UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 3 : Producción y costes. Competencia perfecta Prof. Juan Gabriel Rodríguez

Indice (1ª parte) • Función de producción • Eficiencia técnica • Restricciones tecnológicas • La relación marginal de sustitución técnica • Rendimientos a escala • El producto marginal

Notación • Cantidades zi • cantidad del input i z = (z1, z2 , ..., zm ) • vector de inputs • cantidad de output Y • Precios wi • precio del input i w = (w1, w2 , ..., wm ) • vector de precios de Inputs P • precio del output

La producción factible La función de producción • La relación básica entre output e inputs: Y £ F(z1, z2, ...., zm ) • Un único output, varios inputs • Esto puede expresarse más compactamente como: Y £F(z) vector de inputs Distinguimos dos tipos de casos... • F proporciona la máxima cantidad de output que puede producirse dada una cantidad de inputs

Eficiencia técnica • Caso 1: Y =F(z) • La producción es ténicamente eficiente • Caso 2: Y < F(z) • La producción es (técnicamente) ineficiente

Puntos factibles e ineficientes Y < F(z1,z2) Puntos tecnicam. eficientes Y = F(z1,z2) Puntos no factibles Y > F(z1,z2) F(z , z ) 1 2 La función de producción Y output input 2 z2 0 input 1 z1

inputs necesarios • Se selecciona un nivel de producto Y • Sebuscan todos los vectores factibles de inputs z … • Recuérdese que Y £ F(z) • …el conjunto Z de cantidades necesarias de los inputs es: Z(Y) := {z |YF(z)} Primero, veamos el caso “estandar” • La forma de Z depende de los supuestos sobre la tecnología...

Factibles, pero ineficientes F(z1,z2) >Y técnicamente eficientes F(z1,z2) =Y _ Z(Y) no factibles F(z1,z2) <Y El conjunto de inputs necesarios z2 z1

_ Z(Y) Axioma 1: La tecnogíaes contínua z2 • Z(Y) es un conjunto cerrado, que contiene a su frontera • La frontera va a ser contínua • z • Además, se adoptan dos supuestos técnicos: si z=0, Y=0 si Y>0, z>0 z1

_ Z(Y) Axioma 2: Zes monótono z2 • Dado un z que pertenece a Z(Y) • y dado un z¢, que no emplea menos cantidades que z • z¢ • z • Entonces z¢ pertenece también a Z(Y) • Significado: si aumentamos los inputs podemos producir al menos lo mismo z1

_ Z(Y) Axioma 3: Zesconvexo z2 • Se eligen dos puntos • Se dibuja una linea recta entre ellos • z ¢ • Los puntos intermedios deben estar en Z • significado: una combinación de técnicas factibles es factible • z² z1

Esta región causa un problema _ Z(Y) Caso 1: Zno es convexo z 2 este punto no es factible z 1

_ Z(Y) La pendiente no está definida en este punto Caso 2: Z es convexo pero no suave z 2 El único punto eficiente F(z1,z2) =Y z 1

Isocuantas Se selecciona un nivel de output Y Se busca el conjunto necesario de factores Z(Y) • La isocuanta es la frontera de Z(Y) • { z : F(z) = Y } • Usamos subíndices para denotar derivadas parciales. Así • Si la función F es diferenciable en z entonces la Relación Marginal de Sustitución Técnica es la pendiente en z: ¶F(z) Fi(z) = —— ¶zi . Fj(z) —— Fi(z) • Nos dice la tasa de sustitución entre factores a lo largo de una isocuanta

A inputs requeridos para producir A La isocuanta es la frontera de Z La relación de inputs describe la técnica productiva Pend. = z2 / z1 z2 { z | F(z) = Y} z1

ratio de input F1(z)/F2(z) La relación marginal de sustitución técnica z2 • La pendiente de la isocuanta es la Relación Marginal de Sustitución Técnica. • Nos indica el número de unidades necesarias de 2 para sustituir a una de 1, infinitesimalmente, y seguir produciendo lo mismo. • A' • A (Y) z1

Noción de la isocuanta Q Y =`Y isocuanta z 0 2 z 1

ratio de inputs F1(z)/F2(z) La elasticidad de sustitución z2 • La respuesta del ratio de factores a la RMST es la elasticidad de sustitución d(z2/z1) RMTS dln(z2/z1) •  =  =  • dRMTS(z2/z1)dln(|F1/F2|) Mide la “curvatura” de la isocuanta • A' • A (Y) Un caso especial... z1

Elasticidad de sustitución constante z2 Incremento de la elasticidad de sustitución... z1

Elasticidad de sustitución Alemania (trabajo y capital) [Kemfert (1998, EE)]

Rendimientos constantes a escala F(t z) = t F(z) Rendimientos Constantes a Escala Q z 0 2 Rayo de expansión z 1

Rendimientos crecientes a escala t >1Þ F(t z) > t F(z) Rendimientos Crecientes a Escala Q z 0 2 z 1

Rendimientos decrecientes a escala t >1Þ F(t z) < t F(z) Rendimientos Decrecientes a Escala Q z 0 2 z 1

