Uno dei primi modelli del nucleo proposti Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una collezione di “ molecole

1. Il modello della goccia di liquido • Uno dei primi modelli del nucleo proposti • Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una collezione di “molecole” legate fra loro • Queste molecole sono in moto costante e diversi tipi di moto sono possibili Consideriamo il nucleo come una sfera di densità uniforme interna, che va a zero in superficie Goccia di liquido Nucleo forze intermolecolari a forza nucleare corto range Densità indip. dalla densità indip. dalla dalla dimensione goccia dimensione nucleare Calore richiesto per B/A  costante evaporare una massa fissa indipendente dalla goccia

2. Singoli termini dell’energia di legame Il termine di volume +avA Termine dominante, proporzionale al volume BR3. Poichè AR3 B A, e B/A=cost. Ciascun nucleone contribuisce per circa 16 MeV. Da questo deduciamo che la forza nucleare ha corto range, corrispondente approssimativamente alla distanza fra due nucleoni. Questo fenomeno è detto saturazione. Infatti, se ciascun nucleone interagisse con tutti gli altri nucleoni, l’energia di legame totale sarebbe proporzionale ad A(A-1) o approssimativamente ad A2. A causa della saturazione, la densità centrale dei nucleoni è la stessa per quasi tutti i nuclei: 0.17 nucleoni/fm3 o 3x1017 kg/m3. La distanza media fra i nucleoni è circa 1.8 fm. Il termine di superficie -asA2/3 I nucleoni in superficie sono circondati da meno nucleoni. Perciò l’energia di legame è minore rispetto ai nucleoni all’interno. Questo contributo è proporzionale all’area della superficie del nucleo (R2 o A2/3)

3. volume superficie Coulomb B/A (MeV per nucleone) simmetria Numero di massa A Il termine coulombiano –acZ2/A1/3 La forza elettrica repulsiva agente fra i protoni nel nucleo riduce ulteriormente l’energia di legame. Questo termine vale Poichè R A1/3 segue che questo termine è approssimativamente proporzionale a Z2/A1/3 Mettendo tutto assieme troviamo La formula è ancora inadeguata: per A fissato, predice che il nucleo con Z=0 ha la massima energia di legame (cioè tutti i protoni si convertono in neutroni!) Inoltre l’energia di legame per nucleone presenta ancora una pendenza positiva al crescere del numero di massa. Questo non si osserva in natura

4. Un’importante considerazione per le particelle nella buca di potenziale è il principio di Pauli – questo influisce sullo stacking dei singoli protoni e neutroni e quindi sulle rispettive energie buca di protoni buca di neutroni neutrone protone cambiamo 2 protoni in 2 neutroni separazione fra i livelli E cambiamo 2 protoni in 2 neutroni Aumento di energia=2 E Aumento di energia=4x2 E Termine di asimmetria Per passare da N-Z=0 a N>Z con A fissato è richiesta un’energia pari a (N-Z)2E/8 Nuclei con N=Z hanno energia di legame maggiore e sono perciò più fortemente legati di un nucleo con NZ. La correzione viene scalata di 1/A poichè i livelli sono più ravvicinati al crescere di A

5. Contributi a B/A Energia di legame per nucleone (MeV) Numero di massa A

6. Il termine di accoppiamento • Questo riflette l’osservazione sperimentale che due protoni o due neutroni sono sempre più fortemente legati di un protone e un neutrone. • Questa interazione di accoppiamento favorisce la formazione di coppie di nucleoni dello stesso tipo (pp, nn) con spin opposti  e funzione spaziale d’onda simmetrica • Il termine viene aggiunto nel modo seguente: • Per nuclei A dispari • Z pari, N dispari • Z dispari, N pari • Per A pari • Z dispari, N dispari -(Z,A) • Z pari, N pari +(Z,A)

7. La formula di massa semi-empirica (Weizsacher) La formula finale è per l’energia di legame è Da cui si ottiene la formula di massa semi-empirica • I valori esatti dei coefficienti dipendono dal range di masse per cui sono ottimizzati. Un possibile insieme di parametri è • av=15.67 MeV • as=17.23 MeV • ac=0.714 MeV • aa=23.285 MeV • = -11.2 MeV Z ed N pari 0 MeV A dispari +11.2 MeV Z ed N dispari

