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EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS. En esta sección se presentan una serie de ejercicios resueltos buscando tratar uno de cada tipo. 1. Geométricos. 3. De análisis de parámetros. 2. De cálculo. 4. De modelación. 1. ¿ Cómo clasifica el sistema dado?. a). X 1 + X 2 = 1. X 2 + X 3 = 1. X 3.

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EJERCICIOS RESUELTOS

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  1. EJERCICIOS RESUELTOS En esta sección se presentan una serie de ejercicios resueltos buscando tratar uno de cada tipo. 1. Geométricos 3. De análisis de parámetros 2. De cálculo 4. De modelación

  2. 1. ¿ Cómo clasifica el sistema dado? a)

  3. X1 + X2 = 1 X2 + X3 = 1 X3 X2 X1 b)

  4. c)

  5. Resolución: • Cada plano corresponde a una ecuación con tres • incógnitas, son tres planos que se interceptan • en un solo punto, el sistema es Compatible • determinado b) Como son dos planos que se interceptan en una recta, existen infinitas soluciones, luego el sistema es Compatible indeterminado c) Como se tiene tres rectas que no se interceptan las tres, significa que no existen puntos comunes a las tres por tanto no hay solución, luego el sistema es Incompatible

  6. 2. Resolver el sistema:

  7. Resolución: La matriz aumentada del sistema es: Escalonando la matriz: F2 - F4 F2-2F1, F3 - 3F1, F4 - F1

  8. F3 + 4 F2, F4 - F2 F2x(-1) , F3 / 11 Como la matriz escalonada, origina un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, el sistema será Determinado, siendo el sistema equivalente: x1-2x2-5x3+x4=-1 x2 -4x4=1 x3 + x4=0 x4=0 F4 - 9F3 Hallando las incógnitas mediante una sustitución regresiva: x4 = 0 , x3 = 0, x2 = 1 , x1 =1 C.S.= {(1;1;0;0)}

  9. 3. Resolver el sistema por Gauss- Jordan:

  10. Resolución: Resolver un SEL por Gauss-Jordan, consiste en reducir la matriz aumentada a su forma escalonada reducida. La matriz aumentada del sistema es: Llevando la matriz a su forma escalonada reducida: F3 - F2 F1 + F2 F2-2F1, F3 - 3F1

  11. El sistema equivalente será: Como el sistema equivalente presenta dos ecuaciones con tres incógnitas, entonces el sistema será indeterminado, donde: No de var.lib= No de incóg. – No de ecua. Sea x3= t , t Luego: x2 = 2+3t , x1= -1-2t C.S.={ (-1-2t,2+3t,t) / t }

  12. 4. Determinar los valores de a y b para que el sistema: • tenga solución única • no tenga solución • tenga un número infinito de soluciones.

  13. Resolución: Llevando la matriz a su forma escalonada : F1-F3 F2-5F1, F3-2F1

  14. Finalmente se tendrá: F3-F2 i) El sistema tendrá solución única si es determinado, luego se cumplirá: ii) El sistema no tiene solución si es incompatible, luego se cumplirá:

  15. iii) El sistema tendrá infinitas soluciones si es indeterminado, luego se cumplirá:

  16. 5.Kimberly Clark vende maquinas limpiadoras de alfombras. El modelo EZ-1000 pesa 10 kilos y viene en una caja de 10 pies cúbicos. El modelo compacto pesa 20 kilos y viene en una caja de 8 pies cúbicos. El modelo comercial pesa 60 kilos y viene en una caja de 28 pies cúbicos. Cada uno de sus camiones de entregas tiene 248 pies cúbicos de espacio y puede contener un máximo de 440 kilos . Para que un camión esté totalmente cargado, encuentre el número de cajas de cada modelo que debe llevar un camión de acuerdo a lo siguiente: a)Asigne variables a las incógnitas respectivas y formule el modelo matemático que involucre a todas las incógnitas.

  17. b)Resuelva el modelo obtenido en (a) y determine el número de cajas que debe llevar cada camión para que este esté totalmente cargado. c)Si una unidad del modelo EZ-1000 cuesta $20 , una unidad del modelo compacto $30 y una unidad del modelo comercial $50 ¿cuál es el mínimo ingreso que podría obtener un camión en una entrega ? y ¿cuál es el máximo ingreso que podría obtener?

  18. Resolución: a) Sea x el no de cajas del modelo EZ-1000 que debe llevar un camión Sea y el no de cajas del modelo compacto que debe llevar un camión Sea z el no de cajas del modelo comercial que debe llevar un camión Tendremos: Cada camión contiene un máximo de 440 kilos , luego: 10x+20y+60z = 440 Cada camión tiene un espacio máximo de 248 pies cúbicos, luego: 10x+8y+28z = 248 Así el modelo matemático que se obtiene de la situación es: 10x + 20y + 60z = 440 ... (1) 10x + 8y + 28z = 248 ... (2)

  19. b) Resolviendo el modelo obtenido en (a): (1)-(2): 12y+32z =192 3y+8z =48 ...(3) Como hay dos ecuaciones con tres incógnitas se tiene una variable libre luego: sea z = t , De (2): y = 16- (8/3)t De (1): x = 12- (2/3)t Analizando, los posibles valores que puede tomar t son: 0;3 y 6 Para t=0 , se tiene x = 12, y=16, z=0 Para t=3 , se tiene x = 10, y=8, z=3 Para t=6 , se tiene x = 8, y=0, z=6

  20. c) El ingreso que puede tener un camión en una entrega será: I = 20x+30y+50z Es decir: I = 20(12-(2/3)t)+30(16-(8/3)t)+50t I = 720- (130/3)t Mínimo ingreso, para t=6 : I = 720-(130/3)(6) = 460 Máximo ingreso, para t=0 : I = 720-(130/3)(0) = 720 Es decir el mínimo ingreso que puede tener una camión en una entrega es de $ 460, y el máximo ingreso es de $ 720.

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