Caos

1. Caos Aula 03

2. Século XX e o rompimento de paradigmas • Segundo Lorenz a ciência do século XX será lembrada apenas por: • Relatividade (Eliminou a ilusão Newtoniana de espaço-tempo absoluto) • Mecânica quântica (sonho de Newton de um processo controlável de mensuração) • CAOS (eliminou a fantasia Laplaciana de previsibilidade determinística)

3. Determinismo • “Igreja Newtoniana dos últimos dias” • “Dado um conhecimento aproximado das condições iniciais e um entendimento da lei natural, pode-se calcular o comportamento aproximado desse sistema” (J.G. p.12) • Há uma convergência na forma com que as coisas funcionam • “influências arbitrariamente pequenas não crescem a ponto de ter efeitos arbitrariamente grandes.” (winfree, apud JG. p.13) • Ex.: cometa Halley, Economia, meteorologia, etc.

4. Edward Lorentz • Matemático (geminiano) que foi obrigado a trabalhar com meteorologia na força aérea da 2ª guerra. 1917-2008

5. O modelo de Lorenz • Naquela época praticamente todos os cientistas sérios desconfiavam dos computadores. • Exemplo do uso de computadores em empresas. • Os modelos computacionais eram trabalhos bastardos da ciência.

6. Edward Lorentz • Em 1960, cria um sistema atmosférico de brinquedo. • 12 equações fundamentais • Usou o fantástico Royal McBee!!! 1917-2008

7. O modelo de Lorenz • Meteorologia era: • Intuição e • Estatísticas • A temperatura média de salvador é de 22º • O número médio de dias chuvosos em Riad, na Arábia saudita é de 10 por ano. • Lorenz queria mais!

8. Início do Caos • No inverno de 1961 Lorenz vê o CAOS • Cópia dos parâmetros finais como parâmetros de entrada. • A saída tinha uma precisão de 3 casas e a variável de 6 casas decimais. 0.506127  0.506

9. Início do Caos • Resultado • Lorenz pensou “queimou uma válvula” meleca!

10. Caos • Depois percebeu que se tratava de uma mudança profunda no atual paradigma de previsão meteorológica. • Meleca! A previsão a longo prazo está condenada! • “Certamente, de qualquer modo não vínhamos tendo muito sucesso nisso, e agora tínhamos a desculpa” (Lorenz, apud J.G. p.15)

11. Sensibilidade às condições iniciais • Henri Poincaré final do século IX • Lorenz redescobre o conceito, desde uma perspectiva computacional. 1854 – 1912

12. Caos Determinístico • Sabemos que trajetórias no espaço de fase não podem se cruzar, pois sendo assim a dinâmica do fenômeno teria, para um mesmo estado, mais do que uma possibilidade de evolução, rompendo assim o determinismo. Com três ou mais variáveis dinâmicas (Ex.: pêndulo atenuado e forçado) são possíveis trajetórias complicadas que não se interceptam. Elas estão incluídas na classe de movimentos caóticos denominada caos determinístico.

13. Caos Determinístico • Simples gerando o complexo • em sistemas complexos que apresentem comportamento caótico, pequenas variações nas condições iniciais levam a variações exponenciais em suas trajetórias

14. Caos Determinístico • Indeterminismo • A impossibilidade em conhecermos, com infinita precisão as condições inicias faz com que as trajetórias dinâmicas do sistema sejam indeterminadas. A isso chamamos de indeterminismo.

15. Caos Determinístico • Definição • mesmo sendo as leis perfeitamente conhecidas a nossa ignorância sobre o sistema não nos permite prever suas trajetórias. • Exemplo: • Pêndulo atenuado e forçado, Mapa logístico

16. Porta grande e natural para o Caos determinístico são as equações diferenciais. • Repetição de operações simples mais não lineares, “principio de organização fundamental da Natureza”. • a interação matematicamente mais simples de funções não lineares nos permite uma entrada mais rápida no contexto da teoria, de fato, com apenas uma variável isso é possível, como é o caso do mapa logístico.

17. Mapa logístico • Usada em 1845 por P.F. Verhulst para modelar o desenvolvimento de uma população pilífera cujas gerações não se sobrepõem. Em seu modelo Xt representava a densidade populacional no tempo t. O parâmetro  está associado às taxas de nascimento e óbito da população . 1804 – 1849

18. Mapa logístico • Modelo mais simples que se tem para o crescimento limitado de populações biológicas. Mas o que ela nos ensina é que uma equação bastante simples pode apresentar soluções bastante complicadas. • Montar planilha de cálculo

19. Mapa logístico • Podemos estudar o mapa logístico assumindo a função:

20. Mapa logístico

21. Mapa logístico • Para qualquer valor inicial X0 com 0 < X0 < 1, os Xt convertem para um ponto fixo X* ou ATRATOR • O intervalo ]0,1[ define uma BACIA DE ATRAÇÃO para o ponto fixo X*, que no nosso exemplo é ESTÁVEL sempre que • Para valores de >1 e X0 < 0 ou X0 > 1 é fácil se verificar graficamente que Xt -. Estes pontos são denominados de pontos REPULSORES

22. Mapa logístico  • Para =3.5699456 temos infinitas bifurcações CAOS • JANELAS DO CAOS • Próximo às bifurcações o sistema se torna SENSÍVEL ÀS CONDIÇÕES INICIAIS X*

23. Expoente de Lyapunov • Podemos definir • Representa a densidade populacional após n iterações. • Dada uma condição inicial separada de  podemos definir a distância que separa o sistema por: • Para fenômenos caóticos essa distância aumenta exponencialmente na forma • Onde  é o EXPOENTE DE LYAPUNOV

24. Expoente de Lyapunov • Para <0 temos que a função exibe ciclos de período finitos. No exemplo do mapa logístico são representados pelos pontos em que <3 e nas janelas do caos. • Para =0 são os pontos de bifurcação. • Para >0 temos que a função exibe ciclos de período infinitos (aperiódico), ou seja, CAOS. Os pontos iniciais Xo com este expoente são denominados de ATRATOR ESTRANHO ou CAÓTICO.

25. ATRATOR ESTRANHO

26. Expoente de Lyapunov Ver prática com o mapa logístico no excel!

27. Expoente de Lyapunov Não é necessário termos a função para se calcular o expoente. Podemos usar a derivada discreta da função: Wolf et al (1985)