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Lógicas e Inferência para IA

Lógicas e Inferência para IA. Lógica. Métodos para determinação de validade de fórmulas. Métodos para determinação de validade de fórmulas. Tabela verdade Métodos de dedução Método da negação ou absurdo. Método da negação ou absurdo (cont.). Para provar que H é uma tautologia

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Lógicas e Inferência para IA

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Presentation Transcript

  1. Lógicas e Inferência para IA

  2. Lógica Métodos para determinação de validade de fórmulas

  3. Métodos para determinação de validade de fórmulas • Tabela verdade • Métodos de dedução • Método da negação ou absurdo

  4. Método da negação ou absurdo (cont.) • Para provar que H é uma tautologia • Supõe-se inicialmente, por absurdo que • H NÃO é uma tautologia • As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) • Portanto, a suposição inicial é falsa e: • H é uma tautologia • (A não-validade de H é um absurdo)

  5. Lógica de Predicados Dedução Natural

  6. Conseqüência lógica • Definição informal: • Uma fórmula é uma conseqüência lógicade um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira. • Definição formal: • Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b, H é conseqüência lógica de b num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de b

  7. Notação de Conseqüência Lógica e Teorema • Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, diz-se que: • b├ H ou • {H1,H2,...Hn}├ H • Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de H que não usa hipóteses • ├ H

  8. Cálculo • Proposicional ou de Predicados • Cálculo = Lógica + Sistema de Prova (ou dedução) • Um sistema de prova serve para analisar e raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de maneira a prová-los válidos ou inválidos.

  9. Sistema de dedução natural • Alfabeto da Lógica de Predicados • Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados • Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

  10. Regras de inferência de dedução natural • Servem para inserção e retirada de conectivos lógicos e quantificadores, criando derivações • Regras de Introdução • Regras de Eliminação • Chama-se dedução natural por estar próxima da maneira como nós raciocinamos quando queremos (informalmente) provar um argumento.

  11. Regras de inferência - conjunção • Introdução da conjunção (^I): • H G -> derivação H^G • Eliminação da conjunção (^E): • H^GH^G H G

  12. Prova • Dados H uma fórmula e b um conjunto de fórmulas (hipóteses) • Uma prova de H a partir de b é uma derivação onde • As regras de inferência são aplicadas tendo como premissas fórmulas de b • A última fórmula da derivação é H

  13. Exemplo de prova • P ^ Q, R |- Q ^ R • P ^ Q (Premissa) Q (^E) R(Premissa) Q^R (^I) • Exercícios: • (P^Q) ^ R, S^T |- Q^S • P^Q |- Q^P • (P^Q) ^ R |- P ^ (Q^R)

  14. Regras da Dedução Natural - implicação • Eliminação da implicação - modus ponens (E) • H H  G G • Introdução da implicação (I) • [H] (hipótese eliminada) | G . H  G

  15. Exemplo de eliminação da implicação • P^Q, (P (Q R)) ├ (Q R) • P^Q P (^E) P (Q R) (premissa) (Q R) (E)

  16. Exemplo de introdução da implicação • ├ (P ((PQ)Q) • Supor os antecedentes • Eles não poderão ser usados depois • [P] [(PQ)] (hipóteses) Q (E) (PQ)Q) (I) (P ((PQ)Q) (I)

  17. Exercício • ├ (P(Q P)) • ├ (P(Q R)) ((P^Q)R))

  18. Exercícios • 1. {P^Q, (P^Q)(R^P)} |- R^P • 2. {P  (Q R), PQ, P} |- R • 3. {P (P  Q), P} |- Q

  19. Regras da Dedução Natural- disjunção • Introdução da disjunção (vI) • H G . HvG HvG • Eliminação da disjunção (vE) • [H] [G] (hipóteses) D1 D2 HvG E E E

  20. Exemplo de Eliminação da disjunção • {PvQ,Q,P} |- false • PvQ . [P] P (prem.) [Q] Q (prem.) false false false

  21. Regras da Dedução Natural- negação • De uma derivação de uma contradição (false) a partir de uma hipótese H, pode-se descartar a hipótese e inferir H e vice-versa • [H] (I) [H] (E ou RAA) | | falsefalse reductio ad H H absurdum • Exercícios: HH e H H

  22. Exercício • Mostre que o seguintes argumento é válido: • Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

  23. Solução • Identificando as Sentenças: • P: as premissas deste argumento são verdadeiras. • S: este argumento é correto. • V: este argumento é válido. • Formalizando: {(S ^ V) P, P, V} ├ S

  24. Exercício • Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. Prove isso!

  25. Quando tudo o mais falhar • EFQ: ex falso quodlibet ou regra da contradição • Podemos estar loucos, então qualquer literal é aceitável! • Note que esta regra NÃO SUPÕE E NEM ELIMINA nada!! • false H

