DESCRIVERE E PREVEDERE: la struttura delle teorie scientifiche nel’esempio del moto dei pianeti

DESCRIVERE E PREVEDERE: la struttura delle teorie scientifiche nel’esempio del moto dei pianeti Scienze, Matematica e Fisica a.s. 2011/2012

L’inizio: la ricerca matematica nel XVII secolo • Si individuano in modo deciso e si sviluppano due capitoli della matematica: la geometria analitica, l’analisi infinitesimale • Tre diverse culture matematiche: italiana (Bonaventura Cavalieri (1591-1647), Evangelista Torricelli (1608-1647)), francese (Pierre de Fermat (1601-1678), Guillaume François de l’Hopital (1661-1704), Michel Rolle (1652-1719)), inglese (John Napier (1550-1617), Henry Briggs (1561-1630), Isaac Barrow (1630-1677)) • Graduale avvicinarsi della matematica ai problemi infinitesimali

L’inizio: la ricerca matematica nel XVII secolo • …nella terza giornata dei “Discorsi” Galileo dimostra che s=1/2at2 per il moto uniformemente accelerato

L’inizio: la ricerca matematica nel XVII secolo • …regola per determinare massimi e minimi di una funzione secondo Fermat Supponiamo ad esempio si vogliano trovare i massimi ed i minimi della funzione y=x(b-x). La regola di Fermat prescrive innanzitutto di calcolarne il valore quando l’argomento x sia accresciuto di E; così facendo otteniamo: (x+E)(b-x-E) che svolto e semplificato da xb-x2-2xE+Eb-E2. Ora scriviamo l’uguaglianza proposta da Fermat: x(b-x)= xb-x2-2xE+Eb-E2. Svolte tutte le semplificazioni possibili si trova 0=-2x+b-E e se poniamo E=0 otteniamo la soluzione x=b/2 ID COMPARO TAMQUAM ESSENT AEQUALIA, LICET REVERA AEQUALIA NON SINT, ED HUJUSMODI COMPARATIONEM VOCAVI ADAEQUALITATEM

ISAAC NEWTON: principi matematici della filosofia naturale • (La forza insita della materia è la disposizione a resistere, per effetto della quale) ciascun corpo, per quanto sta in esso, persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. • Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice impressa, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza è stata impressa. • Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria: ossia, le azioni di due corpi sono sempre uguali tra loro e dirette verso parti opposte. + Libro terzo: Sistema del mondo

Descrivere il moto: la derivazione • Per descrivere il moto occorre dare le funzioni del tempo r=r(t), v=v(t) a=a(t) • Conoscendo r=r(t) possiamo stabilirne le altre caratteristiche v=v(t) (velocità=spostamento nell’unità di tempo), a=a(t) (accelerazione =variazione della velocità nella unità di tempo) • La operazione matematica che ci fa passare dalla conoscenza della posizione a quella della velocità, dalla conoscenza della velocità a quella della accelerazione si chiama derivazione. • Lo spostamento infinitesimo si indica con dr, la variazione di velocità infinitesima si indica con dv, la variazione infinitesima del tempo si indica con dt • v=dr/dt, a=dv/dt

Prevedere il moto: la integrazione • f(t)=f(t0)+f’(ξ)(t-t0) per un particolare ξ che appartiene all’intorno (t0;t) (teorema di Lagrange 1736-1813) • Facendo tendere t ad t0 la quantità t-t0 tende a 0, f(t)-f(t0) tende a 0 e ξ tende a t0 • Se in (t0;t) lf’(t’)l<M cioè se la funzione varia di poco nell’intervallo dato possiamo scrivere f(t)~f(t0)+f’(t0)(t-t0) • Possiamo calcolare l’errore massimo che si commette facendo questa approssimazione infatti: f(t)=f(t0)+f’(ξ)(t-t0) f’(ξ)=f’(t0)+f’’(μ)(ξ-t0) da cui f(t)=f(t0)+f’(t0)(t-t0)+f’’(μ)(ξ-t0)(t-t0)

Prevedere il moto: Newton (1687), il personal computer (1984) e noi (2011) 1) a=-(GM/r3)r, ri, vi 2) vf=vi+ai(tf-ti) 3) rf=ri+vi(tf-ti) 4) assegna a ri il valore rf e a vi il valore vf 5) ricomincia dal punto 2) In questo modo si producono le tre successioni {ri}, {vi}, {ai} che rappresentano rispettivamente le funziono r=r(t), v=v(t), a=a(t) ai tempo ti Questa approssimazione non è stabile dal punto di vista fisico perché non conserva l’energia del sistema e può essere corretta, ad esempio, da un algoritmo che sostituisca il passo 3) con il passo 3 bis) rf=ri+(vf+vi)(tf-ti)/2 Metodi diversi ed anche più sofisticati di integrazione non implicano complessità di calcolo superiori a quelle individuate da questo algoritmo.

