L’energia potenziale della forza di gravitazione universale - la velocità di fuga

1. L’energia potenziale della forza di gravitazione universale - la velocità di fuga • La forza di gravitazione universale è conservativa • La velocità di fuga dalla terra: • Per la fuga dalla terra, E>=0:

2. Sistemi di particelle • Abbiamo mostrato come è possibile determinare il moto di un punto materiale • Si determinano le forze che agiscono sul punto materiale • Si applica la seconda legge di Newton • Si risolvono le tre equazioni differenziali per trovare il moto dei punti proiezione sugli assi (se le equazioni sono indipendenti) • Altrimenti si risolve il sistema di tre equazioni derivanti alla seconda legge di Newton. • Si determina così la legge oraria. • Vediamo ora come si può descrivere il moto di sistemi più complessi che non possono essere rappresentati con un punto materiale. • Studiamo cioè i Sistemi di punti materiali! Proviamo ad operare come abbiamo imparato a fare.

3. Sistemi di particelle • Si può scrivere n volte la seconda legge della dinamica, • una volta per ciascun punto facente parte del sistema • poi si può risolvere il sistema di 3n equazioni differenziali che viene fuori. • Molto difficile!! È possibile, rinunciando ad una descrizione dettagliata del moto delle singole particelle, ottenere almeno una descrizione del moto dell’insieme delle particelle?

4. Il centro di massa di un sistema di punti materiali

5. Il centro di massa si trova sul segmento che congiunge i due punti materiali È più vicino al punto materiale di massa maggiore Il centro di massa del sistema terra-sole

6. Tre masse uguali sono ai vertici di un triangolo equilatero di lato L. Determinare la posizione del centro di massa Posso determinare prima il centro di massa delle particelle 1 e 2. Applicazione x 1 2 y 3 x 1 CM12 y 3 L x 1 2 Calcoliamo ora la posizione del CM della particella 3 e di una particella di massa 2m posta nella posizione del CM delle particelle 1 e 2. Il centro di massa si troverà sulla congiungente:

7. Centro di massa di una sbarra omogenea Il centro di massa di corpi simmetrici x x2 x1 Asse di simmetria Centro di simmetria Centro di massa di una disco omogeneo

8. L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Determinare la posizione del CM. CM della sbarra (0,0.45m) ms=0.5kg CM del Disco (0,0.1m) md=1kg Applicazione y y x x

9. Nella figura si vede una piastra quadrata di lamiera uniforme con lato di 6m, dalla quale è stato ritagliato un pezzo quadrato di 2 m di lato con centro nel punto x=2m,y=0m L’origine delle coordinate coincide con il centro della piastra quadrata. Trovare le coordinate x e y del CM. CM Intera piastra (0,0 m) M CM1 incognito (?,0) m1=(36-4)/36M=8/9M CM2 (2,0) m2=1/9M Applicazione y CM x CM2 CM1 • Per ragioni di simmetria

10. Il centro di massa di corpi continui y dm r x z

11. Determinare la posizione del centro di massa di un semidisco omogeneo di massa M e raggio R. Dividiamo il semicerchio in strisce molte sottili Sostituiamo ciascuna striscia con il suo centro di massa (0,y) Associamo a ciascun CM parziale la massa dell’intera striscia. Applicazione per ragioni di simmetria y y+dy y q x

12. Se i vari punti materiali si muovono Anche il centro di massa si muoverà Calcoliamo la sua velocità La velocità del centro di massa

13. Possiamo anche calcolarci l’accelerazione del centro di massa L’accelerazione del centro di massa

14. Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s? Quale sarà la sua velocità? Applicazione t=0 x O t=3s x O

15. Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s? Quale sarà la sua velocità? Applicazione t=0 x O

16. Ricapitoliamo

17. Forze interne Le forze dovute alle altre particelle che fanno parte del sistema di punti materiali Forze esterne Le forze dovute alle altre particelle che non fanno parte del sistema di punti materiali Il teorema del centro di massa dalla definizione di accelerazione del CM

18. La risultante delle forze interne è nulla Le forze interne sono a coppia Il teorema del centro di massa Risultante delle forze esterne Risultante delle forze interne • Ogni coppia ha risultante nulla • La risultante è la somma di tanti termini tutti nulli • Il caso di n=3

19. L’accelerazione del centro di massa è dovuta alle sole forze esterne. Il teorema del centro di massa • il centro di massa si muove come un punto materiale, avente una massa pari alla massa totale del sistema, sottoposto all'azione della risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema. • I singoli punti possono avere un moto complicato • Il moto del centro di massa è influenzato dalle sole forze esterne • Il moto del centro di massa rappresenta il moto di insieme del sistema • Il moto dell’automobile è determinato dalle forze esterne: la forza peso, la normale esercitata dall’asfalto, la forza di attrito esercitata dall’asfalto, la resistenza passiva offerta dall’aria