Introducción al caos

1. Introducción al caos • El objetivo de este curso es el análisis de datos. • Sin embargo, para poder emprender el análisis de señales caóticas / turbulentas, es necesario conocer algunos conceptos básicos de la teoría del caos. • En esta “introducción al caos” se abordan someramente los conceptos relevantes sobre el caos. Diversa y variada literatura sobre el tema la podrán encontrar en numerosos volúmenes de diferentes autores, como por ejemplo: • E. Ott, “Chaos in Dynamical Systems”, Cambridge University Press 1993, • ISBN 0 521 43799 7

2. Introducción al caos • No existe una definición del caos. • ¿En qué tipo de sistemas puede producirse? • En sistemas con una o varias de las siguientes características : • Ecuaciones no-lineales (con disipación) • Ecuaciones acopladas • Sistemas muy sensibles a condiciones iniciales • Ecuaciones diferenciales de orden 1 con una dimensión ≥ 3 y alguna de las características anteriores. • En suma, estas características vienen a significar un “suficiente nivel de complejidad” para que pueda ocurrir el caos. • ¿Qué caracteriza el caos? • La imposibilidad de predecir el comportamiento futuro con exactitud, incluso si tenemos acceso a las ecuaciones exactas que describen el sistema. • Esto no implica que no podemos hacer predicciones estadísticas del comportamiento. Este es el objetivo del estudio del caos: llegar a un entendimiento del sistema caótico a través de una caracterización estadística.

3. Movimiento • En los sistemas de ecuaciones que describen el movimiento de objetos (partículas, péndulos, etc.), pueden ocurrir varios tipos de movimiento: • Estático (sin movimiento) • Periódico (oscilación) • Cuasi-periódico (oscilación con irregularidades) • Caótico (movimiento sin orden aparente) • Generalmente, el comportamiento de este tipo de sistemas se regula por algún parámetro en las ecuaciones (que mide, típicamente, aunque no siempre, el grado de “excitación” o de “inyección de energía” en el sistema). • Aumentando este parámetro, uno pasa por varias fases de comportamiento, primero periódico o “regular”, seguido por una “transición” que puede ser cuasi-periodica o no, para llegar, finalmente, a una situación de caos. Esta secuencia se denomina “la ruta hacia el caos” y juega un papel fundamental en el entendimiento del mismo.

4. Sistemas dinámicos • Los sistemas dinámicos son sistemas que permiten el desarrollo en el tiempo de un estado (inicial). • Generalmente, se describen con ecuaciones diferenciales. • Como ejemplo, un sistema de N ecuaciones de ecuaciones diferenciales de orden uno: • Integrando el sistema, podemos seguir x(t) en su desarrollo temporal. • El espacio N-dimensional donde se halla la trayectoria se denomina espacio de fase. • El conjunto de todas la posibles trayectorias (= el sistema dinámico) se conoce como “el flujo”.

5. Mapas • Otro tipo de sistemas (matemáticos) que pueden contener caos son los “mapas”. • Es la versión discreta del sistema dinámico: • La trayectoria (“órbita”) es la secuencia de puntos xn. • Todo sistema dinámico contínuo se puede convertir en un mapa al “muestrear” el flujo x(t) en puntos tn = t0 + nT, o al construir un “mapa de Poincaré” del flujo (es decir, un mapa “estroboscópico” que surge al guardar el valor de x cada vez que una de las coordenadas xi tiene un valor fijo x0. El “mapa de Poincaré” tiene dimensión N–1.) • Un mapa muy sencillo ( y muy estudiado) es el “mapa logístico”, N = 1: • Esta ecuación surge en la descripción de la población de una especie (balance entre nacimientos y muertos). • El caos aumenta para r mayor; 0 ≤ r ≤ 4.