8. Confronto con l’esperimento • Energia di legame per nucleone dei nuclei con numero di massa A pari • La linea continua corrisponde alla formula di massa semi-empirica • Deviazioni relativamente grandi per A piccolo • Per A grande legame abbastanza più forte a certi Z ed N. Questi cosidetti “numeri magici” vengono spiegati dal modello a shell

9. Limiti della formula semi-empirica • Ulteriori studi della saturazione della forza e della repulsione a corto range indicano che il principio di esclusione di Pauli non è sufficiente. • Il momento angolare orbitale relativo e lo spin dei nucleoni sono richiesto per spiegare le caratteristiche della natura repulsiva della forza. Queste discussioni sono tuttavia qualitative. Non c’è posto nella formula di massa semi-empirica per gli effetti di spin. • L’ipotesi del nucleo sferico implica che il nucleo non ha un momento di quadrupolo elettrico – tuttavia si osservano diversi nuclei aventi momento di quadrupolo diverso da zero. • Se il nucleo può essere considerato come una goccia allora ci aspetteremmo fenomeni collettivi come stati rotazionali o vibrazionali. Il modello della goccia di liquido tuttavia ha un potere preditivo molto limitato in questo senso. • Il modello però si dimostra molto utile per considerare la linea della stabilità nel decadimento  e la stabilità nucleare nella fissione e nel decadimento .

10. Applicazione 1: parabola di massa Consideriamo nuclei con lo stesso numero di massa A (isobari). La formula di Weizsacker può essere trasformata in dove i coefficienti sono Un grafico delle masse nucleari in funzione di Z per A costante dà una parabola di massa per A dispari. Per A pari le masse dei nuclei pari-pari e dispari-dispari si trovano su due parabole spostate verticalmente (di 2ap/A1/2) Il minimo delle parabole si trova per Z=/2. Il nucleo con la massa minore in uno spettro isobarico è stabile rispetto al decadimento .

11. Parabole di massa per A=101, A=106 Più dettagli sul decadimento nelle prossime trasparenze

12. Decadimento  - nuclei di massa dispari I nuclei di numero di massa dispari sono situati su una singola parabola di massa, ad esempio quelli per A=101 nella trasparenza precedente. M(A,Z) è la massa atomica, per cui la massa dell’elettrone creato viene presa in considerazione automaticamente. La massa del neutrino elettronico è così piccola (<< eV/c2) che può essere trascurata. La reazione del decadimento + è possibile solo all’interno di un nucleo, perchè la massa a riposo del neutrone è maggiore di quella del protone.

13. Decadimento  - nuclei di massa pari Gli isobari di numero di massa pari formano due parabole separate, una per i nuclei pari-pari, l’altra per i nuclei dispari-dispari, che sono separate da due volte l’energia di accoppiamento. Talvolta c’è più di un nucleo pari-pari  stabile. Ad esempio, nel caso di A=106, ci sono 10646Pd e 10648Cd. Il primo è genuinamente stabile, poichè è nel minimo della parabola. L’isotopo Cd potrebbe invece decadere via doppio decadimento : Tuttavia, la probabilità di tale processo è così piccola che 10648Cd può essere considerato stabile. I nuclei dispari-dispari per A>14 non sono mai stabili, poichè essi hanno sempre un vicino pari-pari più fortemente legato. I nuclei leggeri 21H, 63Li, 105B, 147N sono stabili, poichè l’aumento dell’energia di asimmetria supererebbe la diminuzione dell’energia di accoppiamento.

