EIIb-Deformacion debida a la Flexion (2da Edición)

1. Ing. Gabriel Pujol Año de edición 2016 Deformación debida a la Flexión Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

2. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Tabla de contenido DEFORMACIÓN DEBIDA A LA FLEXIÓN – ELÁSTICA DE UNA BARRA 3 CONCEPTOS GENERALES RADIO DE CURVATURA DESPLAZAMIENTO VERTICAL DESPLAZAMIENTO ANGULAR ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA DIMENSIONAMIENTO DE UNA VIGA A PARTIR DE LA FLECHA MÉTODO DEL ÁREA DEL DIAGRAMA DE MOMENTOS MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA 3 3 4 4 5 6 7 11 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 22 Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

3. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

4. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Deformación debida a la Flexión – Elástica de una barra Conceptos Generales Las piezas flexadas sufren desplazamientos o deflexiones, cuyo control es tan importante para garantizar el buen comportamiento estructural como la verificación de la resistencia. Cuando la estructura presenta deformaciones excesivas, la percepción de las mismas por parte de los usuarios genera en éstos una sensación de alto riesgo. Los elementos de máquinas, debido a grandes deflexiones pueden presentar desgastes prematuros u originar efectos vibratorios inadecuados. Se denomina elástica de una viga solicitada a flexión a la curva que adopta la fibra neutra bajo la acción de las cargas exteriores. Radio de Curvatura Consideremos una viga sometida a flexión, empotrada en un extremo y libre en el otro. Sea CDEF un tronco de viga de longitud unitaria y xx la fibra neutra (figura a). Bajo la acción de las cargas, la fibra neutra adopta una determinada curvatura (figura b). Hemos visto que la fibra neutra no experimenta variación de longitud, en cambio la fibra más alejada experimenta un alargamiento total: d  1  de los triángulos semejantes OCE y OC’E’ se deduce que:   CE ' v  ' C E o bien:   d   1 v v   1    d    1 La ecuación (1) mide el aumento de longitud de la fibra situada a la distancia  + v del centro de curvatura O. Conforme a la Ley de Hooke la tensión de dicha fibra es: v M         E E v que debe igualar a: de donde: max max  I E 1  M I   2   3    ; o también  E I M Estabilidad IIB – 64.12 hoja 3 Curso: Ing. Gabriel Pujol

5. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) La expresión (2) expresa la curvatura elástica de flexión y la (3) el radio de curvatura de la misma. Desplazamiento vertical De la figura de la página siguiente resulta:      4      d df x tg x df mide el descenso del extremo libre B, originado por el momento flexor Mx que se produce a la distancia x del extremo B. En el triángulo OCD se tiene: dx     d   d  dx  que reemplazado en la (4) resulta:  x dx  df  Por último, sustituyendo el valor de  por el de la expresión (3), se tiene: M df   x  x dx  E I el descenso total o flecha máxima se obtiene en el extremo libre como la suma de todos los df dados. Luego: l l  I M x  0  0    x f df dx  E Reglamentariamente se fijan valores para las flechas admisibles, así se tiene: •tinglados, galpones, vigas de entrepiso 1/400 a 1/600 de la luz. •vigas de puentes ferroviarios 1/900 a 1/1200 de la luz. •ejes de volantes 1/2000 de la luz. Desplazamiento angular De la expresión (4) se tiene: df       df x d d ; y reemplazando df por su valor será: x M df    x d dx  x E I Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 4 Estabilidad IIB – 64.12

6. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) que determina el desplazamiento angular, expresado en radianes, de la fibra media, entre dos secciones infinitamente próximas. Integrando resulta: l l M  0  0      x I d dx  E valor del ángulo de la tangente a la elástica en B, respecto a la fibra neutra. Ecuación de la Elástica Cuando una viga está sometida a la acción de una cupla, flexiona, deformándose. El eje primitivamente recto toma la forma de una curva, llamada línea elástica. Para deducir la ecuación de la elástica vamos a suponer que las deformaciones son pequeñas. Además solo consideramos las deformaciones debidas a los momentos flectores. Adoptamos un par de ejes coordenados, de manera que el eje “Z” coincida con el eje primitivo de la pieza y el origen, con un punto de éste (apoyo A). Las ordenadas a la elástica referidas al eje “Z” se las denomina habitualmente flechas. Tomando sobre la elástica dos puntos a y b, separados por una distancia dz, y designando con  el ángulo que forma la tangente a la elástica en el punto a con respecto a la horizontal y con d el ángulo que forman entre sí las normales a la elástica trazadas en a y b, las que se cortan en un punto C, siendo la distancia Ca el radio de curvatura , tendremos:  1 d       ds d  ds pero por ser  un ángulo pequeño  dz  1 d    ds dz y     dz 2 1 dy d dy         tg    2 dz dz Designamos como positivo el momento flexor que deforma la pieza presentando la concavidad hacia arriba, y negativo en el caso contrario. Estabilidad IIB – 64.12 hoja 5 Curso: Ing. Gabriel Pujol

7. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Para los ejes coordenados elegidos vemos que a valores crecientes de z corresponden valores decrecientes de . En consecuencia, en la ecuación anterior debemos afectar al primer término de un signo menos, así:  dz 2 1 1 d dy        2 dz Introduciendo esta expresión en la ecuación de alargamientos y tensiones (2) tendremos: 2 2 1  d y 2 M d y 2 M         dz E I dz E I Dimensionamiento de una viga a partir de la flecha En muchos casos conviene determinar el perfil de una viga solicitada a flexión simple, fijando previamente la flecha máxima de deformación vertical. Como las fórmulas que fijan el valor de la flecha dependen de la luz de la carga, del módulo de elasticidad (todas magnitudes conocidas) y el momento de inercia del perfil (magnitud desconocida); este último podrá deducirse. 1. Ejemplo de Aplicación Calcular el perfil normal doble T necesario para que, en una viga de 6 m de luz, soportando una carga de 5 ton en su mitad, se origine una flecha no superior a 1 cm. Adoptar como adm = 1 ton/cm y E = 2100 ton/cm2. 1.1. Resolución Siendo la expresión de la flecha: l  I 2 M x  0   x f dx  E y teniendo presente que: l 2 l 2      3 3 P x P 2 x x P  x P l  0        M f dx f x      2 6 48 E I E I E I 0 despejando J tendremos:    2 3 M l P l P l 48 12  max I I M y siendo será: max     E f E f 4 reemplazando valores será: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 6 Estabilidad IIB – 64.12

8. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico)         3     3 5 600 ton  P l ton cm     4 10714 I cm   48 E f    48 2100 1 cm 2 cm De las tablas de perfiles, puede elegirse un PN doble T 32 con un Wx= 782 cm3. Ahora, será necesario verificar la tensión efectiva o de trabajo:    4 kg ef      782     1 5000 600 cm M P l kg cm     max  ef 3 4 W W x x     kg     960 1000     adm 2 2 cm cm Método del área del diagrama de momentos 1. Teoremas del área del diagrama de momentos reducidos Si relacionamos las ecuaciones analizadas precedentemente llegamos a la siguiente expresión: M ds   d M     ) 5 ( ds  d dz dz y siendo obtenemos:  E I E I Consideremos una porción de línea elástica comprendida entre dos puntos cualesquiera A y B, tal como se indica en la figura. Las tangentes a la línea elástica en los puntos extremos, indicadas a través de los segmentos AB’ y A’B, forman entre si un ángulo  que suponemos pequeño. Supongamos que el diagrama entre los puntos A1y B1es el diagrama de momentos flectores dividido por E.I correspondiente a la estructura que presenta la elástica supuesta. A este diagrama lo denominaremos “diagrama de momentos reducidos”. Si consideramos dos secciones de la elástica muy próximas, separadas entre si ds, ambas secciones presentan un giro relativo d. En virtud de la ecuación (5) ese valor resulta ser igual al área de la franja rayada del diagrama de momentos reducidos. Luego, si integramos la ecuación (5) obtenemos el ángulo que forman las tangentes externas. M  B    dz  E I A El resultado de la integral dada por esta ecuación no es sino el área del diagrama de momentos reducidos, con lo cual puede enunciarse el siguiente teorema: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 7 Curso: Ing. Gabriel Pujol

9. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) TEOREMA I:“El ángulo comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos.” Consideramos nuevamente la figura y observemos el segmento BB’. Podemos apreciar que cada segmento ds de la elástica contribuye a la longitud f en una cantidad    z d df Luego, integrando estas distancias podemos obtener el valor de f. 1 M B B B             ) 6 ( bien o f z d z dz f M z dz   E I E I A A A M  dz Dado que es el área de la franja rayada del diagrama de momentos reducidos, la integral de la  E I ecuación (6) resulta ser el momento estático con respecto a B del área del diagrama de momentos reducidos. Esto último permite enunciar el siguiente teorema: TEOREMA II:“Dado dos puntos A y B pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de B respecto a la tangente en A es igual al momento estático con respecto a B del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.” El momento estático recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia a su centro de gravedad. Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales tales como rectángulos, triángulos, parábolas, etc., el momento estático total resultara ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales. Una observación muy importante en cuanto a la aplicación de los teoremas anteriores es que cuando la elástica tiene un punto de inflexión el diagrama de momentos reducidos cambia de signo, en ese caso cada parte del diagrama debe tratarse con su propio signo. 2. Ejemplo de Aplicación En este caso vamos a determinar la flecha  y el ángulo  en el borde libre de la estructura en voladizo de la figura. Dado que la tangente a la elástica en B coincide con el eje no flexado de la viga, la flecha resulta ser el desplazamiento de A respecto a la tangente en B. Aplicando entonces el Teorema IItenemos: •Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B:   2 1 1 P L P L       A L  2 2 E I E I 2 3  dG L •Distancia a su centro de gravedad:   2 3 1 2 1 P L  P L            L 2 3 3 E I E I Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 8 Estabilidad IIB – 64.12

10. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Idénticamente, la pendiente en A es el ángulo que forma las tangentes en A y B, por lo que según el Teorema I tenemos:  2 1 P L     2 E I 3. Ejemplo de Aplicación A continuación, vamos a determinar el valor de la flecha máxima que se produce en la viga simplemente apoyada de la figura. La flecha máxima tiene lugar en el punto C donde la tangente a la elástica es horizontal. El ángulo entre las tangentes en A y C resulta igual a A. Este ángulo podemos calcularlo de la siguiente manera: Aplicando el teorema II podemos calcular la distancia BB’. •Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B:     2 1 1 P a b P a  b      A a 1    2 2 E I L E I L     2 1 1 P a b P a  b       A b 2   2 2 E I L E I L   1 2          y d b a d b •Distancia a su centro de gravedad: G G 3 3 1 2     2 2   1 1 1 2 P a  b P a  b                ' operando y BB b a b  2 3 2 3 E I L E I L   1 P a  b   b      ' BB L 6 E I ' BB       ' BB L La distancia anterior también puede calcularse como: A A L   ' 1 BB P a b   b       L Con lo que tenemos: A   6 L E I L Por otro lado, el área rayada en el diagrama de momentos reducidos también debe darnos el valor de A. Siendo que ya conocemos el valor de este ángulo podemos calcular z, que es la distancia desde A hasta el punto donde la flecha es máxima. •Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y z: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 9 Curso: Ing. Gabriel Pujol

11. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico)     2 1 1 P b z P z b      Az z     2 2 E I L E I L 1 3  dz z •Distancia a su centro de gravedad: por lo tanto:        1 1 P  b  P a b a L b             2 A z L b z z A   2 6 3 E I L E I L Aplicamos el Teorema II podemos determinar la distancia CC’, a partir de la cual determinamos max.     2 3 1 1 1 P z b P z b          ' ' CC A d z CC z z     2 3 6 E I L E I L     3 1 1 P a b P z b                ' z CC L b z max A     6 6 E I L E I L  P b   3       3 a L b max   9 3 L 4. Ejemplo de Aplicación 4.1. Vigas hiperestáticas de un solo tramo En lo que sigue resolveremos algunos ejemplos de las vigas hiperestáticas de un solo tramo, aplicando el método de superposición. 4.1.1. Viga empotrada – empotrada sometida a una carga concentrada Elegimos como sistema primario la viga simplemente apoyada indicada en la figura. En este caso tenemos dos incógnitas hiperestáticas por calcular, MA y MB, ya que al no existir cargas horizontales las reacciones HAy HB son nulas. Los giros en los extremos A y B pueden determinarse por superposición de efectos de la siguiente manera: 0 A A A A                             A A A 0 1 2 0 1 2       0 B B B B B B B 0 1 2 0 1 2 el ángulo A0ya fue determinado en el Ejemplo de Aplicación 7.3 P A    1 a b   b   6   L  E I L 0 En forma semejante a lo realizado oportunamente, puede demostrarse que: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 10 Estabilidad IIB – 64.12

12. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico)   1 P a b   a       L B   6 E I L 0 Los ángulos A1y B1correspondientes a la viga simplemente apoyadacargada con el momento incógnitaMA pueden ser calculados aplicando el Teorema II del área del diagrama de momentos reducidos.  2 M L 2 M 3 L          y A A L L A A    3 E I E I  1 1 M L 2 L 3 M 6 L            A A L B B   E I E I 1 1 En forma idéntica obtenemos los giros A2y B2correspondientes a la viga simplemente apoyada cargada con el momento incógnitaMB : L M B A   6   M 3 L      y B B   E I E I 2 2 Luego resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones podemos determinar los valores de las incógnitas hiperestáticas.      1 L L P a b   L 2 a b           M M L b    M P       A B       3 6 6 E I E I E I L A 2     2 2   1 L L P a b a b                M M L a M P       A B A       6 3 6 E I E I E I L L Una vez conocidos los valores correspondientes a MA y MB es muy simple calcular las reacciones verticales y si interesa, el momento máximo MC. Método de la viga conjugada Recordemos las siguientes ecuaciones diferenciales ya conocidas: 2 2 d y M d M dM      (1) ; (2) ; (3) q Q  2 2 dz E I dz dz y consideramos al diagrama de momentos reducidos, como un diagrama de cargas ficticias q* = M/(EI) aplicado sobre una viga también ficticia y que llamaremos “viga conjugada”, de la identidad formal entre las dos ecuaciones (1) y (2) surge que la línea elástica de una viga coincide con el diagrama de momentos ficticios M* producido en todas las secciones de su viga conjugada cargada con la carga q*, dado que: 2 * 2 * M d M d M M       * * pero además q q   2 2 E I dz dz E I   2 * M d M                2 2 2 * ) 4 ( d y dz y dz y M  2 E I dz Estabilidad IIB – 64.12 hoja 11 Curso: Ing. Gabriel Pujol

13. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Esta última conclusión se conoce como Teorema de Mohr sobre la línea elástica, y al diagrama de momentos reducidos utilizando como carga se lo denomina “carga elástica”. Si la viga es homogénea y de sección constante (EI= cte), la viga conjugada puede cargarse directamente con el diagrama de momentos, siempre que luego los resultados sean divididos por EI. Si derivamos la ecuación (4) obtenemos: * dy dM       * ) 5 ( tg Q dz dz siendo Q* el esfuerzo de corte ficticio originado en la viga conjugada por la carga q*. La ecuación (5) nos muestra que el diagrama de esfuerzos de corte Q* nos da, para cualquier sección de la viga real, el valor de la tangente de la línea elástica. Dado que el esfuerzo de corte Q* en los extremos de la viga conjugada se corresponde con las reacciones de vínculo, éstas representan numéricamente los giros de la elástica de la viga real en correspondencia con sus apoyos.     * * ; R R A A B B En cuanto a las características de la viga conjugada, dado que al cargarse ésta con las cargas elásticas su diagrama de momentos flectores debe representar exactamente la elástica de la viga real, sus vínculos deben elegirse de manera tal que se respeten estas premisas. Consideremos el ejemplo de la figura. En el punto A no tenemos flecha ni pendiente, en el punto B hay un descenso y además la pendiente a la derecha es distinta que a la izquierda, en el punto C no hay descenso pero sí existe un giro, y en el punto D tenemos flecha y pendiente. •No hay flecha  M* = 0 La viga conjugada debe tener un extremo libre A •No hay pendiente  Q* = 0 •Hay flecha M* ≠ 0 La viga conjugada debe tener un apoyo móvil intermedio B •Hay pendiente y resulta distinta a derecha e izquierda  Qi* ≠ Qd* ≠ 0 •No hay flecha  M* = 0 La viga conjugada debe tener una articulación simple C •Hay pendiente y resulta distinta a derecha e izquierda  Qi* ≠ Qd* ≠ 0 •Hay flecha M* ≠ 0 La viga conjugada debe tener un empotramiento D •Hay pendiente Q* ≠ 0 Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 12 Estabilidad IIB – 64.12

14. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Las conclusiones que hemos obtenido apoyándonos en el ejemplo citado pueden generalizarse de la siguiente manera: En algunos casos, en especial cuando las estructuras son estáticamente indeterminadas, la viga conjugada puede resultar inestable. Este inconveniente queda resuelto cuando se carga a la misma, ya que el propio estado de cargas le confiere estabilidad. Ejercicio Nº I:Para la barra en el estado de carga indicado se pide: a)Dibujar los diagramas de características previo análisis cinemático. b)Dimensionar la sección de la barra. c)Hallar la ecuación de las rotaciones absolutas y la ecuación de la elástica. d)Calcular el corrimiento vertical máximo (flecha máxima). e)Dibujar el diagrama de rotaciones absolutas y corrimientos verticales. l = 7,4 m; P = 4,5 t; q = 1,8 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; adm = 800 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2; Perfil “doble T” (DIN 1025) Resolución: a)Trazar los diagramas de características previo análisis cinemático: a.1)Análisis cinemático: Se trata de una barra isostáticamente sustentada pues posee un apoyo móvil y uno fijo que restringen sus tres (3) grados de libertad. Además no existen vínculos aparentes pues la normal del apoyo móvil no pasa por el punto fijo “B”. a.2)Cálculo de las reacciones de vínculo: Calculamos las reacciones de vínculo RA y RB. Tomando momento respecto de “A” se tiene: Datos: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 13 Curso: Ing. Gabriel Pujol

15. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico)  2 l 2 l P 2 l 2           0 P R l q R q   B B 2    0 M i 5 , 4 4 , 7 t      8 , 1 , 8 91 R t m t   B 2 2 m Proyectando sobre el eje “y” se tiene:    P i 0       t     0 P R R q l R P R q l A B A B        5 , 4 , 8 91 8 , 1 4 , 7 , 8 91 R t t m t  A m a.3)Diagramas de características: b)Dimensionar la sección de la barra: b.1)Cálculo de la sección de la barra y verificación de las  adm: La sección más comprometida de la barra es una tal como la n-n; en esta sección resulta: 646 , 20 ; 25 , 2 cm kg M W adm      Q t M t m   5 20 646 , 10     3 1474 71 , cm X kg 1400 2 cm de tablas obtenemos el perfil “doble T” (DIN 1025) 425, que tiene un módulo resistente WX= 1740 cm3; por lo que resulta entonces: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 14 Estabilidad IIB – 64.12

16. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) b.2)Verificación de las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte: Las tensiones normales debidas a la flexión las calculamos como sigue:      5 20 646 , 10 M kg cm    W  3 1740 cm x   5 20 646 , 10 M kg cm kg kg         1186 55 , 1400 max adm 3 2 2 1740 W cm cm cm x Las tensiones tangenciales las calculamos como sigue: S Q X     max J : donde max e X     3 4 8900 ; 1020 ; 36970 ; , 1 53 Q kg S cm J cm e cm max X X  3 8900 1020 kg cm kg kg        160 , 49 800 max adm , 1  4 2 2 36970 53 cm cm cm cm c)Hallar la ecuación de las rotaciones absolutas y la ecuación de la elástica: c.1)Tramo AC: Recordamos que (siendo  el corrimiento vertical o flecha): dM Q dx    dQ d       ) 1 ( ; ) 2 ( ; ) 3 ( q dx dx 2 d M d M         d dx   2 dx E J dx E J 1  M         ) 4 ( dx M dx  E J E J Por lo tanto será de (1): Estabilidad IIB – 64.12 hoja 15 Curso: Ing. Gabriel Pujol

17. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico)         Q q dx q x C 1             Q R C R q l Q q x R q l 1 A A A  x l de (2) resulta: 2 x                      M Q dx q x R q l dx q R x q l x C 2 A A 2 2 l q    2              0 M C q R l M R x l x l 2 A A  2 2 x l de (4) será:   1 1 q       2               M dx R x l x l dx A   2 E J E J   1 R q     2 3               A x l x l C 3  2 6 E J   1 R q          2 3   q   0 A C l l l 3   8 48 R x E J 2   1 R q     2 3              2 3     A A x l x l l l  2 6 8 48 E J y de (3) resulta:    1 R 2 q 6 R 8 q 48      2 3                     2 3   A A dx x l x l l l dx  E J   1 R 6 q 24 R 8 q 48     3 4                  2 3     A A x l x l l x l x C 4  E J   1 R 8 q 48          3 4     0 A C l l 4   x l E J   1 R 6 q 24 R 8 q 48          3 4                   2 3   A A x l x l l x l l x l  E J c.2)Tramo BC: Procediendo en forma análoga, resulta: R x q Q     q x R M B     B 2 x 2   1 R q R q           2 3 2 3   B B x x l l  2 6 8 48 E J Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 16 Estabilidad IIB – 64.12

18. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico)   1 R 6 q 24 R 8 q 48               3 4 2 3   B B x x l x l x  E J d)Calcular el corrimiento vertical máximo (flecha máxima): El valor de la flecha máxima lo obtenemos cuando x = l/2, por lo que reemplazando en alguna de las expresiones de  resulta: R l l J E 16 384 48 2  e)Dibujar el diagrama de rotaciones absolutas y corrimientos verticales: e.1)Tabla de valores: X (cm) 0 0 = 0 1 L/10 = 74 2 2L/10 = 148 3 3L/10 = 222 4 4L/10 = 296 5 5L/10 = 370 6 6L/10 = 444 7 7L/10 = 518 8 8L/10 = 592 9 9L/10 = 666 10 L = 740 e.2)Gráficos:   1 R q q 96             3940 , 1  3 4 3 4   B B l l cm l  x  (x10-3) - 5,89 - 5,59 - 4,76 - 3,49 - 1,87 0 1,87 3,49 4,76 5,59 5,89  (cm) 0 0,429 0,815 1,123 1,324 1,394 1,324 1,123 0,815 0,429 0 Estabilidad IIB – 64.12 hoja 17 Curso: Ing. Gabriel Pujol

19. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Ejercicio Nº II:Una varilla de aluminio de sección semicircular y radio “r” es flexada en forma de arco circular de radio medio “ ”. Sabiendo que la cara plana de la varilla está orientada hacia el centro de curvatura del arco se pide: a)Determinar las tensiones máximas tanto de tracción como de compresión en la varilla. b)Determinar el valor de la deformación máxima. Resolución: a)Cálculo de las máximas tensiones de tracción y compresión: a.1)Cálculo de la máxima tensión de tracción: Planteando la relación entre tensiones y deformaciones resulta: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 18 Estabilidad IIB – 64.12

20. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico)   l l l        1 0 E además l l 0 0         l         y y y 0         1 1 1 E    t          l y  1 1 ahora bien, siendo:   4 4 4 r r                 1 y r y con y y r r 1 2 2 1     3 3 3   4 y E             1 1 E r max t     3 a.2)Cálculo de la máxima tensión de compresión: En forma análoga será: 4 4 r y E r          2 y E 2 c     3 3 b)Cálculo de la deformación máxima: La calculamos como sigue: l l         l           l y y l 0         1 0 1 1            l y l  1 1 0 0 Ejercicio Nº III:Sea la viga de madera dimensionada en el Ejercicio Nº 25 del Trabajo Práctico Nº 5, de longitud L cuya sección es rectangular y su sección es K, que posee una inclinación dada por el ángulo  estando apoyada en sus extremos y sometida a una carga uniformemente distribuida de magnitud p que actúa en el plano vertical según puede observarse en la figura. De acuerdo a los datos que se indican se solicita: a)Determinar el máximo corrimiento vertical (v) de la misma. Datos: L = 3,10 m; p = 3 kN/m; = 15°; K (h/b) = 2,5; JX = 5333,33 cm4; JY = 853,33 cm4; E = 1,05 kN/cm2 Estabilidad IIB – 64.12 hoja 19 Curso: Ing. Gabriel Pujol

21. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Resolución: a)Determinación del máximo corrimiento vertical El máximo corrimiento vertical tiene una determinada dirección cuyas componentes escalares son:          i j x y Aplicando el principio de superposición de efectos puede proyectarse corrimiento según la línea de fuerza m, y de esa forma obtener el máximo corrimiento vertical (v) solicitado, es decir:       sin    x v dicho     cos y Por otra parte la carga específica p que actúa en el plano vertical de cargas, definido por la línea de fuerzas m, posee las siguientes componentes escalares:       p p i p j x y Siendo:                  sin cos p p p x      cos sin p p p  y Finalmente, de acuerdo con lo analizado en el ejercicio de aplicación IV y teniendo en cuenta que en este caso para las cargas exterioeres P = 0 y que las causas de los corrimientos y y x son respectivamente las componentes de las cargas específicas py y px. Se tiene:         m m 2 2 l l 2    0 R l q R q   B B 2  0 M i 4 , 7 t       8 , 1 , 8 91 R t   B    1 q 12 l q 24 q 24            3 4 3     x x l x  E J   4 4   1 1 1 5 q l q l                max   l 2   96 384 48 384 E J E J    x por lo que: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 20 Estabilidad IIB – 64.12

22. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico)    J    4 p L    4 5 sin p L y       x  384 E J E Y Y   J  J   4 4 5 cos p L p L      x   y   384 E E X X y reemplazando y agrupando se obtiene:          4 2 2 5 cos sin p L        v 384 E J J X Y   kN     4    2 3 10 310 cm          2 2 5 cos 15 sin 15 cm          , 0 87 cm       v   4 4 kN 384 5333 33 , 853 33 , cm cm , 1 05   2 cm Estabilidad IIB – 64.12 hoja 21 Curso: Ing. Gabriel Pujol

23. Deformación debida a la Flexión (Complemento Teórico) Bibliografía Recomendada •Estabilidad II - E. Fliess •Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez •Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros •Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials") •El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau") •Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo •Mecánica de materiales - F. Beer y otros •Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler •Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros •Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir •Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana •Resistencia de materiales - V. Feodosiev •Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer •Resistencia de materiales - S. Timoshenko Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 22 Estabilidad IIB – 64.12