Número de Oro Razón Divina

1. Trabajo publicado en www.ilustrados.com La mayor Comunidad de difusión del conocimiento Número de Oro Razón Divina Autor: Lic. Yoisell Rodríguez Núñez yoisell@gmail.com yoisell@uci.cu

2. Antecedentes • Desde la antigüedad, los artistas se ocuparon de encontrar una razón que produjera una forma ideal para figuras y estructuras. • Un ejemplo "simple" de proporción numérica aplicada al arte es el canon de Policleto, escultor griego del s. V a. C.  En su estatua "Doríforo" ("el que lleva la lanza") muestra que el cuerpo humano perfecto ha sido creado de tal manera que su altura es ocho veces la cabeza. Esta es una proporción conmensurable, es decir, que emplea números enteros.

3. El Doríforode Policleto s. V a.C. Museo Nacional, Nápoles.

4. Sin embargo, los grandes logros artísticos de la Grecia clásica tienen que ver con la utilización de proporciones inconmensurables, es decir aquellas que se expresan mediante números irracionales. • ¿Existirá alguna regla fija que señale una proporción ideal entre los elementos que integran la obra artística? Sí. La adivinaron y aplicaron los artistas desde la más remota antigüedad; la fijaron los griegos en fórmula matemática; y no fue regla arbitraria establecida al azar, sino fruto de un constante estudio de la naturaleza.

5. Vieron, en efecto, que en la naturaleza, y en la misma figura humana, se daba esta proporción de líneas constante; por lo que aseguraban que ésta era obra de Dios al dar el ser a sus criaturas. • Los egipcios ya conocían esta proporción mediante análisis y observación; y la emplearon en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.C.) • Esta proporción pasó de Egipto a Grecia y de allí a Roma.

6. Sección Áurea - Regla de Oro • La sección áurea fue empleada por filósofos, científicos y artistas que terminaron llamándola en el Renacimiento la proporción divina. • Conocida como la regla de oro, esta razón consiste en una línea dividida en dos partes tal que la línea corta tenga la misma proporción con la línea larga que tiene la línea larga con la línea original. • La construcción geométrica para encontrar el número de oro es sencilla y la veremos a continuación.

7. Bastará dividir un segmento cualquiera en dos partes, a y b , de forma que la razón entre la totalidad del segmento y la parte a sea igual a la razón entre la parte a y la parte b . • Expresado matemáticamente:

8. Donde: • Luego, podemos despejar a en virtud de la fórmula general de las ecuaciones de 2do grado, teniendo en cuenta que a > 0 :

9. Finalmente, dividiendo todo por b obtenemos:

10. El número de Oro • A este número inconmensurable se le llama número de oro ó razón áurea, se representa por el símbolo y su valor es aproximadamente 1,61803... • El símbolo para la relación áurea fue propuesto por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida en honor al escultor griego Phidias (s.V a. C) que solía usar la relación áurea en sus esculturas.

11. El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci. • Los griegos obtuvieron este número al hallar la relación entre la diagonal del pentágono regular y su lado. Esto hace posible construir un pentágono regular usando regla y compás.

12. Al trazar las diagonales de un pentágono regular resulta la estrella pentagonal o estrella de Italia, era el símbolo de la escuela pitagórica y servía a los pitagóricos para reconocerse entre sí.

13. También se halla presente la sección áurea en una figura de resonancias míticas y religiosas como es el pentágono estrellado. Si se observa la siguiente figura es evidente que las diagonales del pentágono que dan lugar a la estrella se cortan en la sección áurea. El pentágono, asimismo, es la base para construir el cuerpo sólido perfecto, el dodecaedro. Platón en el Timeo afirma que el dodecaedro es la materia de la que está hecha el elemento perfecto, el éter, y simboliza además la perfección del Universo.

14. Dodecaedro

15. La sección áurea se encuentra en todas las manifestaciones del arte. Desde Mesopotamia, Egipto y Grecia, hasta nuestros días. Fue estudiada por Pitágoras, Euclides y Vitrubio. En el Renacimiento la investigaron, Uccello, De la Francesca, Paccioli y Alberti. Miguel Ángel, Rafael, Leonardo y Durero la emplearon con mucha frecuencia y aún pintores modernos, como Mondrian, la manejan a menudo. Se emplea igualmente, desde tiempos remotos, en la escultura y en arquitectura.

16. También está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular con una cara que sigue las citadas proporciones. • Pero lo que quizás nos pueda resultar más curioso es la presencia de la razón áurea en la naturaleza. Hay enigmáticas conexiones de la espiral de los nautilus (un tipo de caracol) y las espirales de los girasoles con la razón áurea.

17. Se encuentra además en las proporciones de la diferentes partes del hombre o de varios animales, es el patrón de crecimiento de gemas de vegetales, de fósiles y puede identificarse en la forma de las galaxias y en la agrupación de los átomos de algunas substancias. Por lo mismo constituye un elemento técnico importante que ofrece unidad, equilibrio, balance y elegancia en el arte universal

18. Rectángulo Áureo • Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones... de proporción divina. • Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea. Este tipo de rectángulo, como veremos más adelante, lo empleó Phidias en la fachada del Partenón.  • También podemos verlos hoy en la construcción de muebles, en las cajetillas de tabaco, en las tarjetas de crédito, etc.

