni grandezza dello Strato di Confine Planetario (PBL) che possa essere espressa come somma di una componente media ed una stocastica. • Temperatura • Velocità del vento • Umidità assoluta... A.A. 2008/2009

  41. Limiti di applicabilità ed assunzioni di base • Tale equazione è applicabile alla descrizione di quelle situazioni in cui: • Sia applicabile la teoria della lunghezza di mescolamento (K-theory) (chiusura al Io ordine). • La scala dei tempi T dei fenomeni sia: • Maggiore della scala temporale Tf delle fluttuazioni turbolente (qualche secondo). • Minore della scala temporale delle variazioni di velocità media del campo di vento nel punto di interesse (qualche minuto). A.A. 2008/2009

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