14. Intermezzo: cattura elettronica Un diverso processo fisico in competizione col decadimento + è la cattura elettronica: Esiste una probabilità finita di trovare un elettrone di una shell atomica all’interno del nucleo; in particolare per quelli della shell inferiore, la shell K. Poichè una cattura elettronica lascia una vacanza nella shell K, gli elettroni eseguiranno una cascata per riempirla emettendo raggi X caratteristici. La condizione per la cattura elettronica è Dove  è l’energia di eccitazione della shell atomica del nucleo figlio. La cattura elettronica ha perciò più energia a disposizione del decadimento + (2mec2-)

15. Esempio: decadimenti del 40K

16. Applicazione 2: fissione spontanea Per nuclei più pesanti del ferro, l’energia di legame diminuisce al crescere della massa. Un nucleo con Z > 60 può perciò, in linea di principio, suddividersi in due nuclei più leggeri. Fortunatamente, la barriera di potenziale è generalmente così grande che tali reazioni sono molto improbabili. I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è significativa sono certi isotopi dell’uranio. L’altezza della barriera per fissione determina la probabilità di fissione spontanea

17. Stimiamo la massa a cui i nuclei diventano instabili a causa della fissione considerando una deformazione: La massa in assenza e in presenza di deformazione è Per cui Se allora il nucleo è instabile rispetto alla deformazione e può suddividersi.

18. Il termine di volume della SEMF è invariato poichè Variazione del termine di superficie Variazione del termine coulombiano • variazione dell’energia di legame Se Z2/A > 2as/ac B>0 il nucleo è instabile per deformazioni

19. Il modello del gas di Fermi • Il potenziale a cui un singolo nucleone è soggetto è la sovrapposizione dei potenziali degli altri nucleoni. Questo potenziale ha la forma di una sfera di raggio R = R0 A1/3 fm, equivalente ad una buca di potenziale quadrata 3-D di raggio R. • I nucleoni si muovono liberamente (come un gas) all’interno del nucleo, cioè all’interno della sfera di raggio R. • I nucleoni riempiono i livelli nella buca fino all’energia di Fermi EF. • Le buche di potenziale di protoni e neutroni in generale possono essere diverse. • Se l’energia di Fermi fosse diversa per protoni e neutroni, il nucleo sarebbe soggetto a decadimento b in uno stato energeticamente più favorevole • In generale i nuclei pesanti stabili hanno un surplus di neutroni • Perciò la buca del gas di neutroni deve essere più profonda di quella dei protoni • I protoni sono perciò in media meno legati dei neutroni (repulsione Coulombiana) • Possiamo avere 2 protoni/2 neutroni per livello di energia, in quanto gli spin possono essere 

20. La differenza fra l’energia di Fermi e la cima della buca di potenziale è l’energia di legame B = 7-8 MeV/nucleone che abbiamo visto nella discussione del modello della goccia di liquido. La profondità della buca V0 è in buona approssimazione indipendente dal numero di massa A

21. L’hamiltoniana del sistema è data dall’energia cinetica dei singoli nucleoni e abbiamo l’equazione di Schrodinger Possiamo scrivere la funzione d’onda nucleare nella forma (separazione delle variabili) Ciascuna delle funzioni d’onda di singolo nucleone soddisfa quindi Possiamo operare un’ulteriore fattorizzazione in modo da arrivare a equazioni del tipo

22. Abbiamo la soluzione con le condizioni di frontiera quindi Questo implica che il vettore d’onda kix può assumere solo i valori

23. La costante di normalizzazione si trova imponendo in questo modo arriviamo alla funzione d’onda di singolo nucleone con A ciascuna terna di interi (nix,niy,niz) corrisponde un autovalore dell’energia di particella singola

24. Nello stato fondamentale tutti gli stati sono riempiti con due protoni e due neutroni. Nel k-spazio l’intervallo minimo fra due stati diversi è Un singolo stato occupa un volume (p/L)3. Il numero di stati fra k e k + d3k è Il numero totale di stati permessi fino a un valore massimo kF di k è Otteniamo l’energia più bassa assumendo che N = Z = A / 2 e mettendo 4 particelle in ogni stato fino a kF

25. Energia cinetica e raggio nucleare Poichè r0 = A / , il momento di Fermi dipende solo dalla densità nucleare Praticamente per tutti i nuclei con A > 12 abbiamo r0 = 0.17 nucleoni / fm3, da cui Un nucleone con momento di Fermi ha energia cinetica L’energia cinetica di un nucleone di momento k è Tk = h2k2/2m. L’energia cinetica totale è

