6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE (ultima modifica04/12/2012)

1. Generalmente quando un’onda elettromagnetica oi incide una interfaccia che separa due mezzi di natura diversa (e quindi con impedenza intrinseca diversa ), in parte viene riflessaore in parte viene rifrattaot, ossia attraversa l’interfaccia cambiando la direzione. Se il mezzo è un conduttore le onde elettromagnetiche non possono propagarsi in esso, infatti nei conduttori: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE(ultima modifica04/12/2012) or ot oi 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

2. Onde piane nei mezzi dissipativi privi di sorgenti In un mezzo dissipativo privo di sorgenti l’equazione di Helmholz da risolvere per determinare le onde elettromagnetiche è: dove il numero d’onda è un numero complesso : La costante di propagazione tale che: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

3. Poiché: l’equazione di Helmholtz diventa: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

4. x z y Nella ipotesi che: l’onda sia linearmente polarizzata nella direzione x, la soluzione dell’equazione di Helmholz é : un’onda piana uniforme che si propaga nella direzione ze da si ottiene con  fattore e costante di attenuazione in [Np/m]  fattore e costante di fase in [rad/m]  equivale l’attenuazione in ampiezza per 1 m di propagazione  equivale sfasamento dell’onda 1 m di propagazione. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

5. Quindi le soluzioni del campo elettrico e magnetico sono: Trascurando il fattore di attenuazione α, le relazioni diventano: ****************************************************************************************************************************************************************** Queste ultime relazioni saranno utilizzate per lo studio della trasmissione delle onde in corrispondenza delle interfacce, quando la direzione della propagazione delle onde è sull’asse z. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

6. L’espressione generaledelle onde che si propagano in una direzione generica con versore è : ******************************************************************************************************************************************************************* Queste relazioni saranno utilizzate per lo studio della trasmissione delle onde in corrispondenza delle interfacce, quando la direzione della propagazione delle onde è qualsiasi. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

7. Classificazione dei tipi d’onda fondamentali Nello studio delle onde guidate di solito si classificano le soluzione dell’equazione d’onda nei seguenti tipi: ONDE TEM: onde che non contengono Campo Elettrico e Campo Magnetico nella direzione di propagazione. Esse si chiamano onde trasversali elettromagnetiche perché le linee del campo elettrico e del campo magnetico giacciono interamente su piani trasversali alla direzione di propagazione. Esse sono comunemente usate sulle linee di trasmissione e sono anche chiamate onde principali. ONDE TM: onde che contengono Campo Elettrico, ma non Campo Magnetico nella direzione di propagazione. Sono chiamate onde trasversali magnetiche. ONDE TE: onde che contengono Campo Magnetico, ma non Campo Elettrico nella direzione di propagazione Sono chiamate onde trasversali elettriche. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

8. Per studiare il comportamento delle onde in corrispondenza delle interfacce saranno esaminati quattro casi fondamentali Onda incidente su una interfaccia piana tra un mezzo privo di perdite (dielettrico)1=0, e una superficie conduttrice 2= Incidenza normale dell’onda in un’interfaccia piana Incidenza obliqua dell’onda in un’interfaccia piana, con un angolo di incidenza i , polarizzazione perpendicolareal p.i.* del campo elettricoun’onda elettrica trasversale (TE) polarizzazione parallela al p.i.* del campo elettricoun’onda magnetica trasversale (TM) 2) Onda incidente su una interfaccia piana tra due dielettrici di permettività ε1 e ε2 nei casi: a) Incidenza normale in una interfaccia piana tra due dielettrici b) Incidenza obliqua su una interfaccia piana tra due dielettrici con un angolo di incidenza i ****************************************************************************************************************************************************************** * p.i. piano d’incidenza 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

