BAB IV

1. BAB IV TURUNAN DALAM RUANG BERDIMENSI n

2. 4.1 FUNGSI DENGAN DUA PEUBAH ATAU LEBIH • Daerah asal (Domain) yaitu himpunan seluruh titik (x,y) pada suatu bidang dimana aturan fungsi berlaku atau masuk akal dan menghasilkan suatu bilangan real. • Daerah hasil (range) adalah himpunan dari nilai-nilai hasil substitusi domain ke fungsi.

3. 4.2 TURUNAN PARSIAL • Turunan Parsial adalah turunan dari suatu fungsi terhadap peubah-peubahnya. • Contoh : f(x,y) = x2y + 3y3 • Turunan parsial terhadap x fx = 2xy • Turunan parsial terhadap y fy = x2 + 9y2

4. 4.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN • Lambang Limit • Definisi Umum Nilai f(x,y) mendekati bilangan L pada waktu (x,y) mendekati (a,b) • Definisi Khusus Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian hingga | f(x,y) – L | < ε dengan syarat 0 < | (x,y) – (a,b) | < δ

5. TEOREMA A (Andaikan n bil.bulat positif, k konstanta, f dan g fungsi)

7. TEOREMA B (Teorema Substitusi) Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional maka Syarat : penyebut ≠ 0 pada fungsi rasional TEOREMA C (Teorema Apit ) Andaikan ada f(x)  h(x)  g(x) untuk semua x dekat c.

8. KEKONTINUAN f (x,y) kontinu di titik (a,b) dengan syarat : • f(x,y) ada • Lim f(x,y) ada • Lim f(x,y) = f(x,y)

9. 4.4 INKREMEN DAN DIFFRENSIAL • Inkremen (pertambahan) Pertambahan (Δz) dari suatu fungsi z = f(x,y) terhadap perubahan (x,y) dari (x1,y1) ke (x2,y2) ditentukan oleh : Contoh : z = 2x3 + xy – y3 Hitung pertambahan z bila (x,y) berubah dari (2,1) ke (2,03;0,98) Δz = f(x2,y2) - f(x1,y1)

10. DIFFRENSIAL Definisi Jika z = f(x,y) maka diffrensial dari z adalah dz = fx(x,y) dx + fy(x,y) dy Contoh : Tentukan dz dari : • z = 3xy + 5xy2 • z = (6x2-2y)2 + 4xy2

11. 4.5 ATURAN RANTAI • Andaikan x = x(t) dan y = y(t) dapat didiffrensialkan di t dan andaikan z = f(x,y) dapat didiffrensialkan di (x(t),y(t)), maka z = f(x(t)) dapat didiffrensialkan di t dengan dz/dt ditentukan oleh :

12. 4.6 TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN • Andaikan f dapat didifrensialkan di p. Maka f mempunyai turunan berarah di p pada arah vektor satuan u = u1i + u2j Duf(x,y)=u1fx(x,y) + u2fy(x,y)

13. 4.7 VEKTOR GRADIEN FUNGSI • Jika diketahui f(x,y) maka vektor gradien fungsi adalah = fx i + fy j • Jika diketahui f(x,y,z) maka vektor gradien fungsi adalah = fx i + fy j + fz k

14. 4.8 BIDANG SINGGUNG PERMUKAAN NILAI EKSTRIM FUNGSI DUA PEUBAH DEFINISI Andaikan Po suatu tuitik di S yaitu daerah asal f, Nilai Ekstrim [f(po)] adalah suatu nilai maksimum atau suatu nilai minimum dari f pada S

15. TEOREMA Andaikan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dari (xo,yo) dan D = fxx fyy – (fxy)2 Maka berlaku : • Jika D>0 dan fxx<0 maka f(xo,yo) nilai maksImum. • Jika D>0 dan fxx>0 maka f(xo,yo) nilai minimum. • Jika D<0 f(xo,yo) bukan nilai ekstrim (titik pelana). • Jika D = 0 pengujian tidak memberi kesimpulan

16. 4.9 MAKSIMUM DAN MINIMUM TERKENDALA PENGALI LAGRANGE TEOREMA Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(p) terhadap kendala g(p) = 0 selesaikan sistem persamaan :