Prevedere il moto: Newton (1687), il personal computer (1984) e noi (2011) La precedente approssimazione era al primo ordine in tf-ti, una approssimazione al secondo ordine in tf-ti si può avere dalle relazioni: 1) a=-(GM/r3)r, ri, vi 2) vf=vi+ai(tf-ti)-(GM/2ri3)vi(tf-ti)2 3) rf=ri+vi(tf-ti)+(1/2)ai(tf-ti)2 4) assegna a ri il valore rf e a vi il valore vf 5) ricomincia dal punto 2) notiamo che questa approssimazione consegue dalla precedente considerando anche l’accelerazione media e escludendo termini che dipendono da potenze superiori a tre di tf-ti Notate la simmetria della soluzione! Approssimazioni successive conseguono dalla possibilità di risolvere equazioni algebriche di grado superiore al secondo.

Prevedere il moto: vari ordini di approssimazione per il calcolo del moto armonico in Pascal PRIMO ORDINE VXf:=VXi+up*Xi*dt; Xf:=Xi+VXi*dt; SECONDO ORDINE VXf:=VXi+up*Xi*dt+0.5*up*VXi*sqr(dt); Xf:=Xi+VXi*dt+0.5*up*Xi*sqr(dt); TERZO ORDINE VXf:=VXi+up*Xi*dt+0.5*up*VXi*sqr(dt)+(1/6)*sqr(up)*Xi*dt*sqr(dt); Xf:=Xi+VXi*dt+0.5*up*Xi*sqr(dt)+(1/6)*up*VXi*dt*sqr(dt); QUARTO ORDINE VXf:=VXi+up*Xi*dt+0.5*up*VXi*sqr(dt)+(1/6)*sqr(up)*Xi*dt*sqr(dt)+(1/24)*sqr(up)*VXi*sqr(sqr(dt)); Xf:=Xi+VXi*dt+0.5*up*Xi*sqr(dt)+(1/6)*up*VXi*dt*sqr(dt)+ (1/24)*sqr(up)*Xi*sqr(sqr(dt));

Prevedere il moto: vari ordini di approssimazione per il calcolo del moto armonico in Pascal RUNGE-KUTTA function f1(x,v:real):real; begin f1:=v; end; function f2(x,v:real):real; begin f2:=-(k/m)*x; end; k1:=dt*f1(xi,vxi); q1:=dt*f2(xi,vxi); k2:=dt*f1(xi+0.5*k1,vxi+0.5*q1); q2:=dt*f2(xi+0.5*k1,vxi+0.5*q1); k3:=dt*f1(xi+0.5*k2,vxi+0.5*q2); q3:=dt*f2(xi+0.5*k2,vxi+0.5*q2); k4:=dt*f1(xi+k3,vxi+q3); q4:=dt*f2(xi+k3,vxi+q3); k0:=(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); q:=(1/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4); xf:=xi+k0; vxf:=vxi+q;

dy = f(x,y) dx Equazioni differenziali ordinarie • Equazione differenziale del primo ordine • x: variabile indipendente • y: variabile dipendente solo da x • L’equazione è ordinaria • La funzione y tale che descrive una famiglia (infinita) di soluzioni

y y’= y y0 x0 x Esempio • Per l’equazione differenziale ordinaria una famiglia di soluzioni è data da con c costante arbitraria

Esempio • Per l’equazione differenziale ordinaria una famiglia di soluzioni è data da con C costante arbitraria 0 3.5

Il problema di Cauchy • Definisce la forma generale dei problemi ai valori iniziali (IVP Initial Value Problem) con: • condizione iniziale y(x0)=y0 • intervallo di integrazione [a,b]