6. Atractores • Los sistemas dinámicos se pueden subdividir en: • Sistemas conservativos: conservan el volúmen de una región al dejarlo evolucionar • Sistemas no conservativos: no lo conservan • Si la divergencia del flujo F es menor que cero, F < 0, entonces el volumen se contrae. Estos sistemas se llaman disipativos. • Porque el flujo se contrae existen regiones desde donde el flujo ya no sale, una vez que haya entrado. Estas regiones se llaman atractores. Atractor puntual: Atractor lineal:

7. Atractores • Es usual que el atractor sólo pueda alcanzarse en el límite t  . • Cuando el atractor tiene más de una dimensión, también se denomina “ciclo límite”. • La estructura del atractor a menudo es compleja, y tiene una dimensión “fractal”. En este caso, el atractor se denomina un “atractor extraño”. • Ejemplo: el mapa de Hénon con A = 1.4 y B = 0.3: • Al ampliar una zona del dibujo, vuelve a aparecer un dibujo similar (repetición de estructuras a diferentes escalas). Este proceso continua sin límite hasta escalas cada vez menores.

8. Dependencia de condiciones iniciales • Una de los aspectos más característicos de la moción caótica es la dependencia sensible de las condiciones iniciales. • Considere dos puntos iniciales x1(0) y x2(0) = x1(0) + D(0). • Las órbitas x1(t) y x2(t) se desarrollan en un espacio finito • Si |D(0)| tiende a cero, y el tiempo t de evolución de las órbitas x1(t) y x2(t) tiende a infinito (y la orientación de D(0) no concide con alguna orientación especial), entonces, para un sistema caótico: • |D(t)|/ |D(0)| ~ eht,con h > 0 (crecimiento exponencial de la distancia entre órbitas cercanas). • La exigencia de que las órbitas x1(t) y x2(t) se desarrollen en un espacio finito sirve para excluir sistemas que se expandan hacia el infinito. Estos también pueden mostrar una separación exponencial, pero no serían caóticos. Lo curioso es precisamente que a pesar de que las órbitas están confinadas, se obtiene una separación exponencial.

9. Dependencia de condiciones iniciales • La dependencia sensible a condiciones iniciales representa un grave problema para el estudio del caos. • Para los sistemas experimentales, el ruido térmico (o de otros orígenes) causa pequeñas desviaciones en la órbita que llevan a grandes diferencias con la órbita “exacta” que se quiere estudiar. • Para los sistemas numéricos, los errores de redondeo del ordenador tienen el mismo efecto. • En la práctica, esto significa que no podemos seguir la moción durante más de un número muy limitado de iteraciones (determinado por el momento en que el error acumulado se hace comparable con el valor de las variables). • Pero generalmente, esto significa que no se pueden hacer predicciones exactas a largo plazo. Este es el “efecto mariposa”, el que cualquier perturbación pequeña (una mariposa) puede, en principio, tener un efecto grande a largo plazo (una tormenta).

10. Mapas unidimensionales • Discutiremos las propiedades de mapas unidimensionales no invertibles, que son los sistemas más sencillos capaces de mostrar un comportamiento caótico, y sirven para ilustrar unos conceptos fundamentales. • Otra vez elegimos el mapa logístico: • Puntos fijos. Son puntos fijos los puntos con xn+1 = xn. En este caso, x = 0 y x = 1–1/r. • Para determinar que un punto fijo es estable, hay que examinar los puntos cercanos al punto fijo y ver si se alejan (inestable) o acercan (estable). • Se obtiene estabilidad para

11. Mapas unidimensionales • Así, para el mapa logístico, • x = 0 es inestable para r > 1 y • x = 1 – 1/r es estable para 1 < r < 3. • No hay órbitas periódicas estables para r > 3. • Pero, para 1 < r < 3, todos los puntos x en [0,1] se aproximan, hacia tiempos largos, al atractor x = 1 – 1/r.  • El intérvalo [0,1] se denomina el cuenco de atracción (basin of attraction) del atractor x = 1 – 1/r. • Para r = 4, hay un número infinito de órbitas periódicas inestables (demostración: ver literatura). • ¿Como se llega desde la situación con una órbita estable y una inestable en el punto r = 3 al número infinito de órbitas inestables en r = 4? • Esta evolución se denomina la ruta hacia el caos y es un concepto muy importante.

