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Transformada de fourier ( ft )

Transformada de fourier ( ft ). Prof. Marcelo de Oliveira Rosa. Transformada de Fourier. Série de Fourier Análise espectral de sinais periódicos Conteúdo espectral Freqüências múltiplas de k ω (ou 2 π kf ) Como analisar conteúdo espectral para sinais aperiódicos?.

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Transformada de fourier ( ft )

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Presentation Transcript

  1. Transformada de fourier (ft) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

  2. Transformada de Fourier • Série de Fourier • Análise espectral de sinais periódicos • Conteúdo espectral • Freqüências múltiplas de kω (ou 2πkf) • Como analisar conteúdo espectral para sinais aperiódicos?

  3. Transformada de Fourier • Série de Fourier “no limite” • Análise desejada • Avaliação de sistema usando sinais aperiódicos

  4. Transformada de Fourier • Série de Fourier “no limite” • Análise atual • Avaliação de sistema usando sinais periódicos

  5. Transformada de Fourier • Série de Fourier “no limite” • Aproximaçãoviável • Criar sinal periódico a partir de trecho a periódico

  6. Transformada de Fourier • Série de Fourier “no limite” • Qual o efeito da aproximação nas séries de Fourier?

  7. Transformada de Fourier • Série de Fourier “no limite” • Análise de pulso retangular (w=1)

  8. Transformada de Fourier • Série de Fourier “no limite” • Análise de pulso retangular (w=1) corrigida

  9. Transformada de Fourier • Série de Fourier “no limite” • Análise do pulso retangular • T0  f0 • Maior resolução da SF • “Estica” a SF lateralmente + “Amassa” a SF • Manutenção da “área” da envoltória da SF • Análise do pulso retangular corrigida • T0  f0 • Maior resolução da SF • Envoltóriada SF inalterada • Note: abscissa passou de k para (kf0)

  10. Transformada de Fourier • Definição • Pares de transformadas para freqüência em radiano • ou

  11. Transformada de Fourier • Definição • Pares de transformadas para freqüência em Hz • ou

  12. Transformada de Fourier • Definição • Ortogonalidade de e-jΩt • Projeções de x(t) no espaço e+jΩt  X(jΩ) • Projeções de X(jΩ) no espaço e-jΩt x(t)

  13. Transformada de Fourier • Análise de alguns resultados • Efeito de amplificação e deslocamento temporal • Sinal  pulso unitário • x(t) = rect(t)  X(jΩ) = ?

  14. Transformada de Fourier Ω= 2π F=1 • Análise de alguns resultados • Efeito de amplificação e deslocamento temporal • Sinal  pulso unitário

  15. Transformada de Fourier • Análise de alguns resultados • Efeito de amplificação e deslocamento temporal • Sinal  pulso unitário

  16. Transformada de Fourier • Transformada Generalizada • Situações de falha de convergência da integração • Exemplos: • x(t) = A • x(t) = u(t) • x(t) = sen(2πf0t) ou x(t) = cos(2πf0t) • x(t) = sgn(t) • Uso de fator de convergência • e-σ|t|, σ zero

  17. Transformada de Fourier • Transformada Generalizada • Uso de fator de convergência • e-σ|t|, σ zero

  18. Transformada de Fourier • Transformada Generalizada • Existe freqüência negativa? • Explique cos(Ω0t)  0.5 {δ(Ω + Ω0) + δ(Ω - Ω0)}

  19. Transformada de Fourier • Computação numérica • No Matlab/Octave/Scilab • X(jkΩ) = Tafftshift(fft(x[n], NFFT)) • onde x[n] = x(nTa) • x[n] é amostragem de x(t) • Ta = (1/fa) = período de amostragem de x[n] • Corresponde ao valor da FT na freqüência kΩ • -NFFT/(2Ta) ≤ f k ≤ +NFFT/(2Ta) • Em coordenadas discretas: 1≤k≤NFFT

  20. Transformada de Fourier • Propriedades • Linearidade

  21. Transformada de Fourier • Propriedades • Deslocamento tempo • Deslocamento em freqüência

  22. Transformada de Fourier • Propriedades • Deslocamento no tempo • Alteração linear da fase de todas as componentes espectrais do sinal • Deslocamento em freqüência • Usada em modulaçãopara sistemas de comunicação • Rádio AM

  23. Transformada de Fourier • Propriedades • Escala no tempo • Escala em freqüência

  24. Transformada de Fourier • Propriedades • Escala no tempo e em freqüência • Compressãoem um domínio gera expansãono outro

  25. Transformada de Fourier • Propriedades • Escala no tempo e em freqüência • Princípio de incerteza • Conceito de localidade de energia

  26. Transformada de Fourier • Propriedades • Conjugado • Qual o efeito para x(t) ∈R?

  27. Transformada de Fourier • Propriedades • Conjugado • Exemplos

  28. Transformada de Fourier • Propriedades • Modulação • Convolução

  29. Transformada de Fourier • Propriedades • Modulação e Convolução • Dualidade • Sistemas • Convolução no tempo  resposta ao impulso • Modulação em freqüência  resposta em freqüência

  30. Transformada de Fourier • Propriedades • Diferenciação • Integração

  31. Transformada de Fourier • Propriedades • Integração • Como conseqüência da definição da FT

  32. Transformada de Fourier • Propriedades • Dualidade • Útil em cálculos

  33. Transformada de Fourier • Propriedades • Dualidade

  34. Transformada de Fourier • Propriedades • Sinais periódicos • Naturalmente não são absolutamente integráveis • São decompostos em séries de Fourier

  35. Transformada de Fourier • Propriedades • Teorema de Parseval • Lembre-se: energia total de x(t) pode ser calculada em qualquer domínio

  36. Transformada de Fourier • Propriedades • Teorema de Parseval • Densidade espectral de energia/potência • Densidade de energia/potência espectral • Power SpectralDensity (PSD) • |X(f)|2 ou |X(jΩ)|2

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