9. x · y z · 1=0 2= 1) Onda viaggiante in un mezzo privo di perdite (dielettrico)1=0, incidenza su una superficie conduttrice 2= incidenza dell’onda normale al piano di incidenza nella direzione z. Se la polarizzazione del campo elettrico incidente è parallela al piano di incidenza, le espressioni del campo elettrico e magnetico incidenti nel mezzo 1 sono: Per il sistema scelto, la variabile z é negativa nel mezzo 1 e positiva nel mezzo 2. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

10. Eio è l’ampiezza del campo elettrico in z = 0 1 è la fase costante e è l’impedenza intrinseca del mezzo 1. La direzione del vettore di Poynting: dell’onda incidente, coincide con la direzione della propagazione dell’onda e della energia, ossia dell’asse z, essendo normale al campo elettrico e al campo magnetico . 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

11. Nel mezzo 2 ( conduttore perfetto) sia il campo elettrico che il campo magnetico sono nulli e quindi risulta nullo anche il vettore di Poynting : Quindi nessuna onda é trasmessa attraverso l’interfaccia, per cui l’energia trasmessa sarà totalmente riflessa nell’interfaccia con un’onda riflessa uguale a: ************************************************************************************************************************************************************* L’esponente con il segno positivo indica una direzione di trasmissione z opposta a quella dell’onda incidente. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

12. L’intensità totale del campo elettrico nel mezzo 1 sarà pari alla somma dell’onda incidente e dell’onda riflessa : Per determinare l’onda riflessa occorre imporre le condizioni al contorno, ossia la continuità della componente tangenziale del campo (essendo un versore tangente alla interfaccia), per z = 0 deve essere: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

13. Dunque l’onda incidente è: dove il segno negativo dell’esponente significa che le onde incidenti viaggiano nella direzione z, e l’onda riflessa è così caratterizzata: con il segno positivo dell’esponente che significa che le onde riflesse viaggiano nella direzione -z. versore nella direzione di propagazione dell’onda riflessa. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

14. Quindi le intensità del campo elettrico e del campo magnetico totalinel mezzo 1, saranno rispettivamente uguali a: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

15. Da queste relazioni risulta che in funzione della coordinata spaziale z: il campo magnetico é massimo per z = 0 (fun. sinusoidale di z) e il campo elettrico è minimo per z=0 (fun. cosinusoidale di z). In particolare si verifica che per un istante e per due volte in ogni periodo, tutta l’energia sia immagazzinata nel campo elettrico (quando si annulla e è massimo) e dopo 90° tutta energia è immagazzinata nel campo magnetico (quando si annulla e è massimo). 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

16. Essendo l’andamento nello spazio dei campi elettrico e magnetico totali nel mezzo 1 è: l’andamento nello spazio e nel tempo dei campi elettrico e magnetico totali nel mezzo 1 sarà: L’onda totale nel mezzo 1 non é un’onda viaggiante, ma un’onda fissa che risulta dalla sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

17. I campi hanno zeri e massimi a distanze fisse dalla interfaccia con il conduttore, che dipendono dai valori di (fase intrinseca del mezzo ), ossia: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

18. Onde stazionarie per diversi valori di t dei campi Al variare del tempo i valori massimi e minimi variano, ma sempre in corrispondenza degli stessi valori di z Sulla superficie del conduttore per z=0, il campo elettrico è nullo e il campo magnetico è massimo. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

19. x x + + 2= y y 1=0 r r Premessa Incidenza obbliqua dell’onda Piano di incidenza: Piano che contiene il versore indicante la direzione di propagazione dell’onda incidente e la normale alla interfaccia. Polarizzazione del campo elettrico parallela al piano di incidenza normale al piano di incidenza z z i i · · 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

20. x z x + y r 1) Onda viaggiante in un mezzo privo di perdite (dielettrico) 1=0, incidenza su una superficie piana conduttrice 2= b.1) incidenza obliqua dell’onda con un angolo di incidenza i Nel caso di polarizzazione perpendicolare del campo elettrico , risulta perpendicolare al piano di incidenza. Il versore della direzione di propagazione è: essendo il’angolo di incidenza z i 1=0 2= · 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