12. La ruta hacia el caos • Para entender la ruta hacia el caos de este sistema, puede ser de ayuda considerar una representación gráfica: • M(x) frente a x • M2(x) frente a x r = 2.8 r = 3.4 punto fijo (estable) punto fijo (inestable)

13. La ruta hacia el caos • Con referencia a las gráficas, al aumentar r desde un valor por debajo de 3 hasta un valor mayor que 3: • el punto fijo se hace inestable (el valor absoluto de la derivada M’(x) se hace más grande que 1) • el valor de la derivada de M2(x), (M2(x))’, pasa de ser mayor que 1 a ser menor que 1 en el punto fijo. • En conjunto, esto lleva a la creación de dos nuevos puntos fijos de M2(x). • Estos puntos no son puntos fijos de M(x), así que deben encontrarse en ona órbita de periodo 2. • Inicialmente, estos puntos son estables (derivada menor que 1). • Esto se puede ver esquemáticamente en el diagrama de puntos fijos de M2(x) [la solución de M2(x) = x] en función de r: Esto se denomina una bifurcación de doblado de período x 3 r

14. La ruta hacia el caos • El mismo tipo de análisis se puede aplicar al mapa M2. • Resultado: • M(x) estable para 1 < r < 3 = r0. • En r0 ocurre una bifurcación. • M2(x) estable para r0 < r < r1 • En r1 ocurre una bifurcación. • y así infinitas veces, con cada vez menos distancia entre las rm. • Un análisis más profundo da como resultado que r = 3.57... • Se puede demostrar que • (la distancia entre bifurcaciones es constante en escala logarítmica)

15. La ruta hacia el caos • Curiosamente, este número d (=4.669201...), junto con otro cuyo definición no discutiremos aquí (a = 2.50280...), no son casuales sino que son números universales (en el mismo sentido que p o e) que aparecen en cualquier sistema disipativo típico con una cascada de doblado de período, independientemente de la dimensión del mismo. • En el estudio del caos uno se encuentra con regularidad con propiedades universales, que son características del comportamiento caótico, y no del sistema subyacente. • Para expresar este concepto, se usa el término de “comportamiento emergente” para señalar que las características del fenómeno son el producto del comportamiento (las interacciones) e independiente del nivel inferior (sistema subyacente).

16. La ruta hacia el caos:resumen • Résumen desde un punto de vista físico • La ruta hacia el caos ocurre en muchos sistema físicos. • El parámetro que gobierna el comportamiento suele ser relacionado con la inyección de energía en el sistema. • Al aumentar la inyección de energía, se doblan y multiplican las frecuencias básicas del sistema, debido a que se debe dar cauce a un flujo de energía cada vez mayor. • Esta multiplicación no continua hacia el infinito, sino que lleva a un comportamiento irregular asociado con la apariencia de órbitas inestables. • A pesar de ser inestables, las órbitas no “escapan” hacia lo infinito debido a la existencia de disipación en el sistema (fricción). Más adelante se hablará más de esto. • Este balance entre “expansión” (comportamiento inestable, crecimiento exponencial) y “compresión” (disipación) da lugar al comportamiento “extraño” o caótico que observamos.

17. El estado caótico • Una vez dentro del en el estado caótico, podemos seguir con la construcción del diagrama de bifurcación. • Hay zonas completamente caóticas, y bandas donde se vuelve a tener una situación periódica. • Haciendo una ampliación de una zona así, se observa que la gráfica del detalle (rectangulo azul) es muy parecida al dibujo completo. • De nuevo, esto se repite ad infinitum. • Resulta que, a pesar de la apariencia, en número de ventanas periódicas es denso (es decir, en cada punto hay una ventana a menos de una distancia e, siendo e arbitrariamente pequeño).

