Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi

1. I modelli di valutazione delle opzioni su tassi Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi

2. Definizione dellayield curve • Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount) • Stesso emittente • Stessa liquidità • Diversa scadenza

3. Finalità della yield curve • Interpretazione delle aspettative degli operatori • Valorizzazione dei flussi delle attività e delle passività finanziarie • Analisi del rischio di interesse di un portafoglio • Pricing di alcuni derivati

4. Criteri per la stima • Scelta del campione • Parsimonia • Rassomiglianza • Robustezza

5. Soluzioni per la stima • Metodi di mercato • Metodi no-arbitrage • Obiettivo: minimizzare l’errore

6. Modelli statistici (es. I)

7. Modello TRES/vita residua

8. Stima della continuità • Interpolazione statistica • Adattamento alla polinomiale • Misura dell’errore commesso

9. Interpolazione statistica • Semplicità • Regressione rispetto alla vita residua, per approssimare la dinamica del tasso in funzione del tempo

10. Adattamento polinomiale • Adattamento lineare • Adattamento esponenziale • Adattamento potenza FOGLIO EXCEL

11. 2 R Stima lineare (esempio) • Stimare la curva dei rendimenti utilizzando le equazioni precedenti fa migliorare il fitting della curva aumentando il grado della funzione MODELLO DI STIMA COEFFICIENTE DI DELLA CURVA DEI RENDIMENTI DETERMINAZIONE ( ) r = 4,985 + 0,161t 96,25% t 2 r = 5,032 + 0,1377t + 0,0021 t 96,36% t 2 3 r = 5,436 – 0,2209t + 0,0799 t – 0,0047t 99, 44% t 2 3 4 r = 5,4918 – 0,2921t +0,106 t - 0,0083t + 0,0002t 99,46% t

12. Stima della continuità • Una volta stimata la funzione della curva è possibile determinare la struttura sui nodi scelti, sostituendo i valori delle scadenze alle variabili indipendenti • La curva è continua in ogni punto che rappresenta le scadenze

13. Stima della continuità (es.) • Si prenda la prima curva stimata • Il rendimento dell’attività con scadenza a 3 mesi si determina nel seguente modo • Si calcola il valore di t. Nel caso specifico

14. Stima della continuità (es.) • Si sostituisce il valore i t alla funzione di stima • Si procede in questo modo su tutte le scadenze desiderate

15. Stima della continuità (es.) • Nel caso delle funzioni stimate, fino al quarto grado, le strutture dei rendimenti sono le seguenti

16. Stima logaritmica • Per ottenere migliori risultati in termini di stima è possibile operare mediante logaritmi • La soluzione più semplice per stimare la curva dei rendimenti è quella proposta da Bradley e Crane i quali trasformano rendimenti e scadenze in forma logaritmica

17. Modello di Bradley-Crane • Questo modello di stima ( =96,29) permette di ottenere la seguente serie di rendimenti

18. Modello Cohen-Kramer-Waugh • Nel modello proposto da Cohen, Kramer e Waugh, il rendimento diventa funzione della scadenza, della scadenza al quadrato e del quadrato del logaritmo sempre della vita residua FOGLIO EXCEL

19. Modello Cohen-Kramer-Waugh • Sostituendo alle variabili dell’equazione i coefficienti stimati, si ottiene il valore del TRES stimato [r*(t)].

20. Difetti dei modelli • L’esistenza di flussi eterogenei • I fattori di imposizione fiscale • Le tipologie degli emittenti • Misura del TRES

21. Modello di Echols-Elliot • Echols ed Elliot propongono una funzione di regressione che corregge la distorsione dovuta alle caratteristiche delle cedole • dove i indica il titolo i-esimo e C è l'ammontare della sua cedola

22. Modello di Echols-Elliot • Il modello stimato sull’esempio ( =96,85) permette di ottenere i risultati seguenti

23. Il metodo TRES/duration • La duration approssima la scadenza finanziaria di un titolo con cedola • Per ottenere una curva continua è utilizzare i modelli di stima già proposti in precedenza

24. Interpolazione statistica

25. Interpolazione statistica. Il modello TRES/Duration

26. Altri modelli TRES/duration • Oltre ai modelli statistici presentati si possono applicare quelli già visti per la vita residua • Bradley e Crane • Cohen, Kramer e Waugh