  26. Prova de EFQ • {P, P} ├ Q • Q . P P(prem.) false Q (E)

  27. Exemplo • Prove o Silogismo Disjuntivo, usando EFQ: {P v Q, P} ├ Q

  28. Exercícios • {P (QR), P, Q} |= R • {P Q, P} |= Q • {P  (Q ^ R), P} |= P ^ Q • {(P ^ Q)  (R ^ S), P, Q} |= S • {AB, C(DvE), DC, AE} |= (C B) • {Cv(B  A), A  R, (B  R)  S} |= (C  S)

  29. Lógicas clássicas • Lógica minimal: {^v} x {IE} • Lógica intuicionista = Lógica minimal U EFQ

  30. Regras de inferência - equivalência • Introdução da equivalência ( I): • H G GH HG • Eliminação da equivalência ( E): • HGHG HG GH

  31. Dedução Natural • A diferença básica da Lógica de Predicados para a Proposicional é que as contradições têm de ser em cima de instâncias • As instâncias normalmente têm de ser geradas a partir de fórmulas quantificadas • Quando fazer isso?

  32. Ocorrência livre e ligada • Se x é uma variável e E uma fórmula, uma ocorrência de x em E é • Ligada, se x está no escopo de um quantificador (x) ou (x) em E • Livre, se não for ligada • G=(x)(y)((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1))

  33. Variável livre e ligada • Se x é uma variável e E uma fórmula que contém x. x é • Ligada em E, se existir uma ou mais ocorrências ligadas de x em E • Livre em E, se existir uma ou mais ocorrências livres de x em E • No exemplo anterior, z é livre e ligada!

  34. Regras da dedução natural – quantificador universal • Eliminação do quantificador universal (E) • x H(x),se a é livre para x em H H(a) • Introdução do quantificador universal (I) • H(a) . xH(x) • se x não ocorre livre em nenhuma das premissas das quais H(x) depende

  35. Explicando I • Papel reservado aos nomes arbitrários, algo que no cotidiano usamos • Uma forma abreviada de dizer : • “Todos os portugueses gostam de boa conversa” é dizer • «O Zé-povinho gosta de boa conversa» • «Zé-povinho» refere-se a qualquer português, arbitrariamente • Contudo, é necessário garantir que o nome seja arbitrário, pois se for um nome próprio a inferência é inválida! • Não se pode concluir que todos os portugueses gostam de boa conversa só porque o Joaquim gosta de boa conversa.

  36. Exemplo 1 • x ((x) (x)) x (x) x (x) • [x ((x) (x))] (sup.) • (x) (x) ( E) • x(x) x (x) (I) • x(x) x (x) (I) • x ((x) (x)) x (x) x (x) (I)

  37. Exemplo 2 • x((x))  (x(x)) se x não ocorre livre em . • [x ((x))](sup.) • [](sup.) ((x)) (E) • (x) (E) • x (x) (I) • (x (x)) (I ) • x((x))  (x (x)) (I )

  38. Regras da dedução natural – quantificador existencial • Eliminação do quantificador existencial (E) • x H(x),se a é livre para x em H H(a) • Introdução do quantificador existencial (I) • [H(a)] (hipótese) | xH(x) E E • x não ocorre livre em nenhuma das premissas usadas na derivação acima do travessão e nem E

  39. Exemplo • (x ((x) ))  (x ) se x não ocorre livre em . • [x ((x) )] • [x ] • [(x)] ((x) ) E •  E •  E • x  I  • (x((x) ) ) (x )) I 

  40. Regras da dedução natural – identidade • Eliminação da identidade(=E) • t=u H(t) H(u) • Introdução da identidade (=I) • n=n • x=y P(x)P(y)

  41. Exemplo • x=y(z P(x,z) z P(y,z) ) • [x=y] • [z P(x,z)] • P(x,z) E • P(x,z)P(y,z) I= • P(x,z)P(y,z) E • P(y,z) E • z P(y,z) I • (z P(x,z) z P(y,z) ) I • x=y(z P(x,z) z P(y,z) ) I

  42. Lógica Sistema Axiomático

  43. Sistema axiomático • Alfabeto da Lógica de Predicados • Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados • Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência) • Normalmente só Modus Ponens • Um conjunto de axiomas • Subconjunto de fórmulas • Existem vários!!

  44. Exemplo • Ax1= A(BA) • Ax2= (A(BC)  ((AB)(AC)) • Ax3= (A B)((AB)A) • Ax4= x H(x)H(a) • Ax5= (x A B(x))(A x B(x)),se x não é livre em H

  45. Exemplo de prova • PP • (P((PP)P))  ((P(PP))(PP)) • Ax2 com A=P, B=PP, C=P • P((PP)P), Ax1 • (P(PP))(PP), Modus Ponens • (P(PP)), Ax1 com A=P, B=P • PP, Modus Ponens

  46. Um sistema axiomático estranhíssimo... • Regra de inferência: A A ^ (B ^C) • C • Ax1: (A^(B^C))^((A^(C^ A)) ^((C^B)^((A^C)^(A^C)))) • Conclusão: Sistemas axiomáticos são complicados de usar e de entender as provas!!

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