Tomemos ahora una sección “vertical”... Q z 0 2 …esto nos proporciona un nuevo concepto z 1

Producto marginal • Seleccione un vector de inputs técnicamente eficiente • Recuerde, esto significa que elegimos z tal que Y= F(z) • Varíe un input y deje los demás costantes • Medimos el cambio marginal en el output con respecto a ese input • El producto marginal ¶F(z) —— ¶zi Veamos su forma Pmgi = Fi(z) =

Posibles relaciones entre el output y un input Y Y F(z) F(z) z1 z1 Y Y F(z) F(z) z1 z1 Tomemos el caso convencional…

Conjunto factible Relación entre el output y el input 1... Y F(z) Conjunto de técnicas eficientes • Input 1 es esencial: • Si z1=0, Y=0 z 1

Producto marginal Y pendiente = F1(z) F(z) F1 cae con z1 si Fes cóncava z 1

Práctica • EJERCICIO (1): • Dibuje las isocuantas correspondientes a: Y=z1 +z2 Y=min(z1 ,z2) Y= z1az2 b Y= z1 2+z2 2 donde a y b >0 • Indique los rendimientos a escala .

Práctica • EJERCICIO (2): • Calcule la elasticidad de sustitución correspondiente a: Y= {a1 z1 b+a2z2 b }1/b donde a i > 0y 1 b > -  .

Índice (2ª parte) • Maximización de beneficios: Demanda de factores. • Minimización de costes en el corto plazo: costes fijos y variables. Costes medios y marginales. • Minimización de costes en el largo plazo: costes medios y marginales. Rendimientos a escala. • Relación entre las curvas de coste a largo y corto plazo. La curva de costes medios a largo plazo.

m i=1 m i=1 Swi zi Swi zi La función objetivo • Coste de los inputs: • para los m inputs • Ingresos: P Y • Beneficios: P=PY –

Esquema... Optimización: Problema primal Problema dual

m i=1 Swi zi Optimización • Elegimos z que maximiza: P = PY – • ...sujeto a la restricción tecnológica... Y £ F(z) • ...y a restricciones obvias: • No podemos tener valores de output o inputs negativos z³ 0 Y³0

Método de optimización • Si F es diferenciable… • Planteamos el Lagrangiano L(... ) ¶ L(... ) = 0 ¶z • Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) c. necesaria • Verificamos las condiciones de segundo orden c. suficiente • Usamos las CPO para caracterizar la solución z* = …

El equilibrio de la empresa Obtención del vector z que resuelve el siguiente problema optimizador: Max (z)=PY- wi zi s.a: Y = F(z) En el caso de dos bienes (m=2), obtención de z1 ,z2 que soluciona: Max (z1 ,z2 )=PY- w1 z1 -w2 z2 s.a: Y = F( z1 ,z2 ) donde P, w1 yw 2 son parámetros conocidos

El equilibrio de la empresa Solución:  P/  z1 = 0  P Y/z1 = w1  P /  z2 = 0  P Y/z2 = w2  P·Pmg z1 = w1  P·Pmg z2 = w2

Función de demanda de factores wi P*PMg zi zi

Pmg z1 w1 w2 Pmg z2 El equilibrio de la empresa • Otra forma de ver la solución: RMST Interpretación gráfica ...

Demanda de factores z2 z1* yz2* óptimos z2*/ z1* • A' z2 Pmgz1 / Pmgz2= w1/w2 • A z2* (Y*) z1 z1 z1*

Las funciones de demanda de factores z1* = z1d (P,w1 ,...,wm) ... ... ... zm* = zmd (P,w1 ,...,wm) ü ý þ

Esquema... Optimización: Problema primal Problema dual

m i=1 Swi zi Minimización de costes • Elegimos un nivel de producto Y • Tomamos como dados los precios de los inputs w (y del output P) • Maximizamos beneficios... • ...minimizando los costes

Recta isocoste • Dado un vector de precios de los factores w... • la recta isocoste es el conjunto de puntos en el espacio de los inputs... • ...que consiguen un nivel de costes C=wizi determinado. • Forman un hiperplano (línea recta)...

z2 w1z1 + w2z2 = c (constante) w1z1 + w2z2 = c' w1z1 + w2z2 = c" z1 Líneas isocostes Coste creciente Usamos esto para derivar el óptimo

Coste decreciente Minimización de costes z2 ¿Qué condiciones cumple z*? z* z1

Fi(z) wi Fj(z) wj _____ __ = Dados los inputs i y j ... Obtenemos la misma CPO (condición de tangencia)

Corto plazo: costes fijos y variables CCP(Y) = CF + CV(Y) CCP C CV CF CV CF Y

Corto plazo: costes fijos medios y variables medios CMeCP(Y) = CFMe(Y) + CVMe(Y) CMeCP C CV CF CVMe Y

Rendimientos a escala Rendimientos crecientes a escala Rendimientos decrecientes a escala Cme (Y) La forma de los Cme depende de los rendimientos a escala Y Y

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