Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

1. Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

2. Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

3. Berechnung von Streuungsparametern an einem einfachen Beispiel

4. Konzentrationsmaße (Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve) Konzentrationsmaße Kennwert für die wirtschaftliche Konzentration Typische Beispiele: Verteilung des Geldvermögens unter den einzelnen Bevölkerungsgruppen Verteilung von Marktanteilen Aufteilung der landwirtschaftlichen Nutzflächen in einer Region

5. Ein Markt wird von 5 Unternehmen beliefert. Die folgende Tabelle beschreibt die Aufteilung der Marktanteile:

6. Daraus ergeben sich die folgenden Werte für die Punkte auf der Lorenz-Kurve:

7. Dazu die Lorenz-Kurve:

8. Berechnung des Gini-Koeffizienten

9. Aufgabe 5

10. Die Punkte auf der Lorenz-Kurve sind (0,2;0,04), (0,4;0,10), (0,6;0,20),(0,8;0,40) (0,2;0,05), (0,4;0,10), (0,6;0,20),(0,8;0,40) (0,2;0,04), (0,4;0,15), (0,6;0,20),(0,8;0,40) (0,2;0,04), (0,4;0,10), (0,6;0,20),(0,8;0,45)

11. Der Gini-Koeffizient in (a) beträgt G = 0,304 G = 0,504 G = 0,604 G = 0,496

12. Aufgabe 6

13. Die Punkte auf der Lorenz-Kurve (gerundet) sind (0,1667;0,0278), (0,3333;0,0741), (0,5;0,2667); (0,6667;0,4982), (0,8533;0,6297) (0,1667;0,0278), (0,3333;0,0741), (0,5;0,1667); (0,6667;0,3982), (0,8333;0,6297) (0,1667;0,3278), (0,3333;0,0741), (0,5;0,1667); (0,6667;0,3982), (0,9333;0,6297) (0,1667;0,0278), (0,5333;0,0741), (0,5;0,3667); (0,6667;0,3982), (0,8333;0,7297)

14. Der Gini-Koeffizient beträgt rund G = 0,841 G = 0,401 G = 0,600 G = 0,499

15. Landwirtschaftlich genutzte Fläche einer Region

16. Dazu die Lorenz-Kurve:

17. Datenmatrix

18. Datentabelle für 2 Merkmale

19. Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten

20. Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten

21. Betriebe und hinterzogene Steuer Kontingenztabelle Y: Art der hinterzogenen Steuer 1 = Lohnsteuer 2 = Einkommenssteuer 3 = Umsatzsteuer 4 = Sonstiges X: Art des Betriebes 1 = Handelsbetriebe 2 = Freie Berufe (Leistungsbetriebe) 3 = Fertigungsbetriebe

22. Kovarianz Merkmal Datensatz Merkmal Datensatz

23. Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Kovarianz (X,Y) (Streuung X) (Streuung Y)

24. Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Eigenschaften X und Y unabhängig

25. X größer Y größer X größer Y kleiner

26. Positiverstrikter Zusammenhang Negativerstrikter Zusammenhang

27. Korrelationskoeffizient bei verschiedenen Konstellationen von Ausprägungen

28. Korrelationskoeffizient: 0.905 Korrelationskoeffizient: 1.00

29. Korrelationskoeffizient: 0.19 Korrelationskoeffizient: 0.52

30. Korrelationskoeffizient: -0.14 Korrelationskoeffizient: 0.00

31. Korrelationskoeffizient: -1.00 Korrelationskoeffizient: -0.62

32. Aufgabe 7

33. Es ergibt sich ein Korrelationskoeffizient von rund r = 0,978 r = 0,798 r = 0,879 r = 0,987

34. Aufgabe 8

35. Es ergibt sich ein Korrelationskoeffizient von ? ? ? ?

36. Mögliche Funktionenklassen für die Regressionsrechnung

37. Lineare Funktionen Polynome Exponentialfunktionen (Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit) Gompertz-Kurven Logistische Funktionen

38. Prinzip der kleinsten Quadrate (Kleinst-Quadrat-Schätzung) Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrateminimiert wird: Bestimme f, so dass minimal !!

39. Aufgaben der Regressionsrechnung 1. Extrapolation Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die „Zukunft“ extrapolieren. Man erstellt eine „Prognose“. Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine „Zeit“ x der „Zukunft“ den Wert y = f(x) zu schätzen.

40. 2. Interpolation Man interessiert sich für den Wert von y = f(x) Für Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachteten Werten liegen: Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte durchzuführen.

41. Lineare Regression Finde reelle Zahlen a und b, so dass der Wert von minimal wird! Mit anderen Worten: Finde den „Punkt“ (a ,b), an dem die Funktion ihr Minimum annimmt!

42. Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

43. Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung der Daten an die Regressionsfunktion Dabei ist

44. Im Falle linearer Regression ist das Bestimmtheitsmaß gleich dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson!

45. In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind: X: Werbeausgaben in 1000 Euro Y: Umsatzsteigerung in 10 000 Euro

46. Demonstrationsbeispiel Lineare Regression Varianzen Mittelwerte Kovarianz

47. Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

48. Aufgabe 9

49. Die Regressinsgerade wird durch die folgende Geradengleichung wiedergegeben y = 3,45 x + 4,7 y = 2,3 x + 2,6 y = 0,651 x + 62,66 y = 2,422 x + 7,67

50. Das Bestimmtheitsmaß der linearen Regression ergibt sich zu ca. 0,48 1,67 0,89 0,21