Problemi sui rettangoli con le incognite

1. Problemi sui rettangoli con le incognite

2. Problemi tipo somma e differenza di dimensioni La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è 35 cm la loro differenza è 5 cm trovare perimetro ed area del rettangolo b + h = 35 cm b – h = 5 cm 5 cm h A cosa corrisponde b + h? Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AE; il segmento EC è uguale a b + h Rimangono due segmenti uguali ad h EF = EC – FC cioè EF = 35 cm – 5 cm Vediamo sulla figura a cosa corrisponde b - h = 5 cm EF = h + h = 2h 2h = 35 cm – 5 cm = 30 cm Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AF h = 30 cm : 2 = 15 cm b = 15 cm + 5 cm = 20 cm BF è uguale ad h perciò i 5 cm (il valore con cui la base supera l’altezza) sarà pari a al segmento FC 2P = (b+ h) x 2 = (20 + 15) cm x 2 = 70 cm A = b x h = 20 cm x 15 cm = 300 cm2 Proviamo a toglierlo, cosa succede?

3. Problemi del tipo una dimensione supera l’altra di …. La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è 60 cm una supera l’altra di 12 cm trovare perimetro ed area del rettangolo b + h = 60 cm b = h + 12 cm 12 cm h A cosa corrisponde b + h? Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AE; il segmento EC è uguale a b + h Rimangono due segmenti uguali ad h Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AF EF = EC – FC cioè EF = 60 cm – 12 cm EF = h + h = 2h 2h = 60 cm – 12 cm = 48 cm Il segmento FC è esattamente la porzione di b che supera h e sarà uguale a 12 cm h = 48 cm : 2 = 24 cm b = 24 cm + 12 cm = 36 cm 2P = (b + h) x 2 = (36 + 24) cm x 2 = 120 cm Proviamo a toglierlo, cosa succede? A = b x h = 36 cm x 24 cm = 864 cm2

4. ….. Ma sono uguali!!!! • I due problemi che abbiamo appena visto sono perfettamente identici anche se sono scritti in forma diversa • Posso scrivere che la somma delle dimensioni di un rettangolo è di 26 cm e la loro differenza è di 6 cm • Ma anche la somma delle dimensioni di un rettangolo è di 26 cm e una supera l’altra di 6 cm • Non cambia assolutamente nulla!!! b + h = 26 cm b – h = 6 cm 2 h = 26 cm – 6 cm = 20 cm h = 20 cm : 2 = 10 cm b = 10 cm + 6 cm = 16 cm 10 cm 6 cm

5. ….variante col perimetro • Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo semplicemente dividerlo per 2, in questo caso otteniamo il semiperimetro che altro non è che la somma delle due dimensioni Il perimetro di un rettangolo è di 120 cm, e la differenza delle sue dimensioni è di 20 cm. Trovare l’area del rettangolo P = 2P : 2 = 120 cm : 2 = 60 cm 20 cm b + h = 60 cm b – h = 20 cm 2 h = 60 cm – 20 cm = 40 cm h = 40 cm : 2 = 20 cm b = h + 20 cm = (20 + 20) cm = 40 cm A = b x h = 20 x 40 cm2 = 800 cm2

6. Problemi • La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 84 cm una supera l’altra di 18 cm trovare perimetro ed area • La somma della base e dell’altezza di un triangolo è di 324 cm, la base supera l’altezza di 38 cm trovare perimetro ed area • La somma della base e dell’altezza di un rettangolo è di 129 cm, la loro differenza è di 65 cm trovare perimetro ed area • La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 145 m la loro differenza è di 47 m. trovare perimetro ed area

7. Problemi del tipo la somma di due dimensioni è …. una multipla di un’altra La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 44 cm una è il triplo dell’altra. Trovare l’area h h b + h = 44 cm b = 3h Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AE b = 3 x h = 3 x 11 cm = 33 cm A = b x h = 33 cm x 11 cm = 363 cm Il segmento EC sarà uguale alla somma delle due dimensioni Se osserviamo attentamente vediamo che EC può essere suddivisa in 4 parti uguali ad h Questo significa che b + h può essere suddivisa in 4 parti uguali ad h perciò 4 h = 44 cm 4 h = 44 cm; h = 44 cm : 4; h = 11 cm

8. Osserviamo i seguenti casi La somma delle due dimensioni è 33 cm una è il doppia dell’altra b = 2h EC = 3 h EC = 33 cm EC = 3 h 3h = 33 cm : 3 = 11 cm h h h La somma delle due dimensioni è di 48 cm una è il triplo dell’altra b = 3h EC = 4h h EC = 48 cm EC = 4 h 4h = 48 cm h = 48 cm : 4 = 12 cm h h h La somma delle due dimensioni è di 60 cm, una è il quadruplo dell’altra b = 4 h EC = 5h h h h h h EC = 60 cm EC = 5 h 5h = 60 cm h = 60 cm : 5 h = 12 cm Come possiamo vedere per trovare una dimensione basta dividere la somma delle dimensioni per «una unità superiore a quella del multiplo» Infatti se b + h = 60 cm sostituiamo b = 3 h 3 h + h = 60 cm; 4 h = 60 cm

