Clase 1 - TP N° 1 - Sistemas de Fuerzas no Concurrentes

1. Clase N° 1 – TPN° 1Fuerzas no Concurrentes Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Elementos fundamentales de la estática Si una fuerza actúa sobre un cuerpo rígido, puede manifestar su acción mediante tres efectos: • un desplazamiento del cuerpo, siempre que éste se encuentre en reposo y no impedido en su movimiento (materia que forma parte del estudio de la Cinemática) • un cambio de velocidad, si el cuerpo ya está en movimiento (materia que forma parte del estudio de la Dinámica) • una deformación del cuerpo (materia que forma parte del estudio de la Resistencia de Materiales) Sea una chapa plana C. Supongamos que está sometida a la acción de una fuerza P de su plano, aplicada en A (figura a).Por tanto el efecto cinemático de una fuerza es producir una traslación. En cambio si la chapa está empernada en O (figura b) y sometida a la acción conjunta de dos fuerzas de igual intensidad P, opuestas y actuando en dos rectas de acción paralelas, b, c, la chapa plana C girará en torno de su único punto fijo O, en el sentido de la flecha curvilínea. El efecto cinemático de una cupla es producir una rotación. La distancia“a” entre las líneas de acción de las fuerzas P de la cupla (b y c); se denominada brazo de palanca. Veamos algunos conceptos preliminares

3. Como todos los desplazamientos planos siempre se reducen a traslaciones o rotaciones, la Estática se construye partiendo de fuerzas y de cuplas. Éstos son los únicos elementos que necesita, como conceptos de base y son, además, irreductibles en el sentido que no pueden llevarse a otros más simples. Las cuatro operaciones fundamentales de la estática 1ra operación (Traslación de una fuerza): “No se altera el esfuerzo cinemático producido por una fuerza aplicada en un punto de un sólido rígido, trasladando su punto de aplicación a otro punto cualquiera de su recta de acción”. 2da operación (Sustitución de dos fuerzas por una): “No se altera el efecto cinemático de dos fuerzas concurrentes al sustituirlas por una sola, según la diagonal del paralelogramo construido con ellas”. A esta operación se la conoce también con el nombre de principio del paralelogramo. 3ra operación (Introducción o supresión de bifuerzas): “No se altera el efecto cinemático de las fuerzas existentes en un sólido rígido, introduciendo o suprimiendo bifuerzas”. 4ra operación (Desplazamiento paralelo de una fuerza): “No se altera el efecto cinemático de una fuerza P, desplazándola paralelamente a su línea de acción, a la distancia a, siempre que se agregue una cupla de momento M = P x a”.

4. Descomposición de una fuerza en otras tres Sea la fuerza P (ver figura) a descomponer según las rectas de acción 1, 2, 3: Como el conjunto de fuerzas componentes P1, P2, P3 admite la resultante P, el momento de ésta, respecto de cualquier punto del plano, debe ser igual a la suma de los momentos de aquellas tres componentes. Eligiendo el centro de momentos en 01, intersección de dos rectas de acción, se anulan los momentos de las fuerzas P2 y P3 que pasan por 01. Luego, el valor absoluto del momento en 01 será: expresión que puede calcularse porque p1 y d1 se miden en la escala lineal del esquema posicional. El sentido de P1 sobre la recta 1, debe ser tal que el, momento de P1 respecto de 01 tenga igual signo que el de P respecto de 01 (que es conocido). Veamos el procedimiento de Ritter

5. Descomposición de una fuerza en otras tres Considerando sucesivamente los centros de momentos en 02 y 03, se obtienen ecuaciones análogas: Al igual que sucede con p1 y d1 las distancias p2 y d2 ; p3 y d3 también se miden en la escala lineal del esquema posicional. No obstante, nada impide calcularlas en forma analítica por algunos de los métodos vistos en Algebra (para mayor comprensión ver “Distancia de un punto a una recta”): https://www.youtube.com/watch?v=ut1Qsc8asSU Veamos el procedimiento de Ritter • Veamos a continuación como resolver los problemas del práctico

6. Datos: 4 m • P = 10 KN = (0 ; 10 ; 0) KN Metodología de resolución: 2 m z O • Debemos buscar un sistema equivalente al dado que cumpla con las premisas del problema P a a Sistema Plano Descomponer la fuerza P en las direcciones de los ejes “z” e “y” y la dirección “a-a” y

7. Para ello agreguemos un sistema (nulo) de dos fuerzas colineales (bifuerzas), opuestas , paralelas a P y de su misma intensidad sobre la dirección del eje “y” 4 m 2 m z O P Fy= P P a a Sistema Plano Traslademos la fuerza P sobre la dirección del eje “y” y