21. Le onde incidenti essendo , saranno: L’ onda riflessa avrà un versore : 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

22. E1y H1x Quindi le intensità del campo elettrico e del campo magnetico totalinel mezzo 1, considerando l’onda incidente e l’onda riflessa, saranno rispettivamente uguali a: H1z 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

23. Le relazioni trovate risultano complesse, ma si possono fare le seguenti considerazioni: in corrispondenza della interfaccia il campo elettrico totale deve annullarsi e dalla espressione di deve risultare che: Er0 = -Ei0 ei= r l’angolo di incidenza deve essere uguale all’angolo di riflessione, secondo la legge di Snell della riflessione Nella direzione z (normale alla interfaccia) E1y e H1x ,al variare di z, hanno l’andamento di onde stazionarie in funzione di (sinβ1zcosi z ) e (cos β1zcosi z) , rispettivamente. Non si propaga alcuna potenza media poiché E1y e H1xsono sfasate nel tempo di 90°. Infatti in E1y compare l’operatore j e nel dominio del tempo varia con legge sinusoidale mentre H1x nel dominio del tempo varia con legge cosinusoidale. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

24. x + 2= y 1=0 r Nella direzione x parallela all’interfaccia; E1y e H1z sono in fase nel tempo e che nello spazio. Infatti in entrambi i termini compare l’operatore j e nel dominio del tempo sono entrambi sinusoidali. Quindi si verifica un’onda viaggiante nella direzione x con velocità di fase: e lunghezza d’onda: z i · • l’onda di propagazione nella direzione x é un’onda piana non • uniforme perché la sua ampiezza varia con z. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

25. Dalle espressioni precedenti risulta che: per tutti i valori di x, quando , ossia per tutti i valori di z tali che: In corrispondenza di tali piani z è come se fossero presenti dei piani conduttori, dove il campo elettrico nel mezzo 1 si annulla: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

26. x Conduttore perfetto Piano conduttore fittizio z Quindi in corrispondenza dei piani: si potrebbe inserire un piano conduttore senza che cambi l’andamento del campo, che esiste tra il piano conduttore e l’interfaccia conduttrice. Si ha dunque un’onda elettrica trasversale (TE) (il campo elettrico non ha alcuna componete nella direzione x: E1x= 0) che rimbalza avanti e indietro tra i due piani conduttori propagandosi nella direzione x, con un comportamento analogo a quello di una guida d’onda con piani paralleli. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

27. In conclusione questi campi hanno il comportamento di: un’onda progressiva rispetto alla direzione x, ma di un’onda stazionaria rispetto alla direzione z. Cioè Ex è uguale a zero in ogni istante sia sul conduttore che su piani paralleli al conduttore e posti a distanza (nd) da esso con Ex è una funzione sinusoidale del tempo, ha un’ampiezza che è massima sui piani a distanze multiple dispari di d/2 dal conduttore. Hy è massimo dove Ex è zero ed è nullo dove Ex è massimo, e risulta ovunque sfasato di 90° in ritardo rispetto a Ex. La distanza d tra due massimi e minimi successivi, misurata normalmente al piano, diventa tanto più grande quanto più l’incidenza è obliqua, ossia all’aumentare di θi ( se θi aumenta, cos θi diminuisce e d aumenta). La distanza d diminuisce all’aumentare della frequenza f. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

28. x z x + y r 1) Onda viaggiante in un mezzo privo di perdite (dielettrico) 1=0, incidenza su una superficie conduttrice 2= b.2) incidenza obliqua dell’onda con un angolo di incidenza i Nel caso di polarizzazione del campo elettrico parallela al piano di incidenza,. Il versore della direzione di propagazione è: essendo il’angolo di incidenza z i 1=0 2= · 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

29. Procedendo in maniera analoga si ottengono le seguenti equazioni: E1y E1z H1y 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