18. Clasificación de bifurcaciones Diagrama de bifurcación Comportamiento del mapa antes después Doblado de periodo Tangente Doblado de periodo inverso pendiente > 1: inestable pendiente < 1: estable r

19. Otras rutas hacia el caos • La ruta de doblado de periodos no es la única manera de transitar de una situación periódica / laminar hacia una situación caótica. • Cuando, al desestabilizarse una órbita periódica, no hay otra órbita estable cercano en el espacio de fases, entonces puede producirse intermitencia. • El sistema entra y sale del estado caótico de manera irregular. Aumentando el parámetro de control cada vez predomina más el estado caótico. Ejemplo: Lorenz. • También en esta ruta al caos existen varios tipos de bifurcaciones (Hopf, doblado de periodo inverso, ...). • Una tercera ruta al caos se denomina ruta de “crisis” • Se produce cuando atractores en el espacio de fase chocan o aumentan su tamaño, conduciendo a un cambio drástico de las órbitas.

20. Caos en un sistema de ondas acopladas • Ya nos hemos detenido en un sistema de ondas acopladas cuando hablamos de la bicoherencia. Ahora vamos a demostrar que es muy fácil que se produzca caos en un sistema de ondas acopladas, y que el tipo de caos es muy similar al del mapa estándar. • Considera una onda plana con amplitud pequeña: • Supongamos que esta onda número 1 se acopla fuertemente con dos otras ondas: • Y las 3 ondas están casi en resonancia, es decir: dpequeño

21. Caos en un sistema de ondas acopladas • En tal caso, la amplitud compleja de las ondas se ve mutuamente afectada de la siguiente manera: • Las ondas cambian lentamente de amplitud y fase, debido a la falta de resonancia caracterizada con el parámetro pequeño d. No hay intercambio de energía con el ambiente. • Ahora suponemos que debido a la interacción con el ambiente, todas las ondas están sujetas a un crecimiento (lineal), parametrizado con el ritmo de crecimiento g. • Supongamos que la onda 1 sea inestable (g > 0), mientras que las otras sean estables (g < 0). A las ecuaciones de arriba se añade el término de crecimiento lineal:

22. Caos en un sistema de ondas acopladas • En principio, la onda 1 crecería exponencialmente al ser inestable, pero cabe la posibilidad que la energía de la onda 1 se transfiere a las otras ondas debido al acoplo. • Por tanto, en conjunto el sistema puede experimentar una “expansión” exponencial en una “dirección” que se ve compensado por una “contracción” exponencial en otras “direcciones”. Esto es típico de un sistema caótico. • El sistema puede ser simplificado algo poniendo g2 = g3. • Se ha estudiado el comportamiento de estas ecuaciones en función del parámetro de control g = -g2 /g1.

23. Caos en un sistema de ondas acopladas amplitud de onda 1 frente a tiempo en función de g • Transición al caos por la ruta de doblado de periodo • Un mapa (xn+1 frente a xn) muy similar (aunque invertido) al mapa estándar. • Conclusión: el tipo de caos producidos por ondas acopladas es similar al del mapa estándar.

24. La dimensión fractal • La dimensión fractal de un sistema es un parámetro fundamental. • ¿Cuál es la razón? • Si tenemos unas medidas, pero no conocemos el sistema de ecuaciones subyacente, quisieramos saber, al menos, cuántos variables independientes se necesitan para describir el movimiento observado. • Si intentamos modelar el sistema con las ecuaciones diferenciales siguientes: • pero la dimensión de x es menor que la dimension fractal, el proyecto fracasará al no disponer de suficientes grados de libertad. • Así que la dimensión fractal es una importante indicación para conocer el número de variables requeridos para describir el sistema.

25. La dimensión fractal:un ejemplo • Un objeto puede tener una dimensión fractal. • Considera el conjunto de Cantor: 0 1 2 proceso de construcción • La longitud de la suma de los intervalos en la iteración n es: (2/3)n. • ¿Cual es la dimensión del conjunto de intervalos? No es 1, porque no es una línea (para n  ∞ la longitud va a cero), y no es 0, porque incluso si n  ∞ el número de puntos dentro del conjunto es infinito. • Existen muchas maneras –no todas equivalentes– de estimar la dimensión de un objeto. La más fácil de comprender, y una de las más usadas, es el método de contar cajas (box-counting).

