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Ensino Superior. Cálculo 3. 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades. Amintas Paiva Afonso. Integrais Duplas.

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Presentation Transcript

  1. Ensino Superior Cálculo 3 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso

  2. Integrais Duplas • Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.

  3. Exemplo 1

  4. Exemplo 2 dx

  5. Exemplo 3

  6. Exemplo 4

  7. Exemplo 5

  8. Exemplo 6

  9. Exemplo 7 Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].

  10. Exemplo 8 Calcule a integral Iterada D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}

  11. Exemplo 8 Calcule a integral Iterada D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

  12. Exemplo 8 Calcule a integral Iterada

  13. Exercícios • Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. 2) Resolver a integral dupla . 3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. .

  14. Propriedades das Integrais Duplas

  15. Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares Múltiplo constante: Soma e diferença: Aditividade: (R = R1 + R2)

  16. y d c x a b Cálculo de Integrais Duplas Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada. y fixo fixo x

  17. Cálculo de Integrais Duplas Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x)  y  g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada. y g(x) A h(x) x a x b

  18. Cálculo de Integrais Duplas Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y)  x  g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada. y d A y g(y) h(y) c x

  19. Cálculo de Integrais Duplas

  20. Integrais Duplas para Domínios Não Retangulares

  21. Cálculo de Integrais Duplas

  22. Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares

  23. Cálculo de Integrais Duplas

  24. Integrais Iteradas – Definição

  25. Exercícios Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.

  26. Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. Exercícios Resposta: 36

  27. Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.

  28. Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.

  29. Exercícios

  30. Exercícios

  31. Exercícios

  32. Exercícios

  33. Exercícios

  34. Exercícios

  35. Exercícios

  36. Exercícios

  37. Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R

  38. Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R Exemplo: Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no retângulo 0  x  e 0  x /2.

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