9. …. varianti col perimetro • Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo semplicemente dividerlo per 2, in questo caso otteniamo il semiperimetro che altro non è che la somma delle due dimensioni Il perimetro di un rettangolo è di 90 cm, e una dimensione è il doppio dell’altra. Trovare l’area del rettangolo h P = 2P : 2 = 90 cm : 2 = 45 cm b + h = 45 cm b = 2h 3 h = 45 cm h = 45 cm : 3 = 15 cm b = 2 x h = 15 cm x 2 = 30 cm A = b x h = 15 x 30 cm2 = 450 cm2

10. Problemi del tipo la somma di due dimensioni è …. una supera di …. il multiplo dell’altra La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 61 cm, una supera di 13 cm il triplo dell’altra. Trovare l’area h h b + h = 61 cm b = 3h + 13 cm In pratica io ho che: h + b = 4h + 13 cm = 61 cm 13 cm Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AE Da cui ricavo che 4h = 61 cm – 13 cm = 48 cm Il segmento EC sarà uguale alla somma delle due dimensioni h = 48 cm : 4 = 12 cm Se osserviamo attentamente vediamo che EC può essere suddivisa in 4 parti uguali ad h più un pezzo che misura 13 cm sostituiamo b = 3h + 13 cm b = 3 x 12 cm + 13 cm = 36 cm + 13 cm = 49 cm A = b x h = 12 cm x 49 cm = 588 cm2 Se io tolgo questo pezzo ottengo una lunghezza che sarà il triplo della dimensione più piccola

11. Problemi • La somma delle due dimensioni di un rettangolo è 45 cm, una è il doppio dell’altra. Trovare l’area del rettangolo • La somma della base e dell’altezza di un rettangolo è 144 cm. L’altezza è il triplo della base. Trovare l’area • La somma della dimensioni di un rettangolo è di 91 cm, una dimensione è il sestuplo dell’altra. Trovare l’area del rettangolo • La base e l’altezza di un rettangolo sono una il doppio dell’altra. La loro somma è di 96 cm. Trovare l’area. • La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 149 cm, una supera di 13 cm il triplo dell’altra. Trovare l’area

12. Problemi del tipo la differenza di due dimensioni è …. una multipla di un’altra La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 44 cm una è il triplo dell’altra. Trovare perimetro ed area h h h b – h = 44 cm b = 3h EC = b – h EC = 2h Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AE 2h = 44 cm h = 44 cm : 2 = 22 cm Per definizione BE = h Sostituisco ad h il suo valore A questo punto EC sarà proprio la differenza fra b ed h b = h x 3 b = 22 cm x 3 = 66 cm Se prima BC era formato da tre segmenti uguali ad h, ora, dopo la sottrazione, ne resteranno solo 2 2P = (b + h) x 2 = (22 + 66) cm x 2 2P = 88 cm x 2 = 176 cm A = b x h = 22 x 66 cm2 = 1452 cm2

13. Osserviamo i seguenti casi La differenza delle due dimensioni è 33 cm una è il doppia dell’altra b = 2h EC = h EC = 33 cm h = 33 cm b = 33 cm x 2 = 66 cm h h La differenza delle due dimensioni è di 48 cm una è il triplo dell’altra b = 3h EC = 2h h EC = 48 cm EC = 2 h 2h = 48 cm h = 48 cm : 2 = 24 cm h h La differenza delle due dimensioni è di 60 cm, una è il quadruplo dell’altra b = 4 h EC = 3h h h h h EC = 60 cm EC = 3 h 3h = 60 cm h = 60 cm : 3 h = 20 cm Come possiamo vedere per trovare una dimensione basta dividere la differenza delle dimensioni per «una unità inferiore a quella del multiplo» Infatti se b – h = 60 cm sostituiamo b = 3 h 3 h – h = 60 cm; 2 h = 60 cm

14. Problemi • La differenza delle due dimensioni di un rettangolo è 45 cm, una è il doppio dell’altra. Trovare perimetro ed area del rettangolo • La differenza della base e dell’altezza di un rettangolo è 144 cm. L’altezza è il triplo della base. Trovare perimetro ed area • La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 91 cm, una dimensione è il sestuplo dell’altra. Trovare perimetro ed area del rettangolo • La base e l’altezza di un rettangolo sono una il doppio dell’altra. La loro differenza è di 96 cm. Trovare perimetro ed area.