30. Nella direzione z (normale alla interfaccia) • E1x e H1y hanno l’andamento di onde stazionarie in funzione di sin β1zcosi z e cos β1zcosi z , rispettivamente. • Non si propaga alcuna potenza media in direzione z poiché E1x e H1y sono sfasate nel tempo di 90° • Nella direzione x parallela all’interfaccia; • E1z e H1y sono in fase nel tempo e nello spazio, quindi si verifica un’onda viaggiante nella direzione x con velocità identica al caso di polarizzazione perpendicolare: • con la stessa lunghezza d’onda: • l’onda di propagazione nella direzione x é un’onda piana non uniforme . 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

31. Dalle espressioni precedenti risulta che: per tutti i valori di x, quando , ossia per tutti i valori di z tali che: In corrispondenza di tali piani z è come se fossero presenti dei piani conduttori, dove il campo elettrico nel mezzo 1 si annulla: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

32. Procedendo in maniera analoga si dimostra che in questo caso un’onda magnetica trasversale TM ( il campo magnetico non ha alcuna componete nella direzione x: H1x=0) , si propaga nella direzione x rimbalzando avanti indietro tra i due piani conduttori (una reale coincidente con l’interfaccia conduttore-dielettrico e uno fittizio a distanza: con un comportamento analogo a quello di una guida d’onda con piani paralleli. La velocità di propagazione è la stessa ottenuta nel caso precedente, ossia per la polarizzazione del campo elettrico perpendicolare al piano di trasmissione. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

33. x y z mezzo 1 mezzo 2 + Incidenza normale in un’ interfaccia piana tra due dielettrici Quando un’onda elettromagnetica è incidente su una superficie di un mezzo dielettrico avente un’impedenza intrinseca diversa da quella del mezzo nel quale l’onda è stata originata, una parte della potenza incidente è riflessa e una parte è trasmessa. Nella ipotesi che i mezzi siano non dissipativi (1= 2=0) e che l’onda incidente sia normale all’interfaccia i fasori del campo elettrico e magnetico sono: z è negativo nel mezzo 1. . 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

34. A causa della discontinuità in z = 0, l’onda incidente è in parte riflessa nel mezzo 1 e in parte trasmessa nel mezzo 2. Si ha a) per l’onda riflessa b) per l’onda trasmessa 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

35. Dove Et0 è l’ampiezza di per z=0, e  e  sono la fase costante e l’impedenza intrinseca del mezzo 2. Si noti che i versi di riportati in figura sono arbitrari perchè Er0 e Et0 possono essere positive o negative in funzione dei relativi parametri costitutivi dei due mezzi. Per determinare Er0 e Et0 sono necessarie due equazioni. Queste equazioni si ottengono dalle condizioni al contorno che devono essere soddisfatte dai campi elettrico e magnetico. Sull’interfaccia dielettrica in z = 0 le componenti tangenziali (componenti nella direzione x del sistema di riferimento assunto) delle intensità del campo elettrico e magnetico totali devono essere uguali (o continue): 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

36. Nella interfaccia per z = 0 , si ha che le componenti tangenziali (componenti nella direzione x del campo elettrico e magnetico) devono essere continue. Poiché nel mezzo 1 sono presenti l’onda incidente e l’onda riflessa e nel mezzo 2 è presente la sola onda trasmessa, deve essere: e risolvendo le equazioni si ottiene: definendo: Er0 / Ei0 = coefficiente di riflessione e Et0 / Ei0 = coefficiente di tramissione τ. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

37. il coefficiente di riflessione e coefficiente di tramissione τ In funzione delle impedenze intrinseche sono uguali a: il coefficiente di riflessione può essere positivo o negativo a seconda che 2 sia > o < di 1.  può essere positivo o negativo ma in valore assoluto è sempre | | 1, in quanto dal punto di vista energetico nessuna onda riflessa può essere più grande dell’onda incidente. il coefficiente di trasmissione è sempre positivo. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

38. I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono legati tra di loro dalla seguente equazione adimensionale: 1 + =  Infatti: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