27. Difetti dei modelliTRES/duration • La variabile temporale è dipendente dal rendimento stesso • Il valore in ascissa varia per effetto del tempo ma anche per la variazione del TRES • Con la duration si accorcia sensibilmente l’intera struttura dei rendimenti

28. Calcolo tassi spot • Rendimenti di titoli zero-coupon • Problema della stima in assenza di titoli senza cedola • Metodo del coupon stripping

29. Calcolo tassi spot (es.) • Formula di calcolo

30. Calcolo tassi spot (es.)

31. Calcolo tassi spot (es.) • Se sul mercato esiste un titolo a 6 anni con cedola annuale del 10% (coincidenti con la scadenza dei titoli zero coupon) e un prezzo pari a 97,56 è possibile determinare il tasso spot attualizzando le prime cinque cedole con i tassi della tabella precedente

32. Calcolo tassi spot (es.)

33. Stima struttura continua • Una volta calcolati i tassi spot, è possibile stimare la continuità della curva con uno dei metodi di interpolazione precedenti • Il rischio è quello di forzare la minimizzazione dell’errore, alterando la configurazione dell’intera curva

34. Stima struttura continua • Si ipotizzi di volere stimare la curva dai seguenti tassi spot

35. Il modello degli splines • Una soluzione ampiamente utilizzata è quella degli spline • Si tratta di un insieme di funzioni polinomiali separate rispetto a nodi predefiniti, in corrispondenza dei quali si garantisce la derivabilità

36. Il modello degli splines • I benefici sono: • il cambiamento degli input in un segmento non altera i segmenti contigui • i tassi che esprimono le aspettative degli operatori sono attendibili nel lungo termine e la loro curva è differenziabile • l’interpolazione non introduce oscillazioni ulteriori alla configurazione originaria

37. Il modello degli splines • I problemi sono: • occorre definire in modo soggettivo il numero e la posizione dei nodi • se ci sono troppi nodi si torna alla stima dei tassi di mercato (overfitting) • se i nodi sono pochi si rischia di allontanarsi eccessivamente dai dati di mercato, commettendo un errore elevato

38. Il limite dei modelli di stima • Rimane un limite: i modelli ipotizzano che il rendimento rappresenti la relazione fra i tassi di mercato e le relative scadenze • Il prezzo dei titoli obbligazionari è caratterizzato da altri elementi (emittente, flusso cedolare, tassazione sulle componenti di capitale e di interesse)

39. Il modello matriciale • Il modello matriciale permette di interpretare la relazione fra titoli e scadenze, grazie al vettore dei rendimenti coerente con il set delle scadenze cedolari e di capitale dell’intero mercato

40. Il modello matriciale • Partendo dalla matrice F degli m flussi degli n titoli • Si deve risolvere il sistema • dove P è il vettore degli n prezzi e v è il vettore degli m fattori di sconto

41. Il modello matriciale • Per verificare l’affidabilità di questo modello ci si deve accertare che sia in grado di risolvere un sistema di equazioni caratterizzato da titoli zero coupon determinando il vettore v dei fattori di sconto effettivamente calcolabili mediante la formula

42. Il modello matriciale • Ripartiamo dall’esempio dei titoli zero coupon

43. Il modello matriciale • Le matrici del modello sono le seguenti

44. Il modello matriciale • Occorre quindi risolvere il sistema lineare per ottenere i valori del vettore v dei fattori di sconto

45. Il modello matriciale • Per ottenere il valore di v(1) si deve anzitutto risolvere il determinante della matrice

46. Il modello matriciale • Quindi occorre calcolare il determinante della matrice F

47. Il modello matriciale • A questo punto si risolve il rapporto fra i due determinanti, ottenendo il valore della funzione di sconto in corrispondenza del primo anno

48. Il modello matriciale • Per ottenere il rendimento del titolo senza cedola a 1 anno si risolve la formula seguente

49. Il modello matriciale • In modo del tutto analogo, il valore di v(2) si ottiene calcolando il determinante della matrice

50. Il modello matriciale • Rapportando il determinante riportato nel lucido precedente con quello della matrice F si ottiene