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Konstruiere zu einem Rechteck mit Seitenlängen von 4 cm und 7 cm ein Quadrat gleichen Flächeninhalts. Eine Seite des Rechtecks wird in die Waagerechte gedreht. Von der nun 11 cm langen Waagerechten wird der Mittelpunkt M konstruiert. M. h.
E N D
Konstruiere zu einem Rechteck mit Seitenlängen von 4 cm und 7 cm ein Quadrat gleichen Flächeninhalts. Eine Seite des Rechtecks wird in die Waagerechte gedreht. Von der nun 11 cm langen Waagerechten wird der Mittelpunkt M konstruiert. M h Um M wird ein Halbkreis mit d = 11 cm gezeichnet. Konstruktionen Folie 1 Die zuerst gedrehte Seite des Rechtecks wird verlängert. Das angedeutete Dreieck wäre rechtwinklig nach dem Satz des THALES mit der Verlängerung als Höhe h. Der Durchmesser des Halbkreises wird zur Hypotenuse mit den Abschnitten q und p. Wegen h² = p q hat das gesuchte Quadrat die Kantenlänge h = 28 . q p
Konstruiere Strecken der Länge 2 ; 3 ; 5 und 6 cm. 6 2 3 1 1 1 Konstruktionen Folie 2 5 1 1 cm Konstruiere eine Strecke der Länge 24 cm. 1 cm 24 3 cm 8 cm
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rechtecks, dessen 27,5 cm lange Diagonalen sich unter einem Winkel von 40,25° schneiden? e = 27,5 cm e = 40,25° e 2 e 2 e 2 180° - 180° - e 2 Rechteck Folie 3 A = 4 sin = A = sin (180° - ) A = sin e 2 1 2 1 2 e 2 e 2 e 2 1 2 e 2 e 2 Wegen sin = sin (180° - ) sind alle vier Teildreiecke des Rechtecks gleich groß. A = 244,3156298 1 2 A = 244 m² e² sin
Der Zahlenwert der Seitenlänge eines Quadrates sei x. Wie muss x gewählt werden, damit der Zahlenwert des Umfangs bei entsprechenden Einheiten gleich dem Zahlenwert des Flächeninhalts, größer als der Zahlenwert des Flächeninhalts, kleiner als der Zahlenwert des Flächeninhalts ist? a) 4x = x² 0 = x² - 4x Aufgabenpraktikum Flächen Folie 4 x1 = 0 x2 = - p = 4 x = 4 b) 4x > x² 0 < x < 4 c) 4x < x² 4 < x
In einem gleichschenkligen Trapez ABCD (AB || CD) halbiert die Diagonale e den Winkel , während sie den Winkel im Verhältnis 1 : 2 teilt. Wie groß sind die Winkel des Trapezes? Konstruiere ein solches Trapez mit der Seite a = 4,5 cm! Beschreibe die Konstruktion. D C • = • = a) x 2x Aufgabenpraktikum Flächen Folie 5 • + = + = 180° x Diagonale teilt 1 : 1 x = 1,5 A B Diagonale teilt 1 : 2 b) • + = + 1,5 = 3,5 = 180° D = 72° = = 108° = C c) a = 4,5 cm zeichnen; es ergeben sich A und B in A und in B antragen A B w konstruieren; es ergibt sich Punkt C Parallele zu a durch C zeichnen; es ergibt sich Punkt D
Von einem Dreieck ABC ist bekannt: (1) Die Seite AB = c ist 25 cm lang. (2) Die Seitenhalbierende CM = sc ist 12,5 cm lang. (3) Die Seite BC = a ist 5 cm länger als die Seite AC = b. Fertige eine entsprechende Skizze an. Welchen Abstand haben die Punkte A, B und C von M? C Was für ein besonderes Dreieck ist ABC? Aufgabenpraktikum Flächen Folie 6 Welche Länge haben die Seiten a und b? A M B Welche Flächeninhalt hat das Dreieck ABC? 12,5 cm 12,5 cm 25 cm c² = a² + b² c² = a² + (a - 5)² = a² + a² - 10a + 25 A = ab A = 20 15 625 = 2a² - 10a + 25 1 2 1 2 0 = 2a² - 10a - 600 A = 150 cm² 0 = a² - 5a - 300 a = 20 cm b = 15 cm