26. I nucleoni nella buca hanno un’energia cinetica media Se assumiamo che il nucleo sia una sfera di raggio R di densità uniforme r0, allora Possiamo quindi ricavare il raggio R Se kF = 1.36 fm-1, otteniamo

27. Parametri della formula semi-empirica Nella formula di massa semi-empirica il termine dominante è quello di volume Poichè T/A  23 MeV, bvol (energia di legame per nucleone) deve derivare dal bilanciamento di T/A e un’energia potenziale media per nucleone Per calcolare U assumiamo che fra i nucleoni agisca una forza centrale V(|ri-rj|) identica in tutti gli stati. La funzione d’onda di una coppia di nucleoni è L’energia potenziale media Uij è il valore di aspettazione di V rispetto a ij termine diretto termine di scambio

28. Consideriamo per semplicità soltanto il termine diretto Otteniamo l’energia potenziale dell’intero sistema sommando su tutte le coppie, che sono A(A – 1)/2  A2 / 2 Possiamo inoltre porre |f(r)|2 = r(r) / A Nel gas di Fermi la densità è costante r = r0 = A / . Introducendo le coordinate r = ri – rj, R = (ri + rj) / 2 dove

29. Non dipende da A o dal volume. Nel caso della buca di potenziale di lato a ad esempio L’energia totale del sistema è approssimativamente Possiamo quindi scrivere Abbiamo quindi un’energia di legame proporzionale al volume, come nella formula semi-empirica.

30. Equazione di stato del sistema nucleare Abbiamo visto che D’altra parte possiamo esprimere il momento di Fermi in termini della densità come Per cui Equazione di stato del sistema nucleare

31. Se V>0 (forza puramente attrattiva), allora per r  BE/A diventa infinitamente negativa! Il sistema collasserebbe. Esiste una componente repulsiva della forza quando la distanza dei nucleoni è minore di 0.5-0.8 fm

32. Il termine di superficie Presenza di una superficie (S/0): nel conto degli stati fra k e k+d3k dobbiamo sottrarre gli stati per i quali kx (o ky o kz) = 0 Abbiamo quindi Il numero di nucleoni è ora

33. La presenza della superficie diminuisce la densità del sistema di un termine proporzionale a S/ Possiamo quindi calcolare l’energia cinetica totale L’energia cinetica per nucleone è invece (assumendo S/<<1) Il termine di superficie aumenta <T>

34. Assumendo che R = r0A1/3 e poichè kF=(9p/8)1/3/r0, possiamo scrivere Il termine dell’energia cinetica dovuto alla superficie è quindi 18 MeV (vicino a bsup)

35. Energia di simmetria Consideriamo un nucleo con N = Z = A / 2 e supponiamo che l degli Z protoni diventino neutroni Nel caso del nucleo simmetrico Possiamo analogamente definire nel gas asimmetrico Abbiamo quindi

36. Per passare a questa nuova configurazione è necessaria una certa energia perchè l’energia dei protoni sotto il livello di Fermi è minore di quella dei neutroni posti sopra il livello di Fermi. La variazione di energia cinetica è Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come dove

37. Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come Poichè lA = N’ – Z’ bsim = 23.3 MeV  circa il 50% dell’energia di simmetria dei nuclei deriva dal principio di Pauli Il restante 50% dipende dall’energia potenziale che tende ad essere meno attrattivo per momenti grandi per cui i neutroni in eccesso sopra k0F saranno meno legati Inoltre è più attrattivo per coppie n-p (singoletto di isospin) che per coppie p-n, p-p, n-n in tripletto di isospin e il numero di coppie p-n è massimo quando N = Z

38. Altre applicazioni del gas di Fermi – nane bianche Quando una stella esaurisce il suo combustibile comincia a contrarsi. E’ possibile raggiungere una nuova condizione di equilibrio in cui la pressione gravitazionale è bilanciata dalla pressione di degenerazione degli elettroni. Supponiamo che elettroni e protoni formino un gas di Fermi all’interno della stella. La densità di elettroni è Se assumiamo che ci sia un ugual numero di protoni ed elettroni, allora il momento di Fermi è identico e np = ne.