8. Para ello agreguemos un sistema (nulo) de dos fuerzas colineales (bifuerzas), opuestas , paralelas a P y de su misma intensidad sobre la dirección del eje “y” 4 m • Las fuerzas P forman una cupla de valor: 2 m z O • Reemplazamos las fuerzas P por una cupla de valor M P Fy= P P a a Sistema Plano M Traslademos la fuerza P sobre la dirección del eje “y” y

9. Para ello agreguemos un sistema (nulo) de dos fuerzas colineales (bifuerzas), opuestas , paralelas a P y de su misma intensidad sobre la dirección del eje “y” 4 m Fa Fz • Las fuerzas P forman una cupla de valor: 2 m z O • Reemplazamos las fuerzas P por una cupla de valor M Fy= P a a • A continuación, reemplazamos la cupla de valor M por un sistema de fuerzas paralelas alienadas con las direcciones “z” y “a-a” de igual módulo y sentido contrario tal que: Sistema Plano M y

10. Datos: • M = 20 KNm = (20 ; 0 ; 0) KN 4 m Metodología de resolución: B z O 3 m • Debemos buscar un sistema equivalente al dado que cumpla con las premisas del problema a a A Resolución a a • Determinaremos en primer término el valor del ángulo  que define a la dirección “a-a” Sistema Plano = M Veamos ahora: Descomponer el momento M en tres fuerzas con las direcciones de los ejes “z” e “y” y la dirección “a-a” y

11. Dado que deberá ser: 4 m • El valor de dichas fuerzas será: Fa B Fz z O 3 m a a • Descomponemos a continuación la fuerza Fy actuante en B en las direcciones “z” y “a-a”. Para ello trazamos el paralelogramo que define a las componentes Fa y Fz A Fy Fy a a • y los valores de estas fuerzas serán: Sistema Plano M Reemplacemos el par M por una cupla formada por un par de fuerzas paralelas y opuestas actuando sobre la dirección “y” y la vertical que pasa por B y

12. Dado que deberá ser: 4 m • El valor de dichas fuerzas será: Fa B Fz z O 3 m a a • Descomponemos a continuación la fuerza Fy actuante en B en las direcciones “z” y “a-a”. Para ello trazamos el paralelogramo que define a las componentes Fa y Fz A Fy Fy a a • y los valores de estas fuerzas serán: Sistema Plano Reemplacemos el par M por una cupla formada por un par de fuerzas paralelas y opuestas actuando sobre la dirección “y” y la vertical que pasa por B y

13. z • Se pide: • Reducir cada uno de los sistemas al punto “C” adoptado cómo Punto de Reducción • Determinar y calcular los Invariantes P4 P1 P3 P2 • Datos: M1 • P1 = 2 KN = (0 ; 0 ; -2 ) KN C • P2 = 4 KN = (0 ; 0 ; 4 ) KN A D B • P3= 6 KN = (0 ; 0 ; 6 ) KN • P4= 10 KN = (0 ; 0 ; 10 ) KN M2 • M1= 4 KN.m = (-4 ; 0 ; 0 ) (vector libre) 4 m • M2= 6 KN.m = (0 ; 6 ; 0 ) (vector libre) • A = (3 ; 3 ; 4 ) • C = (0 ; 0 ; 4 ) x • B = (3 ; 0 ; 4 ) • D = (0 ; 3 ; 4 ) Sobre el pórtico espacial de la figura se aplican los siguientes sistemas generalizados de fuerzas independientes entre sí 3 m y 3 m

14. z • Para establecer la convención de signos de los momentos, en primer término identificaremos con qué terna estamos trabajando, en este caso la “terna izquierda” P4 P1 P3 P2 • …el pulgar indica la dirección del vector momento M1 C A D B M2 4 m • …el pulgar indica la dirección de “z” 3 m • …los dedos indican el sentido de rotación de “x” hacia “y” 3 m x Previamente definamos: • …los dedos indican el sentido de rotación del momento • …definimos el sentido de rotación de los momentos M1 y M2 y

15. z 4 3 2 1 • Los sistemas de fuerzas “no concurrentes” en el espacio son aquellos sistemas aplicados a un cuerpo rígido en el que las rectas de acción de las fuerzas que lo constituyen pertenecen a planos distintos P4 ≡O P1 P3 P2 M1 • En consecuencia, es necesario reemplazar el sistema por otro equivalente, y del que sea factible hallar su resultante C A D B M2 • Elijamos un punto “O” perteneciente al mismo cuerpo rígido y al que en lo sucesivo denominaremos “Centro de Reducción” y sobre el cual que reduciremos todos los sistemas de fuerzas actuantes 4 m 4 1 2 3 x Metodología de resolución: 3 m y 3 m

16. z 1 • Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P1 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P1 P1 P3 P2 • Llamando d1 la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P1, el momento de dicho par será: M1 C A D B M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP1 normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P1, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 4 m ≡d1 1 x Metodología de resolución: 3 m y 3 m