Einem Kreis (r = 6,0 cm) ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit einem Winkel = 70° an der Spitze einbeschrieben. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks? C 6 cm 70° 70° x b = cos 55° = sin 70° = x = sin 70° 6 cm Einbeschriebenes Gleichschenkliges Dreieck Folie 7 x = 5,64 cm x 6 cm 5,64 cm b 5,64 cm cos 55° 6 cm 6 cm 140° 55° AB = c = 11,23 cm 55° A B b b = 9,83 cm a = 9,83 cm 55° 5,64 cm
Berechne die fehlenden Innenwinkel, wenn sich die folgenden Angaben jeweils auf ein Viereck ABCD beziehen. = 70°; = 80°; = 90° = = 100°; = = = 50°; = + = 180°; = ; = 45° Um welche Arten von Vierecken handelt es sich jeweils in den Aufgaben a) bis d)? Vierecke Winkelbestimmung Folie 8 e) = 360° - ( + + ) = 360° - (70° + 80° + 90°) = 120° allgemeines Viereck b) + + + = 360° + + + = 360° 2(100° + ) = 360° = = 80° gleichschenkliges Trapez c) + + + = 360° + + + = 360° 2(50° + ) = 360° = = 130° Parallelogramm Parallelogramm d) = = 135°; = = 45°
Gegeben sei ein Kreis mit einer Sehne AB, die nicht durch den Mittelpunkt des Kreises geht. Ferner seien AC und BD Durchmesser des Kreises. Zeichne eine entsprechende Planfigur und trage die Strecken AD und BC ein. Bestimme die Größe des Winkels CBA. Welchen Satz hast du benutzt? Es wird behauptet, dass die Dreiecke ABC und ABD zueinander kongruent sind. Führe den Nachweis darüber. Geometrische Beweise Kongruenz Folie 9 a) D b) Winkel CBA = 90° Satz des THALES c) A x M C Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie übereinstimmen in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel. SsW B
Konstruiere und beschreibe den Lösungsweg: Dreieck ABC mit a = 6 cm; = 50°; hc = 2,5 cm Skizze: Beschreibung: 1. Gerade g zeichnen; auf ihr soll später Seite c des Dreiecks liegen; Punkt A a hc 2. Gerade g1 parallel zu g im Abstand von hc = 2,5 cm zeichnen 3. Winkel = 50° in Punkt A antragen; Punkt C Konstruktion: Dreieck Konstruktion Folie 10 4. Kreisbogen mit r = a = 6 cm um C; Punkt B C 5. Punkte B und C verbinden g1 g B A
Konstruiere und beschreibe den Lösungsweg: Dreieck ABC mit c = 4,5 cm; = 70°; ha = 3,2 cm Skizze: Beschreibung: 1. ha zeichnen; Punkt A 2. Gerade g senkrecht durch Fußpunkt von ha ha 3. Kreisbogen mit r = c = 4,5 cm um A; Punkt B c Konstruktion: Dreieck Konstruktion Folie 11 4. Punkte A und B verbinden 5. Winkel = 70° in A antragen; Punkt C C A B g
Konstruiere und beschreibe den Lösungsweg: Dreieck ABC mit a : b = 5 : 3; c = 7 cm; = 60° Skizze: Beschreibung: 1. Winkel zeichnen; Punkt C a 2. Kreisbogen mit r = 5 cm um C; Punkt B‘ b 3. Kreisbogen mit r = 3 cm um C; Punkt A‘ 4. Punkte A‘ und B‘ verbinden c 5. Zentrische Streckung (C; k) bis c = 7 cm; Punkte A und B Konstruktion: Dreieck Konstruktion Folie 12 C A‘ B‘ A B
Von einem Dreieck ABC sind die folgenden Seiten und Winkel gegeben: • AB = c = 5,9 m; BC = a = 4,5 m; BCA = = 74° • a) Berechne die Größe der Winkel und . • b) Konstruiere das Dreieck in einem geeigneten Maßstab! Gib diesen Maßstab an! • c) Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks! Lösung Skizze: a) Sinussatz = Dreieck Konstruktion und Berechnung Folie 13 sin a sin c sin c a sin = a sin = 0,7331 C c = 47,2° = 58,8° b) Maßstab: 1 : 10 5,9m 5,9 cm a b) Flächensatz A A = ac sin A = 4,5 5,9 sin 58,8° c B 1 2 1 2 A = 11,4 m²