19. Construcción Divina • Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Luego, lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

20. Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es nuestro maravilloso número áureo:

21. Presencia de en el Arte • En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro. El hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci

22. Leonardo da Vinci estudió en profundidad la aparición de la razón áurea en el Cuerpo Humano. • Si quieres comprobarlo puedes medir desde tu hombro hasta la punta de los dedos de la mano extendida. El resultado divídelo por la medida desde el codo hasta la punta extendida de los dedos. ¿Cuánto crees que vale esta proporción?.

23. Pues naturalmente su valor es . • Prueba a hacer lo mismo con las medidas desde la cadera al suelo entre la medida desde la rodilla al suelo. • También puedes probar a dividir tu altura total por la medida resultante desde tu ombligo al suelo. Todos estos estudios de Leonardo son fruto de concienzudas medidas y estudios sobre cadáveres que desenterraba.

24. Existen relaciones basadas en la sección áurea en algunas de las más célebres estatuas griegas como el Hermes de Praxíteles (390-330 a. C.). Hermes con Dioniso niño

25. Aparece en la Venus de Milo. En España, en la Alambra, en edificios renacentistas como El Escorial ... y en la propia Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos moluscos. Venus de Milo Museo del Louvre, París

26. El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

27. Leda atómica de Salvador Dalí

28. Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.

29. Los griegos también la emplearon en sus construcciones, especialmente Phidias en El Partenón. La fachada del Partenón está construida sobre rectángulos áureos. Partenón de Atenas

30. Presencia de en la Naturaleza • En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracoles.

32. Suceción de Fibonacci • Fibonacci (Leonardo de Pisa 1170-1240) es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números, cuyos términos a partir del tercero, se forman al sumar los dos inmediatos anteriores. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

33. Esta es la llamada "sucesión de Fibonacci " la cual fue concebida a partir del siguiente "problema de los conejos" que aparece en su gran obra Liber Abaci. El problema en lenguaje actual diría así: • "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."

35. La sucesión de Fibonacci permite construir la espiral de Durero, que es una forma geométrica omnipresente en la naturaleza. Alberto Durero no fue un matemático, sino un artista alemán del Renacimiento, especialmente conocido por sus grabados. La espiral de Durero es útil para investigar las conchas de algunos moluscos, los cuernos de algunos animales, las hileras de piñones en la piña, las semillas de una flor de girasol... Tiene como característica principal el que los puntos sobre los que se traza se corresponden con rectángulos cuyos lados son dos números de la sucesión de Fibonacci.

36. De un rectángulo de Fibonacci se deriva la espiral logarítmica, y de ella los caracoles

37. Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; ó 5 y 8.

38. Verdes – 5, Naranjas –8 Verdes – 8, Rojas –13

39. Otra espiral de Fibonacci

40. En las ciencias naturales, es bien conocida la estructura de Fibonacci en la disposición de las semillas en los girasoles. Las semillas, ubicadas en la gran parte central de las flores, tienen una implantación en espiral: hay dos grupos de espirales, gobernadas por dos funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro en el antihorario. La cantidad de espirales logarítmicas en cada grupo sigue números de Fibonacci consecutivos. ¿Sorprendido? Comprúebelo usted mismo.

41. Disposición de Fibonacci de las semillas del girasol

42. La sucesión de Fibonacci es la pauta que siguen determinados fenómenos de la naturaleza. Puede aprovecharse para explicar el crecimiento de las hojas a lo largo del tallo de una planta o el número de pétalos de algunas flores: por ejemplo, el lirio tiene tres y las margaritas o girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55, o bien 89.

44. Sucesión de Fibonacci vs Regla Áurea • A partir de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Si consideramos la sucesión de las razones entre dos términos consecutivos

45. Límite Divino • Llegamos a la maravillosa conclusión de que:

46. Y hay más… • A partir de dos números cualesquiera, si se considera la sucesión de Fibonacci correspondiente así como la de sus razones, siempre arribaremos a este límite divino.

47. El número áureo en la música • Como ya sabemos, la sucesión de Fibonacci está muy relacionada con el número áureo. El cociente de un término de la sucesión con el anterior tiende al número áureo. • El compositor húngaro Bela Bartok y el francés Olivier Messiaen utilizaron esta serie para determinar la duración de las notas de algunas de sus obras. • El compositor mexicano Silvestre Revueltas(1899 -1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).

48. En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea. ¿Intuición? • Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía  Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea. 

49. Conclusiones • Las extrañas apariciones de la sucesión de Fibonacci y de la razón áurea han dado lugar a interminables especulaciones y análisis y, por supuesto, a una abundante bibliografía. • Sabemos que se rigen por ella variados patrones naturales, así como ciertas proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. • También se han hallado manifestaciones de estas entidades en las artes plásticas, la arquitectura y la música.

50. Las peculiaridades de estas maravillosas razones matemáticas son, en apariencia, infinitas. • Son tan atractivas que es fácil caer encandilados bajo su hechizo. • Por lo pronto, espero y deseo que el presente ayude de alguna manera a entender el por qué la matemática nunca debe ser un obstáculo en nuestras vidas.