39. Calcoliamo la densità di energia. Per gli elettroni Nel caso dei protoni invece La densità di energia dei protoni è minore poichè la loro massa è circa 2000 volte me

40. Il gas di Fermi possiede una pressione dovuta al principio di esclusione di Pauli che impedisce di mettere più di una particella in un singolo stato. E’ questa pressione che può bilanciare la pressione gravitazionale. In generale abbiamo la relazione fra pressione e densità di energia Quindi nel nostro caso Il contributo alla pressione da parte dei protoni è trascurabile rispetto a quello degli elettroni. Solo questi sono importanti nel contrastare la pressione gravitazionale. D’altra parte, la densità di massa del sistema è Nel caso della densità di massa quindi il contributo degli elettroni è trascurabile. Solo i protoni sono importanti.

41. Dalla relazione densità – momento di Fermi ricaviamo Sostituiamo questo nell’espressione della pressione Possiamo riscrivere Questa è l’equazione di stato della materia degenere all’interno della stella.

42. Introduciamo la densità critica Nel denominatore compare la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone L’equazione di stato può essere riscritta nella forma Cosa succede quando r = rC? In questo caso Gli elettroni si muovono alla velocità della luce  gli effetti relativistici sono importanti

43. L’energia di una particella può essere espressa come Se vc, allora p2c2>>m2c4 e E  pc. Quindi la densità di energia degli elettroni diventa La pressione è Arriviamo, con passaggi simili al caso precedente a

44. Riassumendo, dove

45. Modelli a shell Abbiamo visto che il modello della goccia di liquido dà una descrizione abbastanza buona dell’energia di legame. Offre anche una spiegazione qualitativa della fissione spontanea. Il modello del gas di Fermi, assumendo come potenziale una semplice buca quadra 3D (differente per protoni e neutroni) spiega i termini della formula di massa semi-empirica che non era possibile ricavare dal modello della goccia di liquido. Esamineremo ora ulteriori fatti sperimentali che il modello del gas di Fermi non può spiegare e vedremo quindi come sia possibile migliorare il modello Questo ci porterà al Modello a Shell. Vedremo che i nucleoni possono muoversi liberamente all’interno del nucleo. Questo è in accordo con l’idea che essi sono soggetti a un potenziale efficace globale creato dalla somma degli altri nucleoni.

46. Struttura a shell nucleare Nuclei con valori di “numeri magici” Z e/o N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 sono molto stabili e presentano deviazioni significative dal comportamento nucleare medio. B/A e le energie di separazione sono grandi per i numeri magici energia dalla fissione nucleare Fe Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione energia dalla fusione nucleare energia di legame per particella nucleare (nucleone) in MeV hanno energia di legame 8.8 MeV/nucleone La massa media dei frammenti di fissione è circa 118 235U Numero di Massa A

47. Energia di separazione dell’ultimo neutrone a cui è sottratto il valore della SEMF Energia di legame dell’ultimo neutrone (MeV) Z Numero di neutroni N

48. Sezione d’urto s (mb) numero di neutroni N Energia di particelle a emesse da isotopi di Rn. Picco a N = 128, cioè il nucleo figlio con N = 126 è particolarmente legato Ea MeV numero di neutroni N I nuclei con numeri magici di neutroni hanno sezioni d’urto di assorbimento neutronico fino a 2 ordini di grandezza minori di altri nuclei di masse simili

49. Abbondanze nucleari 56Fe è l’isotopo più abbondante e stabile. Non ha Z o N uguale a un numero magico! 56Fe Oscillazioni delle abbondanze a seconda che Z e N pari o dispari Le abbondanze piccano per Z o N uguali a un numero magico Abbondanza relativa N=50 Nucleo doppiamente magico Z=82 N = 126 208Pb Z=50 N=82 Numero di massa A

50. Nuclei doppiamente magici Nuclei che hanno sia il numero di neutroni che quello di protoni uguale a uno dei numeri magici sono detti doppiamente magici e sono particolarmente stabili Energia di legame sopra la formula di Weizsacher (MeV) Il calcio fornisce un buon esampio. L’esistenza di molti isotopi di calcio può essere dovuto al fatto che Z = 20 è un numero magico. I due isotopi mostrati hanno numero di neutroni 20 e 28, anch’essi numeri magici