39. x Onda riflessa Onda rifratta O’ A’ B A t r z i O mezzo 1 mezzo 2 Onda incidente Incidenza obliqua su una interfaccia piana tra due dielettrici Si suppone che i due mezzi siano privi di perdite e abbiano parametri costitutivi (1,1) e (2,2). A causa della discontinuità del mezzo nella interfaccia una parte dell’onda incidente è riflessa e una parte è trasmessa. Le linee AO, O’A’,O’B sono le intersezioni dei fronti d’onda (superfici a fase costante) col piano d’incidenza delle onde incidente, riflesse e trasmessa rispettivamente. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

40. x Onda riflessa Onda rifratta O’ A’ B A t r z i O mezzo 1 mezzo 2 Onda incidente Poichè sia l’onda d’incidenza che l’onda riflessa si propagano nel mezzo 1 con la stessa velocità di fase up1, per cui ↓ le distanze OA’ e AO’ devono essere uguali quindi : OO’ sinr = OO’ sini o r = i Queste equazioni dimostrano che l’angolo di riflessione e uguale all’angolo di incidenza secondo la legge di riflessione di Snell. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

41. x Onda riflessa Onda rifratta O’ A’ B A Y t r z i O mezzo 1 mezzo 2 Onda incidente Il tempo necessario nel mezzo 1 per trasmettere l’onda da O a B é uguale al tempo necessario per trasmetterla da A a O’ tOB=tAO’ e si ha: n1 e n2 rappresentano gli indici di rifrazione dei mezzi 1 e 2 rispettivamente. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

42. Per indice di rifrazione di un mezzo si intende il rapporto della velocità della luce (onde elettromagnetiche) nello spazio libero e della velocità nel mezzo: n= c/up. La relazione trovata rappresenta la legge di Snell della rifrazione: essa stabilisce che in una interfaccia tra due mezzi dielettrici, il rapporto del seno dell’angolo di rifrazione (trasmissione) nel mezzo 2 e il seno dell’angolo di incidenza nel mezzo 1 é uguale al rapporto inverso degli indici di rifrazione. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

43. Per i mezzi non magnetici ***1= 2= 0 , l’equazione diventa: dove 1 ed 2 sono le impedenze intrinseche del mezzo. Se il mezzo 1 é lo spazio libero ( vuoto o aria) tale che r1=1 e n1=1, l’equazione si riduce a: essendo: l’onda piana incidente obliquamente su una interfaccia con un mezzo più denso del vuoto o aria, in corrispondenza della interfaccia si inclina ulteriormente rispetto alla normale (allontanandosi dalla direzione della normale). ***I mezzi non magnetici hanno un comportamento magnetico analogo all’aria  = 0 ε0 =8.856 10-12[F/m] e µ0= 1.256 10--6[H/m] 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

44. Le leggi di riflessione e rifrazione di Snell valide anche per la trasmissione delle onde elettromagnetiche, sono indipendenti dalla polarizzazione dell’onda. Riflessione totale Poiché all’aumentare dell’angolo di incidenza aumenta l’angolo di rifrazione, ci sarà un valore dell’angolo di incidenza per il quale l’angolo di rifrazione sarà perpendicolare alla normale della interfaccia: Si definisce angolo critico di incidenza l’angolo , quello per il quale si verifica che ossia si verifica la condizione di riflessione totale. si determina imponendo che: 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

45. x y z Onda incidente che incide l’interfaccia con un angolo maggiore all’angolo critico di incidenza c Per i > c si ha un’onda evanescente lungo l’interfaccia nella direzione x ed è attenuata esponenzialmente nel mezzo 2 in direzione normale (direzione z). Questa onda risulta strettamente confinata in prossimità della interfaccia ed è chiamata onda superficiale. Essa non è un’onda piana uniforme. In tali condizioni (i > c) non viene trasmessa potenza all’interno del mezzo 2. 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE