1 / 20

Lic. Daniel H. Torres Quequezana

Circunferencias Trigonométricas. Lic. Daniel H. Torres Quequezana. skanito1@hotmail.com. (+). B(0;1). R = 1. (-). (+). 0. A(1;0). A’(-1;0). (-). B’(0;-1). Elementos de la circunferencia. Se tiene los siguientes elementos: O (0 ; 0): Origen de la circunferencia.

gautam
Download Presentation

Lic. Daniel H. Torres Quequezana

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Circunferencias Trigonométricas Lic. Daniel H. Torres Quequezana skanito1@hotmail.com

  2. (+) B(0;1) R = 1 (-) (+) 0 A(1;0) A’(-1;0) (-) B’(0;-1) Elementos de la circunferencia • Se tiene los siguientes elementos: • O (0 ; 0): Origen de la circunferencia. • A(1 ; 0): Origen de arcos, a partir del cual se miden los ángulos trigonométricos, es decir, ángulos positivos, negativos y de cualquier magnitud. • B (0 ; 1): Origen de complementos. • A’ (-1 ; 0): Origen de suplementos. • B’ (0 ; -1): Sin denominación específica. • P (x ; y): “P” de coordenadas (x ; y)

  3. B P(x;y) y PQ • En el OQP: Sen θ = = 1 1 OP θ . . . Sen θ = y A A’ 0 Q • De la figura: Sen B’ AP = Sen θ = PQ = y 2. Líneas trigonométricas. Representación: Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal. Línea seno

  4. +∞ 90º -------------------------- 1 0º 180º 0 360º -------------------------- -1 270º -∞ -1 ≤ Sen α ≤ 1 Análisis de la línea seno • Valores Cuadrantales. • Variación cuadrantal.

  5. B P(x;y) N 1 ----------------------- θ A A’ 0 Q x NP • En el PNO: Cosθ = = 1 OP B’ . . . Cos θ = x • De la figura: Cos AP = Cos θ = NP = x Línea Coseno Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical. Representación:

  6. 90º -------------------------- 0º 180º 360º 270º -------------------------- +∞ -∞ 1 0 -1 -1 ≤ Cos α ≤ 1 Análisis de la línea coseno • Valores Cuadrantales. • Variación cuadrantal.

  7. T( 1 ; y1 ) B P θ A A’ 0 1 y1 AT • En el TAO: Tgθ = = 1 OA B’ . . . Tg θ = y1 • De la figura: Tg AP = Tg θ = AT = y1 Línea Tangente Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1;0), se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. Representación:

  8. +∞ -------------------- • Valores Cuadrantales. 0º 90º 180º 270º 360º ---------------- Tg 0 0 0 -------------- ------------------ 90º -------------------------------------------------------- ---------- ----- ----------------------------------- 0º 0 180º 360º ------------------------------------- ---- ------------ -------------------------------------------------------- ---------------- 270º ------------------- ------------------- ---------------------- -∞ - ∞< Tg α < +∞ Análisis de la línea tangente • Variación cuadrantal.

  9. B T( x1 ; 1 ) θ P θ A A’ 0 1 x1 BT • En el TBO:Cotg θ = = 1 BO B’ . . . Cotg θ = x1 • De la figura: Cotg AP =Cotg θ = BT = x1 Línea cotangente Es una parte de la tangente que pasa por el origen de complementos B(0; 1), se empieza a medir a partir de ese origen y termina en la intersección de la tangente mencionada con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. Representación:

  10. 0 -∞ +∞ 0º 90º 180º 270º 360º cotg 0 0 0 0 ---------------------- -------------------- ------------------- ---------------- ---------------- -------------- ------------ ---------- 90º ----- ---- ------------------ ------------------- ----------------------------------- -------------------------------------------------------- ------------------------------------- ----------------------------------------------------- 0º 180º 360º 270º - ∞< Cotg α < +∞ Análisis de la línea cotangente • Valores Cuadrantales. • Variación cuadrantal.