26. Algoritmo de contar cajas • Cubre el objeto (en dimensión N) con una matriz de cajas (cuadrados o hipercubos), de tamaño e. • Cuenta cuántas de las cajas contienen puntos pertenecientes al objeto. El número de cajas con algo dentro es Ne. • Toma el límite e 0. La dimensión fractal es: e • Tarea: comprobar que este algoritmo funciona para objetos “normales” (un punto, una línea, una superficie cerrada).

27. La dimensión fractal • Es muy sencillo aplicar este algoritmo al conjunto de Cantor. • Elige “cajas” de tamaño en = (1/3)n. • El número de cajas llenas es: Ne = 2n. • Luego la dimensión del conjunto de Cantor es: D0 = ln 2 / ln 3 = 0.63... • Para sistemas dinámicos esta manera de estimar la dimensión puede resultar poco satisfactoria, porque el algoritmo no toma en cuenta la densidad de puntos dentro de cada caja, sólo si hay puntos dentro de la caja o no. Con sistemas dinámicos, la densidad de puntos en un atractor puede ser muy alto, ya que (siendo un atractor) una órbita pasa muchas veces muy cerca del atractor. • Para tomar en cuenta este aspecto de sistemas dinámicos, se ha generalizado el algorítmo de contar cajas (Grassberger-Hentschel-Procaccia).

28. La dimensión fractal • La definición generalizada de la dimensión fractal es: donde • y mi es la densidad de puntos en cada caja. • Para q = 0 obtenemos la dimensión D0 de antes. • Para q > 0, cajas con mi mayor tienen más influencia en el resultado. • Si Dq depende de q, el sistema se denomina multifractal. • Para q = 1 (hay que tomar el límite q  1), tenemos un caso especialmente interesante: • Esta dimensión se conoce como la dimensión de información y lo estudiaremos más adelante.

29. La dimensión fractal • En la práctica no se puede tomar el límite para e 0, y lo que se hace es dibujar un gráfico, pintando ln I(q,e) frente a ln e. Si los puntos están en una recta, se puede extrapolar a e = 0 y estimar la dimensión a partir de la pendiente. • Otra definición de la dimensión es la dimensión en un punto. Esta manera de estimar la dimensión permite estimar la dimensión localmente en cualquier punto de un atractor: • donde m es la densidad de puntos y Be(x) es una bola (N-dimensional) con radio e centrado en x. Para la mayoría de los casos, Dp ≈ D1. • El famoso algoritmo de Grassberger y Procaccia es una variante de D2.

30. La dimensión de Hausdorff • La dimensión de Hausdorff es otra manera de definir una dimensión. • Es más complicado de evaluar pero matemáticamente mejor definido. • Por ejemplo, la serie de puntos 1, 1/2, 1/3, ... daría una dimensión distinta de cero con los algoritmos anteriores, pero la dimensión de Hausdorff da cero (correctamente). • Definición de la dimensión de Hausdorff de un objeto A: • Sea Si una colección de subconjuntos del espacio tal que los diámetros ei de Si sean todos menores que un número d: 0 ≤ ei ≤ d, tal que los Si cubren el objeto A completamente. • Definimos la calidad de Hausdorff GHd(d):

31. La dimensión de Hausdorff • La calidad de Hausdorff es esa colección de subconjuntos Si que: • Cubre A completamente • Minimiza la suma de sus diámetros a la potencia d (o sea, minimiza el volúmen de la cobertura en la dimensión d). • Este es una generalización matemática (tal vez no muy práctica) de las nociones de longitud, área, volúmen, etc: • Para una superficie suave en un espacio de 3 dimensiones, GH2 es el área de la superficie, mientras que GHd = +∞ para d < 2 y GHd = 0 para d > 2. • Este comportamiento es genérico. Por tanto, se define la dimensión de Hausdorff como aquel valor de d, DH, tal que GHd es ∞ para d < DH, y GHd es 0 para d > DH. • No se suele usar mucho esta dimensión por ser complicado de evaluar. • Se puede demostrar que D0 ≥ DH, por lo cual, si sólo nos interesa saber cuántos parametros independientes necesitamos para describir un sistema, D0 nos vale.