Modélisations de fonctions d’obsolescence et application aux contrats de leasing financier

1. Modélisations de fonctions d’obsolescence et application aux contrats de leasing financier Daniel Justens – Christian Bihoyiki HEFF/UER mathématiques appliquées IREM de Bruxelles Université de Liège 17 janvier 2006

2. Plan • Travail dans le contexte d’un exemple : le matériel informatique. Etude de l’ évolution de ses performances • « Loi de Moore », ses qualités et ses limites • Modélisations • Construction de fonctions d’obsolescence • Application aux leasings financiers

3. Performances du matériel informatique • La fameuse « Loi de Moore » • 1965. Gordon Moore constate : le nombre de transistors sur une plaque de silicium double tous les ans depuis 5 ans. • 1975. Fondateur d’Intel. Correction : le doublement n’a lieu que tous les deux ans. • Qu’en est-il réellement ?

4. Tout le monde la reprend :

5. Quelques chiffres (www.cs.rpi.edu) Années nombre de ln(ni) transistors 1971 2300 7,7406644 1972 3500 8,1605182 1974 6000 8,6995147 1982 134000 11,8055951 1985 275000 12,5245264 1989 1200000 13,9978321 1993 3100000 14,9469127 1995 5500000 15,5202587 1997 7500000 15,8304136 1999 9500000 16,0668024 2000 42000000 17,5531802 2005 1000000000 20,7232658 (Sciences et vie octobre 2005)

6. Et la loi de Moore ?

7. Le dangeureux passage aux logarithmes

8. Que se passe-t-il sans la dernière observation?

9. Quant au modèle avec ...

10. Autre problème : la confrontation avec les lois de la physique • On est passé de 2 300 transistors par puce en 1971 à 1 000 000 000 fin 2005 (octobre) • Le retrécissement se heurte aux dimensions de la matière : les couches de matériaux isolants sont d’une épaisseur de l’ordre de 5 atomes. • La physique macroscopique cesse d’être utilisable et on constate des fuites : chauffe. • La vitesse de transmission de l’information est bornée.

11. Les solutions envisagées • Nouveaux matériaux isolants • Utiliser une gamme de transistors différents • Utilisation de pinces pour serrer et détendre le silicium • Remplacer le silicium • Utiliser les nanotubes de carbone • Utiliser l’électronique magnétique

12. Quousque tandem? • La « loi de Moore » pourrait fêter ses 50 ans, mais après ? • L’évolution passée et ses perspectives sont-elles mathématisables ? • Comment ? • Quelles sont les implications financières ?

13. Mesure objective de puissance : les MIPSJean Baudet (2004) : De la Machine au Système. Vuibert.

16. Une régression sans outlier

17. Régularité de la paramétrisation

18. Modélisation exponentielle • Une première modélisation donne théoriquement et numériquement : • On vérifie que : e(2*0,3285) = 1,929

19. Modélisation de l’intensité des sauts temporels • Considérons une suite de variables g1, g2, ... définies sur les réels positifs, équidistribuées et de fonction de répartition F. Notons :

20. Modélisation de la fréquence des sauts temporels • On introduit un processus de Poisson de paramètre l. La probabilité d’observer k sauts dans l’intervalle [0, t[ est donnée par : • On note Tk le temps d’arrêt correspondant au ke saut.

21. Tendance du processus « saut cumulé » • On définit alors : • On montre que : • On peut construire une semimartingale avec processus de compensation

22. Retour au processus « puissance » • On arrive au modèle théorique : • Sur base des observations : • Visualisons l’évolution de M(t) avant de traiter la tendance à la saturation

23. Le modèle prévisionnel

24. La tendance à la saturation

25. Paramétrisation • La puissance initiale est donnée par le modèle exponentiel par hypothèse de continuité • La puissance maximale doit être tirée des conditions techniques • La vitesse de croissance peut s’obtenir en postulant la dérivabilité du processus

26. Illustration numérique Numériquement : Doublement tous les deux ans Tendance à la saturation après 45 ans

27. Un modèle descriptif général.

28. Fonction d’obsolescence

29. Dans notre cas particulier, on peut choisir :

30. Illustration du saut « pentium IV »

31. Passage au financier • Définition du leasing :

32. Notations et mise en équation • On note L le loyer : L = capital x barème locatif cf : la notion de taux de chargement • OA l’option d’achat en fin de contrat. L’équation d’équilibre est donc :

33. Taux de la transaction ? • Dépend de l’exercice ou non de l’option d’achat. • Comment modéliser cette option ? • Le sous-jacent n’est pas une lognormale mais une Poisson • Raisonnement différent de BS

34. Exercice de l’option ... • Soit un matériel acquis en t0 et pour lequel l’option se place en t1 • L’option est exercée si la valeur résiduelle du matériel est supérieure à OA. Mathématiquement : • Ou encore en termes d’obsolescence :

35. Résolution d’un exemple • Soit le contrat réel suivant : • Sans option, le TAEG vaut : 0,058 • Avec, il passe à : 0,068

36. Utilisation du processus « sauts cumulés » • Sous notre modèle, la valeur de la fonction d’obsolescence après deux ans est : • Et on peut le paramétriser en posant par exemple : • mg = 5 et l = 0,04.

37. Numériquement donc : probabilité obsolescence 0 saut 0,923116346 0,481595783 1 saut 0,073849308 0,899691014 2 sauts 0,002953972 0,980590643 > 2 sauts 8,03736E-05 0,996244373

38. Et en guise de conclusion • Intérêt des fonctions d’obsolescence du point de vue didactique, illustrateur en matière de modèles et financier • Développement de modèles optionnels à sous-jacent non-lognormal • Imagination des organismes financiers pour contourner la législation.

39. Merci de votre attention