Konstruiere und beschreibe den Lösungsweg: Parallelogramm ABCD mit c = 5 cm; d = 3 cm; f = 4 cm Skizze: Beschreibung: c 1. Seite c = 5 cm zeichnen; Punkte C und D d f 2. Kreisbogen um C mit r = d = 3 cm 3. Kreisbogen um D mit r = f = 4 cm; Punkt B Konstruktion: Parallelogramm Konstruktion Folie 14 4. Punkte B und C verbinden 5. Strecke BC parallel durch D verschieben; Punkt A D C 6. Punkte A und B verbinden A B
Konstruiere und beschreibe den Lösungsweg: Rhombus ABCD mit e = 4 cm; f = 6 cm Skizze: Beschreibung: Ein ebenesViereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind, heißt Raute (Plural: Rauten) oder Rhombus (Plural: Rhomben). Dabei sind gegenüberliegende Seiten parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß. 1. AC= e = 4 cm zeichnen; Punkte A und C 2. Mittelsenkrechte von e konstruieren 3. MB = 0,5f = 3 cm zeichnen; Punkt B 4. MD = 0,5f = 3 cm zeichnen; Punkt D Konstruktion: f Rhombus/Raute Konstruktion Folie 15 5. Punkte ABCD verbinden e D C M A B
Konstruiere und beschreibe den Lösungsweg: Viereck ABCD mit a = 5 cm; b = 3,6 cm; c = 6 cm; = 80°; = 115° Skizze: Beschreibung: c 1. Seite a = 5 cm zeichnen; Punkte A und B b 2. Winkel = 80° in A antragen a 3. Winkel = 115° in B antragen Konstruktion: Viereck Konstruktion Folie 16 4. Seite b = 3,6 cm auf freiem Schenkel von abtragen; Punkt C D 5. Kreisbogen um C mit r = c = 6 cm; Punkt D C 6. Punkte C und D verbinden A B
Die Diagonalen e und f eines belie-bigen konvexen Vierecks schneiden sich unter einem Winkel . Für den Flächeninhalt des Vierecks ergibt sich die Formel A = ½ e f sin Beweise die Gültigkeit dieser Formel. d A3 A4 180° - e a c A1 f A2 b Aufgabenpraktikum Formel herleiten Folie 17 sin = sin (180° - ) e = a + c f = d + d A1 = ½ ab sin A2 = ½ bc sin A3 = ½ cd sin A4 = ½ da sin A = A1 + A2 + A3 + A4 = ½ sin (ab + bc + cd + da) = ½ sin ( b(a + c) + d(c + a) ) = ½ sin ( b(a + c) + d(a + c) ) = ½ sin ( (a + c) (b + d) ) = ½ sin e f = ½ e f sin
Gib diejenigen Punktmengen der Ebene (Geraden, Kreise) an, deren Elemente jeweils eine der folgenden Bedingungen erfüllen. Der Abstand von einem gegebenen Punkt ist gleich. Der Abstand von einer gegebenen Geraden ist gleich. Der Abstand von den Schenkeln eines Winkels ist gleich. Der Abstand von den Endpunkten einer Strecke ist gleich. Der Abstand von zwei gegebenen Parallelen ist gleich. a) Kreis Aufgabenpraktikum Planimetrische Punktmengen Folie 18 M b) Parallele zur gegebenen Geraden c) Winkelhalbierende d) Mittelsenkrechte der Strecke e) mittlere Parallele
Gegeben sind zwei Parallelen g und h sowie zwei Punkte A und B, die zwischen den Parallelen liegen. Gesucht ist die Menge der Punkte, die von den Parallelen gleichen Abstand und von den Punkten A und B gleiche Entfernung haben. Führe eine solche Konstruktion aus. Gib Bedingungen an, unter denen die Aufgabe - keine Lösung, - genau eine Lösung oder - unendlich viele Lösungen hat. g h m Aufgabenpraktikum Planimetrische Punktmengen Folie 19 B n M M A a) Von g und h haben alle Punkte auf der mittleren Parallelen m den gleichen Abstand. b) Keine Lösung: Mittelparallele und -senkrechte liegen parallel zueinander eine Lösung: unendlich viele Lösungen: Mittelparallele und -senkrechte liegen aufeinander Von A und B haben alle Punkte auf der Mittelsenkrechen n von AB die gleiche Entfernung. Ein Punkt der die geforderten Bedingungen erfüllt liegt dort, wo m und n sich schneiden.
