EIIb-Teoremas de Energia

1. Ing. Gabriel Pujol Año de edición 2018 Teoremas de Energía Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

2. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Tabla de contenido PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 3 ENUNCIADO APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES A LOS SISTEMAS DEFORMABLES ELÁSTICAMENTE EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES Y LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO APLICACIÓN DEL PTV AL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EJEMPLO UTILIZANDO TABLAS (MÉTODO GRÁFICO –INTEGRALES DE MOHR) 3 4 5 6 8 PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO 14 ENUNCIADO 15 TEOREMA DE BETTI (LEY DE RECIPROCIDAD) 19 ENUNCIADO 19 TEOREMA DE MAXWELL 20 ENUNCIADO 20 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 23 Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

3. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

4. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Principio de los Trabajos Virtuales Enunciado “Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de deformación” Es conveniente considerar algunos términos de la definición: •En primer lugar, estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad se le provoca una deformación. Dicha deformación es arbitraria, compatible con las condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo. •Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Te. •Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales generan trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de deformación, Ti. T  •El Principio de Trabajos Virtuales puede entonces expresarse sintéticamente como: T e i Consideremos ahora el caso de una estructura sometida a un sistema de cargas Pm en su plano, siendo R las correspondientes reacciones de vínculo exteriores. Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos Q, N, M de tal manera que existe equilibrio entre la acción interna y la externa. Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las cargas Pm y R, sufrirán desplazamientos δmy ΔR (si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de las mismas. Por lo tanto, el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por:         T P R e m m R Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, es decir el trabajo de los esfuerzos internos (Q, N, M) debido a la deformación virtual a que sometimos al sistema, consideramos un elemento de una barra dx de altura h. La deformación virtual provocará, un desplazamiento relativo de las dos secciones del elemento que podrá expresarse traslación y una rotación d. La traslación la podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la barra dN y otra normal dc. por una El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actúan sobre el elemento dx será:        dTi M d N dN Q dc Estabilidad IIB – 64.12 hoja 3 Curso: Ing. Gabriel Pujol

5. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Aplicación del principio de los trabajos virtuales a los sistemas deformables elásticamente Cuando nos referimos a sistemas elásticos, llamaremos desplazamiento virtual de los mismos a cualquier deformación elástica muy pequeña compatible con sus vínculos externos e internos. La integración de esta expresión a toda la estructura representa el trabajo virtual de deformación Ti, y como las deformaciones elásticas para una barra, en general son: resultando:      M  T N  Q                      ; ; d dx dN T dx dc dx E J h E F G F Dónde: α: coeficiente de dilatación térmica F: Sección transversal de la barra J: Momento de Inercia E: Módulo de elasticidad G: Módulo de elasticidad transversal χ: Coeficiente de forma que tiene en cuenta la distribución no uniforme del corte en la sección transversal de la viga y reemplazando, será:  M  T N  Q                             Ti M dx M dx N dx N T dx Q dx E J h E F G F que es la expresión del Principio de Trabajos Virtuales, para el caso general de estructuras planas. Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 4 Estabilidad IIB – 64.12

6. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) El Principio de Trabajos Virtuales y las condiciones de equilibrio A continuación, veremos como la aplicación del Principio de Trabajos Virtuales a chapas rígidas conducen a las condiciones generales de equilibrio para cuerpos en dos dimensiones. Consideremos en primer lugar, la chapa solicitada por un sistema de fuerzas exteriores Fi y Mi en equilibrio. Como es bien sabido, las condiciones de equilibrio de cuerpos en el plano son las siguientes: n n m  i  i  i    0 ; 0 ; 0 F F M X Y i i i Por otro lado, una chapa en el plano posee tres grados de libertad que consisten en dos desplazamientos y una rotación, en consecuencia, es susceptible de experimentar tres desplazamientos virtuales independientes entre sí. En primer lugar, suponemos que la chapa sufre un desplazamiento virtual paralelo al eje x de intensidad x. Al tratarse de un sólido rígido, todos sus puntos materiales y en particular los puntos de aplicación de las fuerzas sufrirán el mismo desplazamiento x, y el trabajo desarrollado por el sistema de fuerzas será: n n     i  i         cos 0 U F F X X X i i i siendo i el ángulo que forma cada fuerza Fi respecto del eje x. Dado que x es arbitrario, para que se cumpla la igualdad precedente es necesario que: n     i   cos 0 iF i n  i  ecuación que corresponde a la condición de equilibrio 0 F Xi Consideremos ahora un desplazamiento virtual paralelo al eje y de intensidad y. En forma análoga se  i n  tendrá: 0 F Yi Estabilidad IIB – 64.12 hoja 5 Curso: Ing. Gabriel Pujol

7. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Por último, para una rotación virtual θ de la chapa respecto del centro O, los puntos de aplicación de las fuerzas sufrirán el siguiente corrimiento virtual en la dirección de las mismas:     i i d siendo di la distancia medida en forma perpendicular desde el origen de coordenadas a la dirección de las fuerzas Fi. Por lo tanto, el trabajo virtual desarrollado por sistema de fuerzas, para una rotación virtual, de acuerdo con el enunciado del Principio de Trabajos Virtuales debe ser nulo.   n m n m n m  i  i  i  i  i  i                        0 U F M F d M F d M i i i i i i i i i de donde:   n m  i  i        0 F d M i i i De esta manera se ha demostrado que todo cuerpo que cumple el Principio de Trabajos Virtuales cumple a su vez las condiciones de equilibrio. Aplicación del PTV al Cálculo de Deformaciones Supongamos una viga simplemente apoyada con un estado de cargas cualquiera, que genera el diagrama de momentos M indicado en la figura. Si queremos calcular la deformación de esa viga (desplazamiento vertical) en el punto m, aplicamos en dicho punto una carga auxiliar (ficticia), unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Si Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 6 Estabilidad IIB – 64.12

8. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) aplicamos ahora la ecuación del PTV y admitimos que no hay descenso de apoyos, ni variaciones de temperatura y despreciando los efectos de N y Q, resulta: M          1 T M ds T e m i E J Análogamente, si queremos calcular el giro del punto m, aplicamos una cupla unitaria en dicho punto, en donde por aplicación de la ecuación del PTV, resulta: M          1 T M ds T e m i E J Problemas de aplicación Ejercicio Nº I: Calculemos, por ejemplo, el desplazamiento vertical del extremo “B” de una ménsula horizontal de longitud “L”, módulo de elasticidad “E” y momento de inercia “J”, cargada con un afuerza q uniformemente distribuída: Para ello previamente trazamos los diagramas de momentos debidos a la causa (fuerza distribuida) Mp y al esfuerzo auxiliar Mv, ellos son: 2 x 2     ; M p M x p v luego será: L  0 L  0  2   2 3 4 p x dx  p  x p  L         x dx   P B  2 8 E J E J E J Estabilidad IIB – 64.12 hoja 7 Curso: Ing. Gabriel Pujol

9. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Si en lugar de desplazamientos del baricentro de la sección extrema hubiésemos querido hallar el giro de la misma, el esfuerzo auxiliar en este caso sería un par +1 aplicado en “B”, resultaría: L  0 L  0   2 3 dx  p  x p  L         M M dx   P B p v  2 6 E J E J E J La preparación de tablas para los casos corrientes para resolver integrales que multiplican distintos diagramas de características resulta sumamente sencilla, y debe tenerse en cuanta que los diagramas de momentos pueden descomponerse, dada la propiedad distributiva de la integración en la forma que resulte más conveniente para el cálculo. Ejemplo utilizando tablas (Método gráfico – Integrales de Mohr) Problemas de aplicación Ejercicio Nº II: Calcular la flecha en el punto medio y el giro en los extremos de la viga simplemente apoyada de la figura cuando actúa sobre ella una carga uniforme p. La función de momentos flexores de la viga es:  2   p p l l p l   x     x            M x l x M l l 2 2 2 2 8 2 Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 8 Estabilidad IIB – 64.12

10. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Si queremos calcular la deformación de la viga (desplazamiento vertical) en el punto C, aplicamos en dicho punto una carga auxiliar (ficticia), unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Los momentos generados por esta fuerza serán:  *  F l l * F x l       0 x x     2 2 4 l 2 2 2   x   x    * * M M   l *  l   2 F l * F l x l       2        l x x l     2 2 4 2 2 y planteando la ecuación de PTV (dado que ambos momentos son simétricos, resolveremos la integral de media viga y la multiplicaremos por 2):    x l x J E J E     2    * 4   2 5 M x p x 2 p l   x                    M dx dx C  384 E J L L Análogamente, si queremos calcular el giro del punto B, aplicamos una cupla unitaria auxiliar (ficticia) en dicho punto, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Los momentos generados por esta cupla serán: x x   x    * * M M l l y planteando la ecuación de PTV:    J    * 3   1 1 M x p 2 x p l   x                       M dx x l x dx B   24 E E J l E J L L También podemos resolver las integrales por el método gráfico: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 9 Curso: Ing. Gabriel Pujol

11. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Si queremos calcular la deformación de la viga, será:   dx J E      J E         8  * 2 4     5 2 5 5 M x p l l 4 l 2 p l   x                        M M m L C   12 12 384 E J E J L    8  * 2 3 1 1 1 1 M x p l p l   x                M dx M m L l B   3 3 24 E J E J L Problemas de aplicación Ejercicio Nº III: Calcular aplicando el teorema de los Trabajos Virtuales: La rotación absoluta de los extremos A y B. a)La rotación relativa de los extremos A y B. b)El corrimiento vertical en el punto C. c)Compara resultados con los obtenidos en el ejercicio Nº 1 del Trabajo Práctico Nº 7. Datos: Perfil “doble T” (DIN 1025); l = 7,4 m; P = 4,5 t; q = 1,8 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; adm = 800 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2 Resolución: a)Rotación absoluta de los extremos A y B: La rotación absoluta de los extremos “A” y “B” la calculamos con la siguiente expresión: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 10 Estabilidad IIB – 64.12

12. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) L L L   1 1 dx  0  0  0              M M M M M dx M M dx   , A P q p q v p v q v    E J E J E J El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso un par unitario aplicado sucesivamente en ambos extremos (“A” y “B”). Por simetría el giro absoluto en el extremo “A” será igual al giro absoluto en el extremo “B” por lo tanto: Resolviendo las integrales por tablas, tendremos: L       1 1 1 1 1 1  0                   2     1 M M dx P L L P L  p v    4 4 16 E J E J E J y   L  8 2   1 1 1 1 1 q L  0                 3     1 M M dx L q L q v    3 24 E J E J E J por lo que, reemplazando será:   1 E 2             2 3 3     , 5 898 10 P L q L A B   16 3 J b)Rotación relativa de los extremos A y B: La rotación relativa de los extremos “A” y “B” la calculamos con la siguiente expresión:    E 0 El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso un par de pares unitarios aplicados en ambos extremos (“A” y “B”) por lo tanto: L L L  1 1 dx  0  0              M M M M M dx M M dx   , A P q p q v p v q v   J E J E J Estabilidad IIB – 64.12 hoja 11 Curso: Ing. Gabriel Pujol

13. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Resolviendo las integrales por tablas, tendremos: L     P    1 1 1 1 1 L  0                 2     1 M M dx L P L  p v    2 4 8 E J E J E J y     q  L 2   1 1 2 1 1 L  0                 3     1 M M dx L q L  q v    3 8 12 E J E J E J por lo que, reemplazando será:   1 E 2             2 3 3     11 796 , 10 P L q L AB BA   8 3 J A este valor podríamos haber llegado con el siguiente razonamiento: ;      BA AB    c)El corrimiento vertical en el punto C: El corrimiento vertical en el punto “C” lo calculamos con la siguiente expresión:             A B A B         A B           3 2 2 11 796 , 10 AB BA A B Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 12 Estabilidad IIB – 64.12

14. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) L L L   1 1 dx  0  0  0              M M M M M dx M M dx   , C P q P q v P v q v    E J E J E J El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso una fuerza unitaria aplicada en el centro de la luz (punto “C”) por lo tanto: Resolviendo las integrales por tablas, tendremos: L 0 L 2 1 1 1  0  0  L            M M dx M M dx M M dx p v p v p v    E J E J E J 2 L       1 1 1 1 1 P L L L P L L L  0                       M M dx p v    3 4 4 2 3 4 4 2 E J E J E J L   1 1 1  0         3     M M dx P L p v   48 E J E J y L 0 L 2 1 1 1  0  0  L            M M dx M M dx M M dx q v q v q v    E J E J E J 2     L  8  8 2 2 1 1 5 1 5 q L L L q L L L  0                       M M dx q v    12 4 2 12 4 2 E J E J E J L   1 1 1  0         4     M M dx q L q v   384 E J E J Estabilidad IIB – 64.12 hoja 13 Curso: Ing. Gabriel Pujol

15. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) por lo que, reemplazando será:     3 4 1  P L q 384 L          013945 , 0 m C 48 E J d)Cuadro comparativo de resultados con en el ejercicio Nº 1 del Trabajo Práctico Nº 7: Por integración: Por Trabajos virtuales:  (cm) 1,3940 1.3945 A=B 5.890x10-3 5.898x10-3 Primer Teorema de Castigliano Uno de los métodos más comunes para calcular los desplazamientos se basa en dos principios básicos. Estos son el concepto de energía y la ley de la conservación de la energía. En el primero se deducen los teoremas de Castigliano y de Engesser, mientras que con el segundo se formula el método de la carga unitaria. Teoremas de Energía Castigliano 1879.- Energía de deformación elástica restringida a estructuras con diagramas lineales de carga-desplazamiento (comportamiento elástico). Engesser 1889.- Energía complementaria, sin especificar que la estructura tenga un diagrama lineal. El trabajo realizado para un incremento de Δ es P •Δ y por definición este trabajo es igual al incremento en la energía de deformación elástica. Entonces el incremento total de la energía elástica U cuando la carga aumenta de 0 a P1 será:  1  0    Ui P d Esta integral es igual al área bajo la curva de la línea 0A. De esa misma ecuación puede obtenerse: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 14 Estabilidad IIB – 64.12

16. Teoremas de Energía (Complemento Teórico)  Ui   P Enunciado "En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, la variación del trabajo interno para un incremento unitario de la fuerza aplicada en un punto cualquiera del mismo representa el desplazamiento del punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre que el sistema se encuentre en el régimen elástico." Consideremos una estructura, que no puede ser hipostática (mecanismo con movimientos). Consideremos ahora un sistema de cargas actuando sobre la misma, con valores tales que todos los elementos estructurales estén sometidos a esfuerzos, para los cuales, las tensiones y deformaciones estén dentro del régimen elástico. Dichas fuerzas las indicamos con P1 ..... Pj ..... Pn, sistema que está en equilibrio, es decir que, o bien son sistema de fuerzas externas, o alguna de ellas son fuerzas externas y otras son reacciones de vínculo. Al actuar las fuerzas creciendo desde cero a su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicación de las mismas se desplazan. Por ejemplo, el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2', por lo que cada fuerza realizará un trabajo elástico de valor: 1    P Te 2 Siendo δ la proyección del despalzamiento Δ sobre la recta de acción de la fuerza. El trabajo total, debido a todas las fuerzas vale: 1 n   j    T P e j j 12 lo cual expresa la energía total elástica acumulada por el sistema. Si la fuerza Pj, varía en dPj, el trabajo valdría: T T   donde ∂Te/∂Pj es la variación del trabajo total cuando Pj varía en la unidad. Consideramos ahora que primero se aplique dPjy luego el sistema P1a Pn. El trabajo total, en este caso resulta: 1   e dP e j P j       dP d dP T j j j j e 2 donde: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 15 Curso: Ing. Gabriel Pujol

17. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) • El 1° sumando, expresa el trabajo elástico de dPj, al aplicar dicha fuerza creciendo desde cero a su valor final. El 2° sumando, representa el trabajo físico de dPj debido al desplazamiento que provoca el sistema P1 a Pn, al crecer desde cero a sus valores finales. El 3° sumando, el trabajo elástico del sistema P1 a Pn. Como los estados finales, del 1° y 2° caso son iguales, debe cumplirse: T T        2 • •    1 T T            e e e dP dP d dP T dP dP e j j j j j e j j j j   P P P j j j donde hemos simplificado Tey despreciando el primer sumando del segundo miembro por ser un diferencial de orden superior. Esta es la expresión del Teorema de Castigliano. Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn, se acumula como energía interna elástica, podemos escribir Te = Ti, y por lo tanto: T P   Debido que para obtener las deformaciones con el trabajo externo Te, necesitamos las deformaciones, debemos desarrollar la expresión del trabajo interno Ti.   T    e i j P j j Dado que los esfuerzos internos están representados por tensiones y las deformaciones por deformaciones específicas, el trabajo interno por unidad de volumen estará expresado de la siguiente manera:   2 2 1 1 1 1           * * iT Ti y por la Ley de Hooke resulta 2 2 2 2 E G Para obtener el trabajo interno de deformación debemos integrar la expresión en el volumen:   2 2 1 1            * T T dV dA dx dA dx i i 2 2 E G V Las tensiones normales son producidas por momentos y esfuerzos axiles (M y N), y las tensiones tangenciales por los esfuerzos de corte (Q): Q J b J A  0  S Q N M  Sx A         ; x y   con A  b J 0 y reemplazando: 2 2 2 1 1 1 1 N N M M Q                    2 2 Ti dA dx y dA dx y dA dx dA dx 2 2 2 2 2 2 E A E A J E J G A Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 16 Estabilidad IIB – 64.12

18. Teoremas de Energía (Complemento Teórico)    (área) dA A  A     (momento 0 estático toda de el área de la sección) y dA   A : donde    2 (momento inercia) de y dA A  A   2      (coeficien  forma de te de la sección) dA A A por lo tanto: 2 2 2 1 1 1 N M Q           Ti dx dx dx y aplicando el Teorema de Castigliano 2 2 2 EA EJ GA resulta:     T N dx M  dx Q dx             i N M Q j    P P EA P EJ P GA j j j j Problemas de aplicación Ejercicio IV: Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nos planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB). En tal caso:    F EJ F donde F es una fuerza infinitesimal aplicada en C, en la dirección en que se quiere calcular el desplazamiento. Así tendremos:  1 T M L     i x M dx C x  0      L L L L            ; ; 0 M M M M F x F 2    x x 0 2 2   L L   dM dM L 2          0 ; x x x   2 dF dF L 0 2 y reemplazando:       1 1 L 2 L 2 L        L L L                       2   0 M dx M x dx M x dx M dx   C L L L EJ EJ   0 2 2 2       2 2 2   1 1 3 M 2 L 4 L 2 L 2 L 4 ML 8              2 2     L M ML M     C C 8 EJ EJ EJ     Estabilidad IIB – 64.12 hoja 17 Curso: Ing. Gabriel Pujol

19. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Ejercicio V: Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con una carga en el extremo libre B. Calcular el giro de la sección C. En tal caso:    m EJ m Como en C no actúa un momento, debemos aplicar en dicho punto un momento m infinitamente pequeño en la dirección en que se quiere calcular el giro. Así tendremos:        1 ; 0 0 L dm dm  1 T M L     i x M dx C x  0  L L L         ; ; 0 M P x M m P x m 2 x x 0 2 L L dM dM 2  x x   2 y reemplazando:   2 2 1 1 1 3 L 4 PL 8   L            L                     2 2 0 1 P x dx P x dx P L C C 2 L EJ EJ EJ 0 2 Ejercicio VI: Sea un pórtico empotrado en A y con una carga en el extremo libre C. Calcular el desplazamiento vertical del punto C = δvc. En tal caso:    P EJ P  1 T M L     i x M dx C x  0 Para el cálculo del desplazamiento vertical, dado que P está en el punto y con la dirección del desplazamiento que queremos calcular, el diagrama Mx1 será el correspondiente para P.  L L       ; M P x M P L 1 2 1 x x   0 0 L L dM dM 1 2       ; x x x L 1 dP dP 0 0 y reemplazando: 1 1           L L              1 2 P x x dx P L L dy 1 1 vc EJ EJ 0 0 1 P 2    3 1 2 1 L P L L     2 vc 3 2 EJ EJ 1 2 Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 18 Estabilidad IIB – 64.12

20. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad) Enunciado “El trabajo de un estado de cargas en equilibrio PΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio PΙΙ es igual al trabajo de las cargas PΙΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por PΙ.” De la relación del Trabajo con funciones cuadráticas de las fuerzas y deformaciones, ratificamos lo ya señalado en el tema (1-2) de que no es aplicable el Principio de Superposición y por lo tanto el trabajo de deformación de varias fuerzas no es igual a la suma de los trabajos de cada una de ellas por separado. Supongamos que sobre un cuerpo actúa un sistema de fuerzas deformaciones δ y deformación U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P está formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos PΙ y PΙΙ P una que energía produce de Si δΙ es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga PΙ y δΙΙ es el correspondiente a las cargas PΙΙ se cumplirá: cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas. P; δ producen Te = U y veamos de aplicar las cargas P de dos formas distintas: a) Primero PΙ y luego PΙΙ Estabilidad IIB – 64.12 hoja 19 Curso: Ing. Gabriel Pujol

21. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Donde Ui, j representa el valor de la energía o trabajo externo de las cargas Pi a lo largo de los desplazamientos debido a las cargas Pj (i y j con valores Ι y ΙΙ) b) Primero PΙΙ y luego PΙ Como los dos estados finales son iguales, también lo serán los Trabajos finales y de igualar las expresiones de a) y b) obtendremos: Expresión del Teorema de BETTI. A estos trabajos se los denomina recíprocos o indirectos. TEOREMA DE MAXWELL Enunciado “El valor del corrimiento de un punto 1 según una cierta dirección P1 debido a una fuerza unitaria aplicada en 2 según una dirección P2, es igual al valor del corrimiento en 2 según la dirección P2, provocado por una fuerza unitaria aplicada en 1 según una dirección P1”. Este Teorema tratado aquí como un caso particular del Teorema de Betti fue enunciado con anterioridad a este último. Betti solo generalizo las conclusiones a que había llegado Maxwell. En la figura siguiente de una viga tenemos dos estados de carga y deformaciones, con la salvedad que ambos estados de cargas son unitarios. Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 20 Estabilidad IIB – 64.12

22. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Aplicando el Teorema de Betti: y siendo ambas cargas unitarias Expresión del Teorema de MAXWELL: Mencionamos específicamente el “valor”, pues como se aprecia en el ejemplo, la igualdad no incluye a las unidades, pues δ12 es un desplazamiento que se mide en unidades de longitud y δ21 es un ángulo que se mide en radianes, ya que cuando hablamos de corrimientos entendemos tanto a un desplazamiento lineal como una rotación, dependiendo del tipo de vector carga con el que se evalúa el trabajo. Problemas de aplicación Ejercicio Nº VII: Para hallar el momento de empotramiento MFB de la viga indicada en la figura A se aplica el teorema de Maxwell-Betti. Primero hay que quitar la carga W y dejar libre el extremo B para permitir la rotación. Aplicando un momento arbitrario M en B se produce una elástica como la indicada en la figura B. la deflexión en “x”, que definir la posición de la carga, es “y”. Para proseguir con el problema es necesario obtener una expresión para “y”. Esto se realiza fácilmente a partir de la ecuación general de la elástica: por tanto Ahora se aplica el teorema de Maxwell-Betti a los sistemas de fuerzas de las figuras A y B Estabilidad IIB – 64.12 hoja 21 Curso: Ing. Gabriel Pujol

23. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) por tanto Ahora por tanto Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 22 Estabilidad IIB – 64.12

24. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Bibliografía Recomendada •Estabilidad II - E. Fliess •Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez •Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros •Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials") •El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau") •Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo •Mecánica de materiales - F. Beer y otros •Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler •Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros •Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir •Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana •Resistencia de materiales - V. Feodosiev •Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer •Resistencia de materiales - S. Timoshenko Estabilidad IIB – 64.12 hoja 23 Curso: Ing. Gabriel Pujol

25. Teoremas de Energía (Complemento Teórico) Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 24 Estabilidad IIB – 64.12