1 / 19

6. METODE PEMBUKTIAN

6. METODE PEMBUKTIAN. JENIS-JENIS METODE PEMBUKTIAN Langsung Tidak langsung - Kontradiktif - Kontrapositif - Vacuous - Trivial - Kasus - E quivalensi. 6.1 Metode Pembuktian Langsung Misal terdapat implikasi p  q dan diasumsikan bahwa p benar .

amara
Download Presentation

6. METODE PEMBUKTIAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 6. METODE PEMBUKTIAN

  2. JENIS-JENIS METODE PEMBUKTIAN Langsung Tidaklangsung - Kontradiktif - Kontrapositif - Vacuous - Trivial - Kasus - Equivalensi

  3. 6.1 MetodePembuktianLangsung Misalterdapatimplikasi p  q dandiasumsikan bahwa p benar. Jikakitadapatmenunjukkanbahwaq benar, makakitatelahmembuktikanbahwaimplikasi pqbenar.

  4. Contoh 6.1 Buktikanbahwajika n adalahbilangangenap, maka (n+1)2adalahbilanganganjil. Bukti : p : n adalahbilangangenap (diasumsikanbenar) q : (n+1)2adalahbilanganganjil p  q Bentukumumbilangangenapadalah 2k. Sedangkanbentukumumbilanganganjil adalah 2m + 1, dengan k dan m adalahbilangan bulat.

  5. Karena n genap, • maka n = 2k, dengan k = bilanganbulat • (n+1)2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 +2k) + 1 • Karena k = bilanganbulat, maka (2k2 +2k) juga • adalahbilanganbulat. • Jika (2k2 +2k) dimisalkandengan m, maka : • (n+1)2 = 2m + 1 (q terbuktibenar). • Karena p benardan q terbuktibenar, maka • implikasi p  q terbuktibenar.

  6. 6.2 MetodePembuktianTakLangsung • 6.2.1 PembuktiandenganKontradiksi Padapembuktiandengankontradiksi, langkah yang perludilakukanuntuk membuktikanbahwaimplikasi p  q bernilaibenaradalahdenganmenentukan ekuivalensinyaterlebihdahulu, yaitu : p  q p q (p q) Jadiuntukmembuktikanbahwaimplikasi p  q merupakanpernyataanbenar, kitaperlumenunjukkanbahwa (p q) adalahpernyataan yang salah.

  7. Contoh 6.2 Buktikanjika 3n + 1 adalahgenapmaka n ganjil. Bukti : p  q p : 3n + 1 adalahgenap q : n adalahganjil (asumsikanbenar) q : n adalahbilangangenap = 2k, k = bilanganbulat. p : 3n + 1 adalahbilangangenap : 3(2k) + 1 = 2(3k) + 1 (salah) Sehingga (p q) adalahpernyataan yang salah. Jadi p  q terbuktibenar.

  8. 6.2.2 PembuktiandenganKontrapositif Kita telahmengetahuibahwanilaikebenaran implikasiselalusamadengannilaikebenaran kontrapositifnya. Jikanilaikebenarandari implikasi p  q adalahbenarmakanilai kebenarankontrapositifnya, yaituqp, jugabenar. Dalambentuksimboldapatditulis : (p  q) qp. Jadiuntukmembuktikannilaikebenaran suatuimplikasikitadapatmembuktikannya melaluikontrapositifnya.

  9. Contoh 6.3 Buktikanbahwajika 3n + 1 adalahbilanganganjil, maka n adalahbilangangenap. Bukti : p : “3n + 1 adalahbilanganganjil” q : “n adalahbilangangenap”. q : “ n adalahbilanganganjil”. q = 2k + 1 3n + 1 = 3(2k+1) + 1 = 2(3k + 2) = p Karena qp bernilaibenar, makapqbernilaibenar.

  10. 6.2.3 Pembuktian Vacuous Untukmenunjukkanbahwaimplikasi p  q bernilai benar, kitacukupmenunjukkanbahwa p bernilaisalah. Contoh 6.4 Diketahui F(n) adalahfungsiproposisional “Jika n > 1, maka n2 > n” Buktikanbahwa F(0) benar! Bukti : F(n) : “Jika n > 1, maka n2 > n” F(n) : n > 1  n2 > n p : “n > 1” q : “n2 > n”. F(n): p  q F(0) : 0 > 1  0 > 0 Karena p salah, maka F(0) benar.

  11. 6.2.4Pembuktian Trivial Untukmembuktikanimplikasi p  q, kitaperlu menunjukkanbahwa q bernilaibenar. Contoh 6.5 Diketahui F(n) adalahfungsiproposisional “Jika a b,maka an bn” Buktikanbahwa F(0) benar! Bukti : F(n) : “Jika a  b, maka an bn” F(n) : a  b  an bn p : “a  b ” q : “an bn ”. F(0) : a  b  1=1 Karena q benar, maka F(0) benar.

  12. 6.2.5 Pembuktianberdasarkankasus Untukmembuktikanbahwaimplikasi p  q, kitaperlumembentuk p menjadibentuk disjungsi, yaitu : p  p1  p2  p2  . . . pn Selanjutnya : p1  p2 p3 . . . pn  q (p1  q)  (p2  q)  (p3  q)  . . .  (pn  q)

  13. Contoh 6.6 Buktikanbahwajika p bilanganril, maka |x||y| = |xy| Bukti: p : bilanganril • q: |x||y| = |xy| • p  q  (p1 q) (p2 q) (p3 q) (p4 q) • KasusI: • p1: x  0  y 0 • q : |x||y| = xy = |xy| • p1 q benar

  14. Kasus II: p2 : x  0  y < 0 • q : |x||y| = x(-y) = |xy| • p2 q benar • Kasus III: • p3 : x < 0  y  0 • q : |x||y| = (-x)y = |xy| • p3 q benar • Kasus IV: • p4 : x < 0  y < 0 • q : |x||y| = (-x)(-y) = |xy| • p4 q benar • Sehingga (p q) benar (terbukti)

  15. 6.2.6 Pembuktianberdasarkanequivalensi Untukmembuktikanproposisiberbentuk bi-implikasi p  q , kitaperlumeninjau bentukekuivalensi p  q  (pq)  (qp). Jika (pq) dan (qp) terbukti, maka p  q terbukti. • Contoh 6.7 • Buktikanbahwa m2 = n2jikadanhanyajika • m = n atau m = –n • Bukti : • m2 = n2 ((m = n)  (m = –n)) • (m2 = n2((m = n)  (m = –n)))  • (((m = n)  (m = –n))  m2 = n2)

  16. Tinjaukasus I (m2 = n2 ((m = n)  (m = –n))) (m2 – n2 = 0)  ((m = n)  (m = –n))) (m + n)(m – n) = 0  ((m = n)  (m = –n))) Karena (m + n)(m – n) = 0, maka m + n = 0 atau m – n = 0 Sehingga m = – n atau m = n

  17. Tinjaukasus II ((m = n)  (m = –n))  m2 = n2)

  18. KasusIIa : m = n, m2 = (n)2 = n2 Terbukti : m = n  m2 = n2 Kasus II : m = –n  m2 = (-n)2 = n2 Terbukti : m = –n  m2 = n2 Karenakasus I dan II terbukti, maka : m2 = n2  ((m = n)  (m = –n)) terbukti

More Related