Sistemas Reticulados - Metodo de Cremona

1. Sistemas ReticuladosReticulados Planos Simples – Cálculo Gráfico Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Denominaremos barra a toda chapa cuya dimensión transversal sea pequeña en relación con su longitud (fig 1). Supongamos aplicadas en A y B dos fuerzas opuestas P y - P cuya recta de acción coincida con el eje de la barra (fig 2a). Por tratarse de un sistema nulo aplicado a un mismo cuerpo rígido, el sistema se encontrará en equilibrio. Si ahora suprimimos la barra se habrá roto el equilibrio. Para restituirlo será necesario aplicar fuerzas P' = -P y- P' = -(-P) = P (fig 2b). Estas nuevas fuerzas, que reemplazan en sus efectos a la barra AB, se denominan esfuerzo interno en la barra. Cuando las fuerzas exteriores que solicitan a la barra tienen sentidos divergentes, originan en la misma un esfuerzo interno que se denomina esfuerzo de tracción(fig 2b). Veamos algunos conceptos preliminares En cambio, cuando tienen sentidos concurrentes, los esfuerzos internos desarrollados en la misma serán de compresión (fig 2c).

3. Los Sistemas Reticulados son estructuras formadas por barras unidas por sus extremos en puntos llamados nudos o nodos, cuando los ejes baricéntricos de las barras son coplanares resultan los Reticulados Planos. La utilización práctica de los reticulados planos impone la necesidad que éstos sean indeformables. La única figura indeformable es el triángulo. Reticulados simples: sus propiedades características son: • Formados exclusivamente por triángulos. • Cada dos triángulos, estos tienen un lado (barra) en común y dos nudos. • Un mismo nudo, no pertenece a más de tres triángulos. • Existen nudos a los cuales concurren sólo dos barras. Un reticulado es estrictamente indeformable cuando basta eliminar una sola barra para que se deforme. Entre el numero “b” de barras y el número “n” de nudos existe la siguiente relación: Veamos algunos conceptos preliminares

4. Hipótesis de cálculo. • Los nudos funcionan como articulaciones desprovistas de frotamiento. • Las cargas actúan exclusivamente en los nudos y están situadas en el plano del reticulado. • Las barras son rectas y rígidas. Recordar Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción Métodos de Cálculo ANALÍTICO: Utilizaremos el método de los Nudos. • GRÁFICO: Utilizaremos los métodos de CREMONA (con notación de BOW). Veamos algunos conceptos preliminares GRÁFICO-ANALÍTICO: Utilizaremos el método de RITTER

5. Para la ménsula de bordes paralelos de la figura, se pide: Estudio de isostaticidad de la estructura y de la generación del reticulado; Dibujo del diagrama de Cuerpo Libre (DCL); Cálculo de las Reacciones de Vínculo Externo (RVE); n Dibujo del diagrama de Cuerpo Libre (DCLE); Cálculo del esfuerzo de las barras por el método de Cremona; h Dibujo del Diagrama de Esfuerzos Internos; a = 2 m h = 2 m Datos P1 = 50 KN P2 = 100 KN n P2 Veamos el siguiente problema… a a P1 a B A

6. Estudio de isostaticidad de la estructura y de la generación del reticulado; Si suponemos a tres barras articuladas entre sí, se formará una estructura que tendrá: menos 2 vínculos internos (VI) dobles: n h Si unimos las barras externas mediante otro vinculo relativo articulado, al conjunto le restamos así, 2 GL quedando el sistema de tres barras así formado con 5 – 2 = 3 GL por lo tanto el triángulo así formado, por tres barras rígidas articuladas entre sí en sus extremos, se comporta como una ÚNICA CHAPA RÍGIDA E INDEFORMABLE. n P2 Veamos el siguiente problema… a a P1 a B A

7. Estudio de isostaticidad de la estructura y de la generación del reticulado; Si Consecuentemente, si al triángulo así formado, le agregamos dos nuevas barras también articuladas, colocadas en dos de sus vértices, el resultado será : n menos 3 vínculos internos (VI) dobles: h Así sucesivamente, agregando pares de barras articuladas entre sí, se obtendrá un sistema de estructuras reticuladas ISOSTÁTICAS, pues solo SERÁ NECESARIO LA COLOCACIÓN DE TRES VINCULOS EXTERNOS PARA SUSTENTARLAS. n P2 a a P1 a B A

8. Estudio de isostaticidad de la estructura y de la generación del reticulado; 6 4 2 3 7 11 8 En cuanto a la generación del reticulado se cumple que: 12 4 8 2 13 10 6 5 3 1 7 • Está formados exclusivamente por triángulos. 5 9 1 • Cada dos triángulos, estos tienen un lado (barra) en común y dos nudos en común. n • Un mismo nudo, no pertenece a más de tres triángulos. h • Existen nudos a los cuales concurren sólo dos barras. Por lo tanto el reticulado es un “Reticulado Simple” de 13 barras y 8 nudos, por lo que resulta: n P2 a a P1 a B A …y el reticulado será, además, estrictamente indeformable.