17. z 1 • Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P1 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P1 P1 P3 P2 • Llamando d1 la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P1, el momento de dicho par será: M1 C MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP1 normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P1, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m 3 m ≡d1 1 x Metodología de resolución: y • Operando en forma similar con las restantes fuerzas será:

18. z 2 • La fuerza P2la trasladaremos en dos pasos, primero a “B” y luego a “O” P4 ≡O P1 P2 • Apliquemos en “B”dos fuerzas opuesta, paralelas a P2 y de su misma intensidad P3 P2 P2 M1 • Llamando d2 la distancia del centro de reducción “B” a la recta de acción de P2, el momento de dicho par será: C MP1 A D B M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP2x normal al plano definido por “B” y la recta de acción de P2, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 4 m ≡d2 2 x 3 m y 3 m

19. z 2 • La fuerza P2la trasladaremos en dos pasos, primero a “B” y luego a “O” P4 ≡O P1 P2 • Apliquemos en “B”dos fuerzas opuesta, paralelas a P2 y de su misma intensidad P3 P2 P2 MP2x M1 • Llamando d2 la distancia del centro de reducción “B” a la recta de acción de P2, el momento de dicho par será: C MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP2x normal al plano definido por “B” y la recta de acción de P2, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m ≡d2 3 m 2 x y

20. z 2’ • Trasladaremos ahora la fuerza P2a “O” • Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P2 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P3 P2 P2 P2 MP2x M1 • Llamando d2’ la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P2, el momento de dicho par será: C MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP2y normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P2, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m 3 m ≡d2’ 2’ x y

21. z 2’ • Trasladaremos ahora la fuerza P2a “O” • Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P2 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P3 P2 P2 P2 MP2x M1 • Llamando d2’ la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P2, el momento de dicho par será: C MP2y MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP2y normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P2, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m 3 m ≡d2’ 2’ x y

22. z 3 2’ • Apliquemos por último en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P3 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P3 P2 P3 • Llamando d3 la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P3, el momento de dicho par será: P3 MP2x M1 C MP2y MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP3 normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P3, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m ≡d3 3 m 2’ 3 x y

23. z 3 • Apliquemos por último en “O” dos fuerzas opuesta, paralelas a P3 y de su misma intensidad P4 ≡O P1 P3 P2 P3 • Llamando d3 la distancia del centro de reducción “O” a la recta de acción de P3, el momento de dicho par será: P3 MP2x MP3 M1 C MP2y MP1 A D B 4 m M2 • …y lo definimos como un vector de módulo MP3 normal al plano definido por “O” y la recta de acción de P3, y cuyo sentido estará dado por la regla de la mano izquierda 3 m ≡d3 3 m 3 x y • La fuerza P4 está aplicada en “O” y no necesita ser trasladada

24. z 3 • Estamos en condiciones ahora de componer las cuatro fuerzas P1; P2; P3 yP4 aplicadas en el centro de reducción “O”, hallando su resultante R, que denominaremos Resultante de Reducción. P4 ≡O P1 P2 P3 MP2x MP3 M1 C MP2y MP1 A D B 4 m • (con la dirección del eje z) M2 Nota: en este caso particular, al ser todas las fuerzas (P1; P2; P3 yP4 ) colineales la Resultante de Reducción será la suma escalar de los módulos de las mismas. En caso contrario la suma deberá ser vectorial 3 m ≡d3 3 m 3 x Podemos decir entonces que la Resultante de Reducción es un invariante del sistema de fuerzas espaciales que por su naturaleza denominaremos Invariante Vectorial. y

25. z • Procediendo en forma análoga con los vectores momento M1; M2; MP1; MP2x; MP2yyMP3 obtenemos un vector momento resultante representativo delPar de Reducción que denominaremos M y cuyas componentes son: P4 ≡O P1 P2 P3 MP2x MP3 M1 C MP2y MP1 A D B 4 m M2 3 m • (con la dirección del eje x) 3 m x y • (con la dirección del eje y)

26. z • El vector momento M tendrá la dirección de eje x y su módulo valdrá: P4 ≡O P1 P2 P3 MP2x M MP3 M1 • Si proyectamos el vector Momento de Reducción sobre la Resultante de Reducción obtendremos un vector momento que llamaremos M* C MP2y MP1 A D B 4 m M2 Cualquiera sea el Centro de Reducción adoptado, M* es constante, es decir, constituye otro invariante que denominaremos Invariante Escalar. 3 m 3 m x En nuestro caso M tiene la dirección del eje x y R tiene la dirección del eje z por lo tanto: y

27. Bibliografía Estabilidad I – Enrique Fliess Introducción a la Estática y Resistencia de Materiales – C. Raffo

28. Muchas Gracias