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit BCA = 90°, wenn die Länge der Seitenhalbierenden sb = 6 cm und CBS = 40° (S ist der Schnittpunkt von AC mit sb). Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. C 1 2 Skizze: Beschreibung: 1. sb = SB = 6 cm zeichnen sb S 40° 2. CBS = 40° in B antragen B Aufgabenpraktikum Konstruktion und Berechnung Folie 20 3. CSB = 180° - (90° + 40°) = 50° in S antragen; PunktC A Konstruktion: 4. CS über S hinaus verdoppeln; Punkt A C 5. A mit B verbinden sin 50° = a = 4,60 cm S B sin 40° = b/2 = 3,86 cm a 6 cm b/2 6 cm b = 7,71 cm c² = a² + b² c = 8,98 cm A u = a + b + c = 21,3 cm A = ab = 17,73 cm²
D A Gegeben sind die beiden einander anliegenden Winkel und mit dem Scheitelpunkt A und dem Punkt D auf dem gemeinsamen Schenkel. a) Konstruiere aus dieser Figur ein Dreieck ABC derart, dass AD Seitenhalbierende zu BC ist und die Punkte B und C auf verschiedenen Schenkeln von und liegen, jedoch nicht auf dem Schenkel, auf dem D liegt. Aufgabenpraktikum Konstruktion Folie 21 b) Unter welcher Bedingung wird das Dreieck ABC gleichseitig? C a) C‘ Parallelverschiebung beider Schenkel durch den Punkt D; Punkte B‘ und C‘ A Punkte B‘ und C‘ verbinden B‘C‘ parallel durch Punkt D Verschieben; Punkte B und C D B‘ b) In einem gleichseitigen Dreieck hat jeder Innenwinkel die Größe von 60°. + = 60° In einem gleichseitigen Dreieck ist die Seitenhalbieren-de auch die Winkelhalbierende. = Daraus folgt die Bedingung: = = 30° B
Skizze: C Zwei Straßen schneiden einander im Punkt A. Durch den Punkt B auf der einen Straße wird eine Rohrleitung gelegt, die die andere Straße im Punkt C schneidet. Bei der Vermessung wurden folgende Werte ermittelt: AB = c = 4,7 km; BAC = = 35°; CBA = = 85° a) Konstruiere das Dreieck ABC in einem geeigneten Maßstab. b) Berechne die Länge a des Abschnittes BC der Rohrleitung. c) Um einen Näherungswert aN für die Länge des Abschnittes BC zu erhalten, wurde für CBA = der Näherungswert 90° verwendet. Die Werte für AB = c und BAC = blieben unverändert. Berechne den Näherungswert aN. d) Gib den absoluten Fehler |aN - a| an! A c B Aufgabenpraktikum Konstruktion und Berechnung Folie 22 C a 85° 35° 35° a) Original 4,7 km Bild 47 mm B B 47 mm A A 47 mm 4700000 mm 1 100000 Maßstab = Bild Original = aN 4,7 km tan 35° = c) Maßstab = = 1 : 100000 aN = 3,291 km b) = 180° - ( 35° + 85°) = 60° 47 mm a sin 35° 4,7 sin 60° = d) |3,291 - 3,113| = 0,178 km a = 3,113 km
Auf einem Betriebsgelände sollen 20 verzinkte Zaungitter (Länge 2,00 m; Höhe 1,40 m) genutzt werden, um einen Platz mit möglichst großer Lagerkapazität einzuzäunen. Man entscheidet sich für eine geeignete Stelle, die durch rechtwinklig aufeinanderstoßende Mauern ausreichender Länge schon an zwei Seiten begrenzt ist. Mauer Aufgabenpraktikum Lagerplatz Folie 23 20 m Das Maximum an Fläche bringt ein Quadrat. 10 Gitter je verbleibender Seite. A = (10 2,00 m)² A = 400 m²
Ein Vermessungstrupp hat die Länge einer unzugänglichen Strecke AB trigonometrisch zu bestimmen. C 72,8 m 77° A Er ermittelt die angegebenen Messwerte. 45,0 m b) Auf die gleiche Weise wurde von drei Groppen einer 10. Klasse die Länge der Strecke AB bestimmt. Sie fanden die folgenden Werte: Gruppe 1: 73,4 m Gruppe 2: 76,4 m Gruppe 3: 77,3 m Berechne den Mittelwert der drei Längen. c) Um wie viel Meter weicht dieser Mittelwert von der Länge AB, die unter a) be- rechnet wurde, ab? a) Berechne die Länge der Strecke AB. Aufgabenpraktikum Vermessungstrupp Folie 24 B a) AB = 45,0² +72,8² - 245,072,8cos 77° AB = 76,5 m AB = 1/3 (73,4 + 76,4 + 77,3) AB = 75,7 m b) c) Abweichung | 75,7 – 76,5 | = 0,8 m