9. Dibujo del diagrama de Cuerpo Libre (DCL); Cálculo de las “Reacciones de Vínculo Externo” (RVE). Planteamos las ecuaciones de equilibrio de la estática: n HA HB h VA n P2 a a P1 a B A

10. Dibujo del diagrama de Cuerpo Libre (DCL); Cálculo de las “Reacciones de Vínculo Externo” (RVE). Planteamos las ecuaciones de equilibrio de la estática: n HA 450 KN HB 450 KN h 150 KN VA Dibujo del diagrama de Cuerpo Libre (DCLE). n P2 Calculemos los esfuerzos de las barras por el método de Cremona … a a P1 a

11. La condición gráfica para el equilibrio de un sistema de fuerzas concurrentes consiste en que el correspondiente polígono de fuerzas resulte cerrado. 6 4 2 3 7 11 8 12 8 4 13 10 6 2 5 3 1 7 5 9 1 Para que la solución gráfica sea posible es necesario que estemos ante un problema de sólo dos incógnitas. n 450 KN Individualizamos con número a los nudos y las barras del reticulado. 450 KN h El método de Cremona simplifica el trabajo material de la construcción de los polígonos de fuerzas correspondientes a cada nudo, reuniéndolos en un único diagrama, conocido con el nombre de diagrama de Cremona. 150 KN Recordamos: n P2 Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción Calculemos los esfuerzos de las barras por el método de Cremona … a a P1 a

12. D C Para el trazado del diagrama de Cremona se procede de la siguiente forma: + 6 4 2 3 7 11 8 K G I 12 • Para utilizar la notación de Bow designamos con una letra las zonas del plano delimitadas por las rectas de acción de las fuerzas exteriores tanto activas (esfuerzos) como reactivas (reacciones de vínculo) y/o los ejes de las barras. B 8 4 13 10 6 2 H F J E 5 3 1 7 5 9 1 A n 450 KN D E 450 KN h 50 KN B A ≡ C 150 KN 450 KN 100 KN • Se adopta un orden cíclico (horario), y se traza un polígono de fuerzas llevando los vectores representativos de las mismas en el orden en que aparecen en la estructura al recorrer su contorno en el orden cíclico adoptado (empezamos por A). 150 KN 450 KN Recordamos: n P2 Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción a a P1 a

13. D C En la notación de Bow, una fuerza, sea ésta exterior o corresponda a un esfuerzo en barra, queda individualizada por dos letras, que corresponden a las que individualizan las zonas del plano que divide su recta de acción. + 6 4 2 3 7 11 8 K G I 12 B 8 4 13 10 6 2 H F J E 5 3 1 7 5 9 1 A n Ejemplo: VA= 150 KN ≡C-D 450 KN D E Ejemplo: C-D (vertical ascendente) 450 KN h 50 KN B A ≡C 150 KN 450 KN 100 KN 150 KN En cuanto al sentido, el mismo queda definido por el orden sucesivo en que aparecen las fuerzas al recorrer el nudo en el orden cíclico preestablecido. El módulo de la fuerza se determina en base a la escala midiendo del diagrama. 450 KN Recordamos: n P2 Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción a a P1 a

14. D C Iniciamos el análisis de los esfuerzos de las barras comenzando por el nudo 1 dado que allí sólo existen dos incógnitas N1 (FA) y N2 (BF). 6 4 2 3 7 11 8 K G I 12 B 8 4 13 10 6 2 H F J E 5 3 1 7 5 9 1 A n Siguiendo el orden cíclico alrededor del nudo 1 (A-B-F-A) las fuerzas que aparecen serán: AB (450 KN), BF (trazo por B una // a la dirección 2) y FA (trazo por A una // a la dirección 1). 450 KN D E 450 KN h 50 KN B ≡F A ≡C 150 KN 450 KN 100 KN 150 KN 450 KN Recordamos: El punto en donde ambas rectas se cortan determinan el punto F y las respectivas fuerzas FA(N1) = BC (450 KN) y BF (N2) = 0. n P2 Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción a a P1 a

15. D C Continuamos por el nudo 2 dado que allí sólo existen dos incógnitas N3 (DG) y N4 (GF). 6 4 2 3 7 11 8 K G I 12 B 8 4 13 10 6 2 H F J E 5 3 1 7 5 9 1 A n Siguiendo el orden cíclico alrededor del nudo 2 (B-C-D-G-F-B) las fuerzas que aparecen serán: BC (450 KN), CD (150 KN), DG (trazo por D una // a la dirección 3), GF (trazo por F una // a la dirección 4) y FB (0 KN). 450 KN D G E 450 KN h 50 KN B ≡F A ≡C 150 KN 450 KN 100 KN 150 KN 450 KN Recordamos: n El punto en donde ambas rectas se cortan determinan el punto G y las respectivas fuerzas DG(N3) = BC y GF (N4). P2 Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción a a P1 a

16. D C Continuamos por el nudo 3 dado que allí sólo existen dos incógnitas N5 (HA) y N6 (GH). 6 4 2 3 7 11 8 K G I 12 B 8 4 13 10 6 2 H F J E 5 3 1 7 5 9 1 A n Siguiendo el orden cíclico alrededor del nudo 3 (A-F-G-H-A) las fuerzas que aparecen serán: AF (450 KN), FG, GH (trazo por G una // a la dirección 6) y HA (trazo por A una // a la dirección 5). 450 KN D G E 450 KN h 50 KN B ≡F H A ≡C 150 KN 450 KN 100 KN 150 KN 450 KN Recordamos: n El punto en donde ambas rectas se cortan determinan el punto H y las respectivas fuerzas HA(N5) y GH (N6). P2 Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción a a P1 a

17. D C Continuamos por el nudo 4 dado que allí sólo existen dos incógnitas N7 (DI) y N8 (IH). 6 4 2 3 7 11 8 K G I 12 B 8 4 13 10 6 2 H F J E 5 3 1 7 5 9 1 A n Siguiendo el orden cíclico alrededor del nudo 4 (G-D-I-H-G) las fuerzas que aparecen serán: GD, DI (trazo por D una // a la dirección 7), IH (trazo por H una // a la dirección 8) y HG. 450 KN D I G E 450 KN h 50 KN B ≡F H A ≡C 150 KN 450 KN 100 KN 150 KN 450 KN Recordamos: n El punto en donde ambas rectas se cortan determinan el punto I y las respectivas fuerzas DI(N7) y IH (N8). P2 Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción a a P1 a

18. D C Continuamos por el nudo 5 dado que allí sólo existen dos incógnitas N9 (JA) y N10 (IJ). 6 4 2 3 7 11 8 K G I 12 B 8 4 13 10 6 2 H F J E 5 3 1 7 5 9 1 A n Siguiendo el orden cíclico alrededor del nudo 5 (A-H-I-J-A) las fuerzas que aparecen serán: AH, HI, IJ (trazo por I una // a la dirección 10) y JA (trazo por A una // a la dirección 9). 450 KN D I G E 450 KN J h 50 KN B ≡F H A ≡C 150 KN 450 KN 100 KN 150 KN 450 KN Recordamos: n El punto en donde ambas rectas se cortan determinan el punto J y las respectivas fuerzas IJ(N10) y JA (N9). P2 Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción a a P1 a

19. D C Continuamos por el nudo 6 dado que allí sólo existen dos incógnitas N11 (DK) y N12 (KJ). 6 4 2 3 7 11 8 K G I 12 B 8 4 13 10 6 2 H F J E 5 3 1 7 5 9 1 A n Siguiendo el orden cíclico alrededor del nudo 6 (I-D-K-J-I) las fuerzas que aparecen serán: ID, DK (trazo por D una // a la dirección 11), KJ (trazo por J una // a la dirección 12) y JI. 450 KN ≡ K D I G E 450 KN J h 50 KN B ≡F H A ≡C 150 KN 450 KN 100 KN 150 KN 450 KN Recordamos: n El punto en donde ambas rectas se cortan determinan el punto K y las respectivas fuerzas DK(N11) (0 KN) y KJ (N12) y KE (N13) . P2 Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en el extremo de cualquier barra debe cambiarse en el otro extremo. Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra se acerca al nudo hay compresión; si se aleja hay tracción a a P1 a

20. Bibliografía Estabilidad I – Enrique Fliess Estática y Resistencia de Materiales – César M. Raffo

21. Muchas Gracias