～計算法の変遷～ 2006 年２月１７日明治大学理工学部数学科鎌田　伊織　　　　　吉本　清夏

π ～計算法の変遷～ 2006年２月１７日明治大学理工学部数学科鎌田　伊織　　　　　吉本　清夏

円周率の計算法の歴史 • 円に内接・外接する正多角形の周長の利用 (アルキメデス（BC3C）・関孝和（１７C）・建部賢弘（１８C)） • 逆正接関数(Arctan)のTaylor展開の利用（Leibniz（１５C)・Sharp（（１７C)・Machin（１８C)) • ＡＧＭ(算術幾何平均：Arithmetic Geometric Mean) (Salamin-BrentによるGauss-Legendre法（１９７６）・Borwein法）　 • ＤＲＭ（分割有理数化:Divide and Rationalize Method）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（後保範（１９９８）＆金田康生（２００２））

Arctan級数とは？ の両辺を微分すると, 項別積分することで, ArctanのTaylor展開が得られる. 実は, ｘ＝1でも成立し, Leibniz級数を得る. （１） x＝　　とすると, Sharpの公式が得られる. （２）・（１）は収束速度が非常に遅く, 効率が悪い・（２）は（１）よりはずいぶん速くなる・長い年月をかけて多くの人々が競って計算するようになった

Arctan級数の公式1/2 • Machin (1706)（当時の最高記録１００桁を求め, その後　　　　　　　　　　　　多くの人に利用された. ） • Euler (1737） (1755)

Arctan級数の公式2/2 • Gauss (1863)(おそらく３項公式で最高効率）　　　　　　　　　　（１９８５年にフェルトンによって１万２１桁を得た） • 高野喜久雄　 (1982) （２００２年に世界一の１兆２４００億桁を達成した公式！）

実験結果1/3 部分和の項数ｊと誤差log１０（π－S（ｊ））との関係＊S（ｊ）＝各公式におけるTaylor 　　　　展開の第ｊ部分和＊横軸＝項数　ｊ＊縦軸＝πとS( j )の誤差の log 10 をとったもの・ ■ マチンの公式・ ■　オイラーの公式① ・ ■　オイラーの公式② ・ ■　ガウスの公式① ・ ■　ガウスの公式② ・ ■　高野喜久雄の公式

実験結果2/3 • ＜グラフからわかったこと＞ • 傾きは, それぞれの公式において最も収束速度が遅い項による • 　　　　　　　　　　（収束速度はArctan（ｘ）の｜ｘ｜が大きいほど遅くなる） • Arctan（ｘ）の｜ｘ｜が大きい項をもつ公式ほど, |傾き|が小さい • 傾きと｜ｘ｜のlog10値を比べてみる • ＊傾きは log10（ｘ）の２倍 • 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　になっている • ＊次に, この関係を調べる

実験結果3/3 　　　　　＜Machinの公式（）を例にとって考える＞　　　　　　　　　　　　とおき, Taylor展開をすると, となる. また, j での部分和は, よって, πと j での部分和との誤差は, 対数をとるとよって,log10xの２倍が傾きになると考えられる.

算術幾何平均とは・・・ ・　　　　　のことを昔は算術平均・幾何平均と呼んでいた．・　　　　　　　　　とし、・数列｛　｝と｛　｝は共通の極限に収束する．・この値を　　と　　の算術幾何平均(arithmetic-geometric mean)と呼び、　　　　　で表す．

背景１/３ ＜Legendreの関係式＞（ⅰ）第一種完全楕円積分　　　第二種完全楕円積分　　　の間に成り立つLegendreの関係式

背景２/３ ＜Gauss,“the fundamental limit theorem”＞第一種完全楕円積分、第二種完全楕円積分の二変数版をで定めると、が成り立つ．ただし、　　　　　　　　　　　

背景３/３ • Legendreの関係式で　　　　　　の時、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　であるので、　①に②を代入して、

ガウス・ルジャンドルの公式 として、　　以下の反復式を　　と　　の差が所要桁以上になるまで計算する．　　所要桁になったら円周率は、　　　　　　　　　　　　≒　　　と求められる．

　　＝　　　　　と　　 ≒ 　　　　関係 ・・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ガウス・ルジャンドルの公式より　　　　　　　　　　また、

誤差の減少の速さ ＜縦軸：　　　　　　　　　　　　　　横軸：回数ｎ＞ f i g.πとの誤差

まとめ • 今回は取り上げられなかったが、ボールウェインの４次式では計算精度が４倍である • 現在の世界記録は高野喜久雄の（Ａｒｃｔａｎ）公式とＤＲＭ法を使って，２００２年１１月に後　保範氏＆金田　康生氏によって計算された約１兆２４００億桁！ • 今後もコンピュータの発達によりπの計算記録の樹立は変わってくると考えられる

参考文献 • （１）　Ｅ．ハイラー, Ｇ．ワナー著, 蟹江幸博訳, 解析教程上, シュプリンガー・フェアラーク東京（１９９７）　 • （２）　桂田祐史, πノート, 明治大学数学科助教授（２００４） • （３）清水康生, πの数値解析, 明治大学数学科２００３年度卒業研究レポート（２００４） • （４）ペートル・ベックマン著, 田尾陽一, 清水韶光訳, πの歴史, 蒼樹書房（１９７３） • （５）数学文化,Ｖｏｌ.１, 日本数学協会（２００３） • （６）金田康正, πのはなし, 東京書籍（１９９１） • （７）　梅村浩, 楕円関数論, 東京大学出版会（１９９９） • （８）ドゥラエ・ジャン＝ポール（Ｊｅａｎ－ＰａｕｌＤｅｌａｈａｙｅ）著, 畑政義訳, π-魅惑の数, 朝倉書店（２００１）御静聴ありがとうございました。

～計算法の変遷～ 2006 年２月１７日明治大学理工学部数学科鎌田　伊織　　　　　吉本　清夏