Aula 07

1. Aula 07

2. Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.1. Introdução II.2. Tração e Compressão de Barras II.3. Flexão Pura de Barras

3. M M A A’ dz y r dqx eixo da barra Logo, Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

4. M M A A’ dz y r dqx eixo da barra Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo O eixo de flexão x é central Os eixos x e y são principais

5. M M A A’ dz y r dqx eixo da barra Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Flexão Reta: O momento resultante M = Mx atua segundo um eixo principal

6. M M A A’ dz y r dqx eixo da barra Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo

7. M M A A’ dz y r dqx LN: Linha Neutra eixo da barra SN: Superfície Neutra Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo As tensões variam linearmente com y. LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão

8. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Resumindo: Equação da LN Flexão Reta (os eixos x e y são principais)

9. M M A A’ dz x eixo da barra r dqy Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Analogamente,

10. M M A A’ dz x eixo da barra r dqy Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo O eixo de flexão y é central Os eixos x e y são principais

11. M M A A’ dz x eixo da barra r dqy Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Flexão Reta: O momento resultante M = My atua segundo um eixo principal

12. M M LN: Linha Neutra SN: Superfície Neutra A A’ dz x eixo da barra r dqy Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo As tensões variam linearmente com x. LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão

13. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Resumindo: Equação da LN Flexão Reta (os eixos x e y são principais)

14. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Se o eixo de flexão não é um eixo principal, obtém-se, do PSE, As tensões e as deformações variam linearmente com x e com y

15. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Flexão Oblíqua: O momento resultante M não atua segundo um eixo principal

16. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Equação da LN: b q ou LN A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão

17. M M é a equação de um plano que intercepta a seção na LN. Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Tensões Máximas: Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos mais afastados da LN: A e B A xA yA b q LN yB xB B

18. M M A xA yA b q LN yB xB B Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo Tensões Máximas: onde b q LN

19. M M A xA yA b q LN yB xB B Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo b q W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Barra LN EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Barra

20. M M A xA yA b q LN yB xB B Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Supondo b q LN onde

21. M M A A’ dz y r dqx eixo da barra Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Da Geometria Analítica, (equação da curvatura)

22. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Da Geometria Analítica, (equação da curvatura) Como (hipótese das pequenas deformações),

23. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Equação Diferencial da Linha Elástica (LE) Integrando esta equação, (expressão da rotação) (expressão da flecha)

24. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos As constantes de integração são determinadas a partir de: Observação importante: Não se deve utilizar condições relacionadas ao carregamento; não são gerais para a viga e sim particulares para aquele carregamento específico. • condições de apoio; • condições de continuidade da LE

25. Exemplos: M M a) Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Condições de apoio: Substituindo-se a expressão de Mxe as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1e C2.

26. M M b) Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Exemplos: e

27. M M b) Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Exemplos: Condições de apoio: Condições de continuidade da LE: Substituindo-se a expressão de Mxe as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3e C4.

28. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Equação Diferencial da Linha Elástica (LE) Integrando esta equação, (expressão da rotação) (expressão da flecha)

29. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos (expressão da rotação) (expressão da flecha)

30. Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Convenção de Sinais:

31. Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Analogia de Mohr: equação diferencial da LE equação fundamental da Estática Viga Real: Viga Conjugada:

32. viga real viga conjugada Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Analogia de Mohr: A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) viga real : viga conjugada:

33. viga real viga conjugada Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Analogia de Mohr: A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) viga real : viga conjugada:

34. viga real viga conjugada Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Analogia de Mohr: A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) viga real : viga conjugada:

35. viga real viga conjugada Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Analogia de Mohr: A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) viga real : viga conjugada:

36. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor Resistência e Estabilidade: onde é a máxima tensão de cálculo é a tensão limite (função do estado limite considerado) e é o coeficiente de resistência e

37. M M Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura II.3. Flexão Pura de Barras Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor Rigidez: e/ou onde é a rotação limite e é a flecha limite Ex:

38. Fim da Aula 07