NEMATOMAS MATEMATIKOS VAIDMUO ŠIANDIENOS KULTŪROJE

1. NEMATOMAS MATEMATIKOS VAIDMUO ŠIANDIENOS KULTŪROJE Rimas Norvaiša Šiauliai 2013m. vasario 18 d.

2. Matematikos vaidmuo nematomas, nes • egzistuoja didžiulis atotrūkis tarp šiandienos matematikos ir tos matematikos, kurios mokama mokykloje; • mokyklinės matematikos turinį sudaro tarpusavyje nesusijusios skaičiavimo procedūros, naudojamos paprastiems praktiniams uždaviniams spręsti; • tuo tarpu šiandienos matematika yra mus supančio pasaulio supratimo ir pažinimo pagrindas. • Kaip tai suprasti?

3. Pvz. realieji skaičiai • Mokyklinėje matematikoje realieji skaičiai yra kažkas, ką galima tapatinti su geometrinės tiesės taškais. • Nuo 19 a. vyko analizės aritmetizacija. To pasekmė geometrija ir analizė atskirtos. • Cantoro-Dedekindo aksioma: tarp realiųjų skaičių aibės ir tiesės taškų egzistuoja abipus vienareikšmė atitiktis. • Geometrinis kontinuumas atskirtas nuo aritmetinio kontinuumo.

4. Pvz. realieji skaičiai (tęsinys) • Fizikoje realieji skaičiai naudojami fizikiniams dydžiams (laikas, erdvė ir t.t.) apibūdinti. • Todėl realiųjų skaičių savybės perkeliamos fizikinių dydžių savybėms apibūdinti. • Tuo tarpu matematikai turi ne vieną aritmetinio kontinuumo sampratų (hiperrealieji, siurrealieji skaičiai). • ,,Fizikinio kontinuumo” apibūdinimas yra sena problema (viena iš D. Hilberto problemų 1900).

5. Pvz. realieji skaičiai (tęsinys) • Matematikai realiuosius skaičius ,,konstruoja” atsietai nuo realios tikrovės. • Kita vertus, jų ,,konstrukcijos” naudojamos kurti gamtamokslines teorijas. • Šia prasme matematika yra mus supančio pasaulio pažinimo pagrindas. • Mokykloje nediskutuojama skaičiaus samprata. • Viešojoje erdvėje skaičiaus sampratą aiškinama numerologijos (skaičių magija) kontekste.

6. Pvz. funkcijos riba • Mokyklinėje matematikoje naudojama 17-18 a. funkcijos samprata (išraiška, formulė), o riba aiškinama tik intuityviai. • Ribos samprata yra nevienareikšmė (epsilon-delta, be galo maži dydžiai). • Kita vertus riba apibūdina tokius fizikinius dydžius kaip momentinis greitis, pagreitis ir t.t. Vėl gi, matematika suteikia tikslią prasmę to, kaip mes suvokiame realųjį pasaulį.

7. Pvz. nejudamojo taško teorema • jei funkcija f : [0,1]→[0,1] yra tolydi, tai egzistuoja toks skaičius c ϵ [0,1], kad f(c)=c. • Kai vietoje intervalo [0,1] yra Euklido erdvės iškila ir aprėžta aibė, tai Brouwer’io teorema. • Teoremos iliustracija: šaukšteliu maišant kavą puoduke bent viena skysčio molekulė liks toje pačioje vietoje. • Ekonomikoje ši teorema nurodo ,,bendrosios pusiausvyros” egzistavimo sąlygas ir yra neoklasikinės ekonomikos pagrindas.

8. Matematinis mąstymas (MM) • Po 19 a. matematika – mokslas apie abstrakčias sąvokas ir jų sąryšius. • MM – gebėjimas samprotauti remiantis tik sąvokas apibrėžiančiomis savybėmis. • Pvz. teiginys: kiekvienas natūralusis skaičius yra racionalusis skaičius. Jo pagrindimui būtina žinoti sąvokas ir logiką (moksleiviai to nežino kaip rodo apklausa) • Kitas pvz. diferencijuojama taške funkcija yra tolydi tame taške (čia funkcija – objektas su savo savybėmis).

9. Matematinis mąstymas (tęsinys) • MM – kelis tūkstantmečius ugdytas tam tikras samprotavimo būdas apie pasaulį siekiant jį paaiškinti ir suprasti. • Pvz. diskretumas ir tolydumas išreiškiami skaičiaus ir dydžio sampratomis. • MM nėra vien tik gebėjimas skaičiuoti ir spręsti standartinius uždavinius. MM nukreiptas į supratimą, ne į skaičiavimą. • MM įgalina kurti naujas sąvokas siekiant išspręsti nestandartines problemas.

10. Matematinis mąstymas (tęsinys) • Pastaruoju metu išaugo matematinio mąstymo gebėjimo poreikis. • 1 tipo MM gebėjimas: turint suformuluotą matematinę problemą, rasti jos matematinį sprendimą. • 2 tipo MM gebėjimas: turint nematematinę problemą, nustatyti ją apibudinančias savybes ir formuluoti atitinkamą naują matematinę sąvoką. • Turėtume ruošti ne tik konkrečių sričių specialistus, bet juos papildyti MM gebėjimu.

11. Matematinis mąstymas (tęsinys) • Mano nuomone MM yra labai vertingas gebėjimas: kūrybiškai spręsti fundamentalias problemas. • Svarbiausia MM yra niekuo nevaržomas kūrybiškumas, MM pats kuria sau taisykles. • Tuo tarpu mene kūrybiškumą riboja išraiškos priemonės (spalvos, medžiaga, instrumentai ir t.t.)

12. Atsakymas į klausimą: • Kodėl turėčiau mokytis matematikos? • Tam, kad maksimaliai atskleisčiau ir įsisavinčiau savo proto kūrybines galias. • Daugiau apie šiuos dalykus tinklaraštyje • www.norvaisa.lt

13. PS: motivacijos nepakanka • Vykdyti matematikos ugdymo tyrimus. • Tobulinti mokyklinės matematikos turinį ir jos perteikimo stilių. • Ar įmanoma ugdyti MM elementus iš esmės nekeičiant mokyklinės matematikos temų? • Tam reikia aiškinti naudojamų taisyklių ir procedūrų matematinį pagrindimą ir jų sąryšius. • Pvz. dviženklių skaičių aritmetikos veiksmus paaiškinti per pozicinę sistemą, trupmenas susieti su natūraliaisiais skaičiais ir rasti bendrą aritmetikos veiksmų pagrindą, t.t.

14. PPS: didžiausi sunkumai • Profesionalai matematikai nelaiko mokyklinės matematikos turinio problemų pakankamai sudėtingomis ir įdomiomis tam, kad skirtų savo laiką. • Pakeisti mokytojų rengimo pobūdį. • Švietimo ir mokslo politika neskatina mokslo bendruomenės domėtis švietimo problemomis. • Dabartinis mokyklinės matematikos turinys ypač ,,nepatinka” humanistinio švietimo paradigmos entuziastams.

15. Ačiū už dėmesį