UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

1. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 3 Rafael Salas octubre de 2005

2. Resumen... Optimización: Problemas primal y dual Dos visiones alternativas de plantear la optimización del consumidor C. de demanda ordinaria C. de demanda compensada F. indirecta de utilidad y F. de gasto

3. El problema primal • El consumidor maximiza la utilidad U(x) U satisface los axiomas (1) a (6) • Sujeto a la restricción de factibilidad xR+n El conjunto de consumo posible es el ortante no negativo. • y a la restricción presupuestaria n S pixi≤Y i=1 La renta Y>0 es exógena

4. Contornos de la función objetivo incremento preferencias El problema primal • El consumidor maximiza su utilidad... x2 • Sujeto al conj. presupuestario • Define el problema primal • Solución al problema primal Max U(x) sujeto a n Spixi £ Y i=1 Conjunto presupuestario • x* • Existe una forma equivalente de verlo (más adelante) x1

5. R n + + El problema primal Multiplicador Lagrange • maximizamos la función objetivo s. a la restricción presupuestaria • Maximiza n Y  Spi xi i=1 n + m[ Y – Spi xi ] i=1 U(x) • ...construimos el Lagrangiano • Diferenciamos c.r.a x1, ..., xn e igualamos a 0 • Si tenemos una solución interior x* • ... y c.r.a m • Un sistema de n+1 condiciones de primer orden de tangencia: • * denota valores maximizadores de utilidad ü ý þ U1(x) = mp1 U2(x) = mp2 … … … Un(x) = mpn ** ** ** * una ecuación para cada bien i. Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “” Interpretación n Y = Spi xi i=1 Restricción presup.

6. Condiciones de primer orden CPO • si ambos bienes i y j son positivos... Ui(x*) pi ——— = — Uj(x*) pj • RMS = precios relativos • Si consumo de bien i fuera cero entonces... Ui(x*) pi ——— £ — Uj(x*) pj Solución • RMS £ precios relativos

7. La solución... • Resolviendo las CPO del primal, se obtiene un valor de consumo de cada bien maximizador de utilidad... xi* = xid(p, Y) • que se conoce como la función de demanda ordinaria o marshalliana del bien i • ...y para el multiplicador de Lagrange m* = m*(p, Y) • ...y para el valor máximo de utilidad, que se conoce como la función indirecta de utilidad : V(p, Y) := max U(x) = U(x*) {S pixi Y}

8. Teorema: Existencia de funciones de demanda Teorema:Si U(x) es continua, monótona estricta, estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, y si la renta y los precios son estrictamente positivos, las funciones de demanda xi* = xid(p, Y) están bien definidas, son continuas y diferenciables para todo xi* estrictamente positivo. Demostración: Se basa en el teorema de la función implícita: el sistema de n+1 ecuaciones de las CPO interiores tienen una solución, contínua y diferenciable, si el jacobiano es no singular. Si U(x) es estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, el jacobiano es no singular, para los precios estrictamente positivos.Detalles Nota: Este teorema hace referencia a la cualificación técnica de precios estrictamente positivos. Esto asegura que estamos en la región donde la estricta cuasiconcavidad implica que el jacobiano del sistema sea no singular. Si quisieramos ser más generales y analizar situaciones con precios no negativos, deberíamos imponer la propiedad del jacobiano no singular en la función de utilidad, que es una condición sutilmente más restrictiva que la estricta cuasiconcavidad

9. x2 Reducción del gasto x1 Contornos de la f. objetivo El problema dual • Existe una forma alternativamente de verlo • el consumidor podría minimizar el gasto... u Conjunto presupuest. • Sujeto a la restricción de utildad constante • Define el problema dual • Solución al problema dual Min n Spixi i=1 sujeto a U(x) u x*

10. x2 x2 u • x* x* x1 x1 Una conexión clara • Compara el problema primal... • ...con el problema dual • Los dos son equivalentes Bajo unas condiciones

11. El primal y el dual… • Tienen una simetría interesante • En ambos casos p está dado y determinan x*. La restricción del primal coincide con la f. objetivo del dual…y viceversa n Spixi+ l[u– U(x)] i=1 n U(x) + m[ Y – Spi xi ] i=1 • Son problemas equivalentes: obtienen la misma x* si elegimos como la restricción del dual la solución del primal (u=U(x*)) y viceversa

12. El problema dual • minimizamos la función objetivo s. a la restricción • Minimiza n Spi xi i=1 • ...construimos el Lagrangiano + l[u– U(x)] u U(x) • Diferenciamos c.r.a x1, ..., xn e igualamos a 0. • ... Y c.r.a l • Si tenemos una solución interior: • * denota valores minimizadores del gasto • Un sistema de n+1 ecuaciones ** ** ** * lU1 (x) = p1 lU2 (x) = p2 … … … lUn (x) = pn Una para cada bien. Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “” ü ý þ Restricción de utilidad u= U(x)

13. Mismas condiciones de primer orden • si ambos bienes i y j son positivos... Ui(x*) pi ——— = — Uj(x*) pj • RMS = precios relativos • Si consumo de bien i fuera cero entonces... Ui(x*) pi ——— £ — Uj(x*) pj Solución • RMS £ precios relativos

14. Las n+1 soluciones... • Resolviendo las CPO del dual, se obtiene un valor de consumo de cada bien minimizador del gasto... xi* = xic(p, u) • que se conoce como la función de demanda compensada o hicksiana del bien i • ...y para el multiplicador de Lagrange * = *(p, u) • ...y para el valor del mínimo gasto, que se conoce como la función de gasto: e(p, u) := minSpixi= Spixi* {U(x) ³u}

15. Práctica: (1) Evalúa las funciones de demanda y funciones indirectas de utilidad de: • U=a log(x1) + b log(x2) a, b > 0 Cobb-Douglas SOL • U=a1 log(x1- g1) + a2 log(x2- g2) SOLa1, a2 > 0;g1, g2 ≥ 0; x1 > g1, x2 > g2 Sistema lineal de gasto (Stone-Geary). Stone, Economic Journal, 1954 • (2) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de: • U=x1 x2 SOL • U=min(x1, x2) SOL • U=x10,5 + x20,5 .

16. Práctica: • (3) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de: • U=x1 + x2 ,   1 SOL • U=log x1+x2 SOL • U=x1+x20,5 • U=x1-1/x2 • U=-e-x-e-y .

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