Il caos deterministico II

1. Il caos deterministico II

2. I sistemi caotici • Un sistema caotico non è tale perché • la sua evoluzione è casuale • la sua evoluzione è disturbata da influenze esterne imprevedibili • Al contrario, sistemi caotici come il biliardo di Sinai sono regolati da ferree leggi, non presentano alcuna influenza esterna, sono del tutto deterministici.

3. I sistemi caotici • Perché in un sistema fisico deterministico sorga il caos è necessaria la combinazione di due fattori: • l’imprecisione nella determinazione delle condizioni iniziali • l’instabilità delle orbite • Il primo fattore, presente sempre, produce l’errore iniziale, che viene poi amplificato dal secondo, facendo sì che il calcolo dell’evoluzione del sistema non dia risultati più attendibili del semplice “tirare a indovinare”

4. Il concetto di caos deterministico I sistemi caotici come quelli esaminati sono quindi allo stesso tempo regolati dal principio del determinismo e imprevedibili, come se la loro evoluzione fosse casuale. Da qui l’espressione, in apparenza paradossale, caos deterministico. La caoticità non è un fattore esterno, ma è una caratteristica intrinseca del sistema.

5. L’effetto farfalla Questa espressione indica che un fattore del tutto insignificante come il battito delle ali di una farfalla può modificare radicalmente l’andamento del tempo atmosferico. Questo spiega perché è così difficile fare previsioni del tempo attendibili a lungo termine. I modelli elaborati per spiegare il comportamento dell’atmosfera si sono infatti rivelati caotici.

6. Il caos in natura I modelli elaborati per studiare il moto dei fluidi confermano l’impressione di irregolarità che abbiamo osservando il moto turbolento di un torrente o una pentola in ebollizione. Il modello del gas di sfere rigide suggerisce che il moto delle molecole, almeno in un fluido, sia caotico. In certe circostanze anche i moti dei corpi celesti possono essere caotici. Gli spettri di emissione di atomi e nuclei con elevato numero atomico mostrano che il caos è presente in essi.

7. Cosa produce il caos? Non è la complessità del sistema: sistemi fisici regolati da leggi semplicissime possono avere un moto del tutto caotico, mentre altri in apparenza complicati e formati da moltissime componenti possono rivelarsi regolari. Oggi non sappiamo ancora quale caratteristica specifica deve avere un sistema per essere caotico: l’unico modo per stabilire se lo è o no è di verificare se le orbite sono o meno divergenti.

8. L’aspetto del caos Le orbite stabili sono in genere curve piuttosto semplici e regolari, spesso chiuse, quindi periodiche. Al contrario, le orbite instabili mostrano nel loro aspetto stesso, intricato, aperto (una specie di vagabondare su tutto il piano delle fasi), l’irregolarità del sistema.

9. Sistemi misti Sono pochi i sistemi completamente caotici o completamente regolari: succede più spesso che alcune orbite siano stabili, altre instabili. Così, a seconda delle condizioni iniziali, il moto può risultare regoalre o irregolare.

10. Dall’ordine al caos Possiamo fare in modo che un sistema regolare diventi a poco a poco caotico facendo variare un parametro del sistema. In questo modo, mentre inizialmente tutte le orbite sono stabili, cominciano in seguito a formarsene di instabili, finché le isole di stabilità non vengono completamente distrutte e l’intero piano delle fasi è coperto da orbite irregolari.

11. Lo standard map E’ una formula matematica che genera delle orbite sul piano calcolando di volta in volta il punto successivo (x’,y’) a partire da quello precedente (x,y): y’ = y + Ksen(x) x’ = x + y K è un parametro che può essere fatto variare da 0 all’infinito.

12. Origine del caos nelLo standard map Finché K è minore o uguale a 1, le orbite sono stabili, anche se tendono ad assumere una forma sempre più complessa. Per K maggiore di 1, alcune orbite divengono instabili, e invadono lo spazio tra le isole formate dalle orbite stabili. Per K intorno a 10 o più tutte le orbite sono instabili e invadono tutto il piano delle fasi.