  11. B θ P 1 θ T( x2 ; 0 ) A’ 0 A x2 OT En el O P T : Sec θ = = 1 OP . . . Sec θ = x2 De la figura: Sec B’ AP = Sec θ = OT = x2 Línea Secante Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen del arco, se empieza a medir del centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco: Representación:

  12. Valores Cuadrantales. 0º 90º 180º 270º 360º Sec 1 -1 1 90º -------------- ---------------- ------------------ ------------------- --------------------- ---------------------- 270º ------------------------ ------------------------- -∞ ------------------------------ ------------------------------ +∞ Sec  ≤ -1 U Sec  ≥ 1 -1 1 Análisis de la línea secante • Variación cuadrantal.

  13. T( 0 ; x2 ) θ B P 1 θ A’ 0 A En el OPT : Cosec θ y2 OT = = 1 OP B’ . . . Cosec θ = y2 De la figura: Cosec = Cosec θ = OT = y2 AP Línea Cosecante. Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen de complementos, se empieza a medir en el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco. Representación:

  14. +∞ ------------------------ • Valores Cuadrantales. --------------------- 0º 90º 180º 270º 360º ----------------- -------------- Cosec 1 -1 ------------------------------ 1 0º 180º 360º • Variación cuadrantal. ------------------------------ -1 ---------------- ------------------ Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 +∞ a 1 Decreciente (+) ---------------------- Q2 1 a +∞ Creciente (+) ------------------------- -∞ Q3 -∞ a -1 Creciente ( - ) Cosec  ≤ -1 U Cosec  ≥ 1 Q4 -1 a -∞ Decreciente ( - ) Análisis de la línea cosecante

  15. l • Por definición: Vers θ= 1 – Cos θ … B P • De la figura: Vers θ= MA OM • En el OMT : Cos θ -------------------- OP ll θ A A’ OM … . . . . . . 0 M = = Cos θ = OM Vers θ = MA 1 ___________ 1 ____________I l : Reemplazamos ll en Vers θ = 1 – OM B’ 3. Líneas trigonométricas auxiliares Es los que le falta al coseno de un arco para valer la unidad. El verso se empieza a medir a partir del origen de versos que vienen a ser el origen de arcos A(1;0), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro horizontal. El verso es positivo. Línea seno verso o verso (vers)

  16. α B • Trazamos la línea PQ A´A, la cual representa la línea seno, entonces: P A’ o A Q 1 1 1 (OA)(PQ) Sen α S▲AOP= S▲AOP= B’ 1 (1)(Sen α) 2 2 S▲AOP= 2 4. Problemas de Aplicación Del grafico, hallar el área de la región triángular AOP Problema 1: PQ = Sen α --------------- Sen α • Además OA representa el radio de la C.T., entonces: OA = 1 • Finalmente: Solución

  17. Q B B P Q N B 80º 80º P 80º Q P M ----------------- 10º 10º A´ A O 10º A´ A M N O A´ A O B´ B’ B´ PM < QN AP < AQ PM > QN Problema 2: Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas III. Tg 10º > Tg 80º II. Cos 10º > Cos 80º I. Sen 10º > Sen 80º AP = Tg 10º PM = Sen 10º PM = Cos 10º AQ = Tg 80º QN = Sen 80º QN = Cos 80º Tg 10º < Tg 80º Sen 10º < Sen 80º Cos 10º > Cos 80º Falso Falso Verdadero

  18. Problema 7: Calcular el área de la región sombreada T • Veamos: B C.T. Tg  AT = Tg  Tg  = Tg  = A A´ 1 1 o A´O = 1 AT AT S▲A´OT = OA 1 AT = Tg  (1) (Tg ) S▲A´OT = B´ 2 (A´O)(AT) ; OA = 1 2 1 S▲A´OT = Tg  2 • Resolución: • Analizando las líneas notables en la C.T.: 

  19. “Gracias por su atención”

  20. Analizando la figura: Problema 5: π/2 = C.T. π/6 m AA´P = Tg 15º = A´OC 30º mAP (ángulo inscrito) 15º = = π 0.2 π 2 - √3 = OC o 2 2 < OC 1 S▲CA´B´ = B OA´ = 1 3π/2 P C 30º S▲CA´B´ = (B´C)(OA´) 2 - √3 15º A A´ B´C = 3 - √3 o 1 2 3 - √3 S▲CA´B´ = u2 2 2 1 (3 - √3) (1) B´

More Related