15. Problemi del tipo la somma di due dimensioni è… una è una frazione di un’altra La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 104 cm una è i 3/5 dell’altra. Trovare l’area del rettangolo  Analizziamo la situazione che propone il problema, la dimensione maggiore viene divisa in 5 parti uguali mentre quella minore è lunga quanto 3 di queste parti   Questo significa che b + h può essere suddivisa in 8 parti uguali ad  perciò 8  = 104 cm Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AE  = 104 cm : 8 = 13 cm Il segmento EC sarà uguale alla somma delle due dimensioni h è costituita da 3  perciò: h = 13 cm x 3 = 39 cm Se osserviamo attentamente vediamo che EC può essere suddivisa in 8 parti uguali ad  b è costituita da 5  perciò: h = 13 cm x 5 = 65 cm A = b x h = 13 x 65 cm2 = 845 cm2

16. …. varianti col perimetro Il perimetro di un rettangolo è di 216 cm, e la base è i 4/5 dell’altezza. Trovare l’area del rettangolo Il segmento EC = b + h altro non è che il semiperimetro e questo risulta suddiviso in 9    Con b = 4  e h = 5   EC = P = 2P : 2 = 216 cm : 2 = 108 cm  9  = 108 cm  = 108 cm : 9 = 12 cm          b = 4 x  = 4 x 12 cm = 48 cm h = 5 x  = 5 x 12 cm = 60 cm A = b x h = 48 x 60 cm2 = 2880 cm2

17. Problemi • Il perimetro di un rettangolo è di 210 cm; l’altezza è i 2/5 della base. Trovare l’area • La somme delle dimensioni di un rettangolo è di 234 cm, l’altezza è i 5/8 della base. Trovare l’area del rettangolo • La somma delle dimensioni di un rettangolo vale 854 cm, una è i 3/11 dell’altra. Trovare l’area del rettangolo • Il perimetro di un rettangolo è di 960 dm, l’altezza è i 7/8 della base. Trovare l’area del rettangolo

18. Problemi del tipo la differenza di due dimensioni è… una è una frazione di un’altra La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 104 cm una è i 3/5 dell’altra. Trovare l’area del rettangolo Analizziamo la situazione che propone il problema, la dimensione maggiore viene divisa in 5 parti uguali mentre quella minore è lunga quanto 3 di queste parti  A = b x h = 15,6 x 26 dm2 = 405,6 dm2 h Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AE Questo significa che b - h può essere suddivisa in 2 parti uguali ad  perciò 2  = 104 cm Il segmento EC sarà uguale alla differenza delle due dimensioni Perché BE, per costruzione, è uguale ad h  = 104 cm : 2 = 52 cm h è costituita da 3  perciò: h = 52 cm x 3 = 156 cm Se osserviamo attentamente vediamo che EC risulta composta di 2 sole parti uguali ad  (5 - 3 = 2) b è costituita da 5  perciò: h = 52 cm x 5 = 260 cm

19. Problemi • La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 42 cm, una dimensione è i 4/7 dell’altra, trovare perimetro ed area del rettangolo • La differenza fra la base e l’altezza di un rettangolo è di 160 cm. La prima è gli 8/3 della seconda. Trovare perimetro ed area del rettangolo • In un rettangolo la base è i 2/9 dell’altezza, la differenza fra le due dimensioni è di 84 cm. Trovare perimetro ed area del rettangolo • La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 12 cm, una è gli 8/9 dell’altra. Trovare perimetro ed area del rettangolo

20. Problemi del tipo l’area è… una dimensione è una frazione di un’altra L’area di un rettangolo e di 2880 cm2, una dimensione è i 4/5 dell’altra. Trova il perimetro del rettangolo Come al solito le dimensioni risultano suddivise in parti uguali a , la base 5 e l’altezza 4 144 cm2 Però non posso trattarle come le ho trattare fino adesso perché non ho una lunghezza ma ho un’area. Devo fa riferimento ad un’area unitaria, formata un quadrato il cui lato sia  5 x 4 = 20 2 A = 20 2 = 2880 cm2 A questo punto posso ottenere  semplicemente facendo la radice quadrata dell’area di questo quadrato. Per trovare l’area di 2 debbo perciò dividere l’area per 20 2 = 2880 cm2 : 20 = 144 cm2 Se moltiplico 5 x 4 (i termini del rapporto) mi rendo conto che l’area può essere suddivisa in 20 quadratini unitari  = √144 cm2 = 12 cm b = 12 cm x 5 = 60 cm h = 12 cm x 4 = 48 cm 2P = (b + h) x 2 = (60 + 48) cm x 2 = 216 cm

21. problemi • Un rettangolo ha l’area di1690 cm2. Le sue dimensioni sono una i 2/5 dell’altra. Trovare il perimetro del rettangolo • Un rettangolo ha l’area di 8092 cm2. Le sue dimensioni sono una i 4/7 dell’altra. Trovare il perimetro del rettangolo • Un rettangolo ha l’area di 2904 cm2. la base è i 3/8 dell’altezza. Trovare il perimetro del rettangolo • Un rettangolo ha l’area di 154,35 m2. la base è i 7/5 dell’altezza. Trovare il perimetro del rettangolo