Eine neue Eisenbahnlinie wird gebaut. Sie verläuft in einer Ebene senkrecht zu einer bereits bestehenden Bahnlinie, über die sie mittels einer Brücke von 8,5 m Höhe geführt werden soll. Wie lang muss die Rampe mindestens sein, wenn der Anstiegswinkel nicht mehr als 1° betragen darf? Aufgabenpraktikum Eisenbahnbrücke Folie 25 Einfache Kreuzung ohne Brücke. a b c a = 8,5 m = 1° Länge der Rampe = c tan = c = c = a c a tan 8,5 tan 1° c = 487 m
Von einer Küstenstation K werden zwei Schiffe S1 und S2 geortet, die mit 8 bzw. 5 kn (1 Knoten = 1 Seemeile/h = 1,852 km/h) aufeinander zufahren. S1 ist in genau nordwestlicher Richtung 16 sm von K und S2 in Richtung 75° von K 27 sm entfernt. Wann und in welcher Entfernung von K begegnen sich die Schiffe? s² = 16² + 27² - 2 16 27 cos 120° Aufgabenpraktikum Nautik Folie 26 N s = 37,6 sm v1 t + v2 t = 37,6 S1 S2 8 t + 5 t = 37,6 T s t = 2,89 h 45° 75° 27 sm t = 2,89 60 min = 173,54 min 16 sm O K W t = 2 h 54 min sin 16 = S1T = 8 sm/h 2,89 h = 23,135 sm S2T = 5 sm/h 2,89 h = 14,465 sm Die gesuchte Entfernung entspricht der Strecke KT. sin 120° 37,6 = 21,6° KT² = 27²+14,465²- 22714,465cos21,6° KT = 14,5 sm
Ein Küstenmotorschiff fährt mit dem Kurs 159°. Der Schiffsführer peilt einen Kirchturm in Richtung 90° an. Nach 8 sm Fahrt peilt er denselben Kirchturm in Richtung 45° an. Wie weit ist das Schiff bei der letzten Peilung vom Kirchturm entfernt? gesucht ist die Strecke KS2 Aufgabenpraktikum Nautik Folie 27 Winkelergänzungen in der Skizze führen zu allen Innenwinkeln des Dreiecks S1S2K: 159° 90° K 69° S1 S2 KS1S2 = 159° - 90° = 69° die 69° ergeben sich als Wechselwinkel auch bei S2 8 sm 45° 69° S1S2K = 90° - 69° + 45° = 66° S1KS2 = 180° - (66° + 69°) = 45° 8 sm sin 45° KS2 sin 69° = 10,6 sm KS2 =
Zwei Flugzeuge F1 und F2 starten gleichzeitig vom gleichen Flugplatz. F1 fliegt auf dem Kurs 250° mit einer Geschwindigkeit v1 = 800kmh-1 und F2 auf Kurs 280° mit einer Geschwindigkeit v2 = 900 kmh-1. Wie weit sind beide Flugzeuge 2 Stunden nach dem Einschwenken auf den Kurs voneinander entfernt? 70° = 250° - 180° N Geometrische Lösung: Aufgabenpraktikum Nautik Folie 28 Pfeillänge von F1 beträgt s1 = v1 2 h = 1600 km 80° = 360° - 280° F2 80° Pfeillänge von F2 beträgt s2 = v2 2 h = 1800 km F 30° Im Maßstab 1 : 40 000 000 sind das 4 cm bzw. 4,5 cm. 70° F1 Gemessen wird der Abstand von F1 zu F2 mit 2,25 cm. Rechnerische Lösung: Winkelergänzung führt zu F1FF2 = Das entspricht 900 km. 30° Damit sind vom F1FF2 zwei Seiten und der von diesen eingeschlossene Winkel bekannt Kosinussatz: F1F2 = 900,940 km F1F22 = 1600² + 1800² - 2 1600 1800 cos 30°
Zwecks genauer Standortbestimmung peilt man von einem in Küstennähe fahrenden Schiff S einen Schornstein T in Richtung N 33,0° O und einen Leuchtturm L in Richtung N 48,2° W an. Aus der Seekarte entnimmt man die Strecke LT = 18,3 sm und ihre Richtung N 82,1° O. a) Wie weit ist das Schiff vom Leuchtturm entfernt? b) Welchen Kurs muss das Schiff fahren, um den Leuchtturm im Abstand von 6,5 sm zu passieren? Aufgabenpraktikum Nautik Folie 29 N a) gesucht ist Seite t N T 18,3 sm Winkelergänzung führt zu LST = 82,1° 49,1° L 48,2° + 33,0° 49,7° = 81,2° 33,0° TLS = 180° - 82,1° - 48,2° 48,2° b) = 49,7° t 81,2° STL = 180° - 81,2° - 49,7° = 49,1° S Sinussatz führt zu sin = t sin 49,1° 18,3 sm sin 81,2° 6,5 sm = 6,5 sm 13,997 sm = 27,7° Kurs = 27,7° + 48,2° Kurs = N 75,9° W t = 13,997 sm