Metodi numerici • Per la soluzione numerica di equazioni differenziali si suppone che il problema sia ben posto (i.e. esista unica la soluzione) e che dipenda con continuita’ dai dati iniziali (hp. cruciale dal punto di vista numerico). Tali condizioni sono verificate, per esempio, se la funzione f e’ uniformemente lipschitziana rispetto a y. • Tutti i metodi sono basati sull’idea di discretizzare l’intervallo di integrazione [a,b], mediante un insieme di rete IN={xnε[a,b]: xn= xn-1+hn, xn=b}, e di approssimare la soluzione mediante una funzione di rete {yn, n=0,…N} • I vari metodi numerici si distinguono per come costruiscono la funzione di rete {yn}. Essi possono essere raggruppati in 2 classi principali: • Metodi one-step: il valore yn+1 viene calcolato utilizzando solo yn. • Metodi multistep il valore yn+1 viene calcolato utilizzando k approssimazioni precedenti yn, yn-1,…, yn-k+1.

y stimato } errore vero h x xi xi+1 Il metodo di Eulero • La derivata prima fornisce direttamente la pendenza nel punto xi dove f(xi,yi) è l’equazione differenziale valutata in (xi,yi) • Pertanto la formula di Eulero è: • Si calcola un nuovo valore di yi+1 servendosi della pendenza (uguale alla derivata prima calcolata nel punto di partenza xi) per estrapolare linearmente lungo l’intervallo h

Errore di troncamento • Per valutare la bonta’ di un metodo si introduce l’errore di troncamento: Definizione: si definisce errore di troncamento locale la quantita’: ovvero la quantita’ a meno della quale la soluzione continua soddisfa il metodo discreto. Si definisce poi l’err. di troncamento unitario ti+1=1/h τi+1 • Per i metodi one-step espliciti si puo’ dare una semplice interpretazione geometrica dell’errore di troncamento locale. • Posto

Errore globale di discretizzazione • L’errore globale di discretizzazione e’ definito come • il termine (*) e’ la differenza tra due soluzioni del PVI esso dipende da quanto le soluzioni si discostano tra loro ( dipende da come si sono propagati gli errori locali di troncamento introdotti ai passi precedenti) • Il termine (**) e’ dato dall’errore di troncamento locale e rappresenta l’errore introdotto al passo (i+1)-esimo. Definizione: un metodo e’ consistente se limh 0tn+1=0. Esso ha poi ordine p se tn+1=o(hp) • Per la convergenza occorre che l’accumulo degli errori locali non esploda quando h diventa piccolo stabilita’ (zero stabilita’) CONVERGENZA = CONSISTENZA +STABILITA’

I metodi di RungeKutta (RK) 1 • I metodi RK sono tutti esprimibili attraverso la formula dove (xi,yi,h) è detta funzione incremento e può essere interpretata come la pendenza media della funzione nell’intervallo di integrazione • La funzione  può essere espressa nella forma generale in cui ai sono costanti e ki sono definite da

I metodi di RungeKutta (RK) 2 • Il numero di valutazioni della funzione f, r, e’ chiamato numero degli stadi • Si possono ottenere diversi tipi di metodi RK utilizzando un numero differenter • Il metodo RK del primo ordine è il metodo di Eulero (r1, a11) • Dopo aver scelto r, i valori delle quantità ai, bi, cijpossono essere calcolati uguagliando opportunamente i termini della formula generale con i corrispondenti termini della serie di Taylor

RungeKutta del 2° ordine • Vediamo come… • La versione del secondo ordine della formula RK è dove • Per determinare i valori di a1, a2, b, e c, si ricordi che la serie di Taylor che esprime yi+1 in termini di yi troncata al 2oordine, è data da con

I metodi di RungeKutta (RK) 4 • Pertanto si ottiene • Le due espressioni ottenute per yi+1 possono quindi essere eguagliate ma, per far ciò, occorre preventivamente sviluppare in serie di Taylor l’espressione di k2in un intorno di (xi,yi)

I metodi di RungeKutta (RK) 6 • Il sistema di tre equazioni in quattro incognite appena descritto non ammette soluzione unica • Non esiste un solo metodo del secondo ordine, ma un’intera famiglia di metodi • Aumentando il numero degli stadi si costruiscono metodi di ordine superiore. • In realta’ Butcher ha dimostrato che solo per metodi di ordine fino a 4 c’e’ coincidenza tra numero di stadi e ordine del metodo. Poi le cose vanno leggermente peggio:

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