Le calcul réfléchi

1. Le calcul réfléchi Un fil rouge pour l’apprentissage du calcul numérique et du calcul littéral

2. Un constatqui questionne • Des résultats faibles en calcul mental à de nombreuses évaluations : • 2001 : 57  9 est réussi à 75%, le quart de 100 à 66% , 2,3  10 à 56% • 2002 : lors de l’évaluation en cinquième, on observe des scores de réussite allant de 11,1% à 57,9% pour les items de calcul mental. • 2003 : les calculs comme 37 :10 ou 3 X 0,5 ne sont réussis qu’à 40%.

3. Evaluation en sixième 2007 • 8 x … = 56 réussi à 55,3% • 35,2 x 100 réussi à 30,7% • 9367 : 100 réussi à 44,1% • 5 kg = … g réussi à 62% • 630 mm = … cm réussi à 58% • 400m = … km réussi à 49,3% • 1,5 L = … cL réussi à 33% • Entourer les nombres égaux parmi les nombres 0,25 0,4 1,4 1/4 réussi à 26,1% 57,7% pensent que 1/4 = 1,4 • 50,5% savent colorier 1/4 de 12 carreaux

4. Un constatqui questionne • Les mécanismes sont souvent la seule réponse des élèves aux questions posées sur les procédés utilisés. • Un esprit insuffisamment critique. • Des difficultés récurrentes en calcul littéral en fin de collège et en début de lycée.

5. L’intelligence du calcul* Le mot « calcul » renvoie plus communément à une activité mathématique automatisable. L’activité de calcul nécessite en fait des formes d’intelligence comme le choix des représentations des objets les mieux adaptées, l’anticipation, l’interprétation et le contrôle des résultats. * Conférence de Michèle Artigue à Saint-Flour, aôut 2005

6. Un objectif Constituer pour chaque élève, un répertoire de résultats, de formes, de techniques, de situations, lui donner ainsi des repères solides qui lui permettront, pour chaque calcul : • de prendre des initiatives, • de faire des choix, • d’interpréter des représentations symboliques.

7. Ce que nous cherchons à développer • Des compétences diverses en calcul mental, une activité régulière. • L’esprit critique. • L’utilisation de l’ordre de grandeur comme moyen possible de vérification. • La prise d’initiative. • L’autorisation de se tromper. • L’étalement des connaissances et des techniques. • La prise en compte des diverses procédures et de tous les résultats.

8. La pratique quotidienne du calcul réfléchi Celui qui permet de reconstruire les calculs par des raisonnements appropriés. Extension au calcul réfléchi littéral.

9. La pratique quotidienne du calcul réfléchi • Travail de début d'heure (5-10 min) • Une fiche questions / réponses, avec éventuellement un peu de place pour de petites recherches. • Les élèves écrivent la question. • Avantage de l'écrit : chaque élève s'y retrouve, a un repère et, pour nous, il est plus facile de cerner les difficultés.

10. La pratique quotidienne du calcul réfléchi • Tous les résultats sont pris en considération et écrits au tableau. • Toutes les procédures sont acceptées pour les réponses, sauf de poser les opérations. • Chaque calcul est analysé en profondeur à travers les erreurs commises et les propriétés en jeu. • Chaque type de calcul est régulièrement revu. On révise quotidiennement. • Une journée au moins de maturation entre deux calculs de même type.

11. La pratique quotidienne du calcul réfléchi • Développer / consolider des automatismes • Préparer / commencer l'introduction de nouvelles notions • Revenir sur des notions qui ont eu du mal à passer / ont été oubliées / mal assimilées... • Ce travail permet d'entretenir les connaissances des règles et techniques dans le temps

12. Une crainte : la perte de temps • Crainte tout à fait légitime due à la peur de ne pas finir les programmes (plus le niveau est élevé, plus la crainte grandit...) • Il faut se convaincre du contraire et se persuader que le calcul réfléchi va nous en faire gagner. • On en gagne beaucoup au moment d'étudier une notion déjà travaillée et préparée en calcul réfléchi (addition des relatifs en 5ème, racine carrée en 3ème)

13. Une crainte : la perte de temps • On évite les séances de révisions fastidieuses et souvent peu utiles • On ne s'acharne plus sur une notion posant problème en multipliant les exercices techniques stériles (calcul littéral...), on sait qu'on reviendra dessus un peu plus tard en calcul réfléchi, avec de la maturité en plus, une approche différente, ...

14. Les premiers apports de cette pratique • Les élèves comprennent rapidement que dans cette activité là, au moins, ils ont « le droit » de se tromper. • Intérêt de la grille : on favorise les rapprochements et les retours en arrière. • Augmentation de la confiance en soi.

15. Une véritable activité mathématique • On crée régulièrement du doute, on installe le couple proposition/questionnement, on amène régulièrement l’élève à faire des conjectures. • On réfléchit, on raisonne, on analyse les erreurs, on développe l’esprit critique. • 70 + 80 70 x 80 • 0,8 : 0,2 12 x …. =3

16. Essais et tâtonnements • On encourage les élèves à procéder par essais pour trouver les résultats de certains calculs : 70 x …. = 14 352 : 16 6 : 0,03

17. Changement de registre • On amène l’élève à changer lui-même de registre de représentation pour le traitement de certains calculs. • On utilise ce changement de registre pour le traitement de certaines erreurs. • 12 x 0,25 1,3 + 0,15 • -7 + (- 9)

18. Utilisation de l’ordre de grandeur • On amène l’élève à utiliser lui-même l’ordre de grandeur comme outil d’approche et de contrôle. • Parmi plusieurs réponses, on l’amène à reconnaître celles qui sont sûrement fausses. 3,1 x 200 31,1 x 0,2 27²

19. Etalement des connaissances • Chaque type de calcul est régulièrement revu. • Petits problèmes de proportionnalité. • Conversions d’unités de distance, de volume, de durée. • Travail interdisciplinaire plus facile à intégrer.

20. Procédures diverses • On essaie de prendre en compte les différentes procédures existant dans la classe • 3h 18min – 1h 29min • 10 km en 40 min ….km en 1 h • 30% de 120 • 1kg 4€ 800g ….

21. Le calcul réfléchi littéral • Une rencontre critique régulière avec des expressions basiques du calcul littéral et une progression des apprentissages sur les deux années de cinquième et quatrième permettent de mieux ancrer les connaissances. • Le traitement des erreurs commises, la mise en évidence des propriétés en jeu sont des conditions nécessaires à une bonne maîtrise du calcul littéral.

22. Le calcul réfléchi littéral • Travail régulier sur les différents statuts de la lettre et la vérification. • Développement de l’esprit critique. • Associativité, commutativité, distributivité : 3x  5x 3x  5x 3x  5x  2 3x  5x  2 4(x 5)4x² pour x = 3 • On ajoute des difficultés (relatifs, fractions) au fil des acquisitions.

23. Le calcul réfléchi littéral • On anticipe. • Les produits remarquables sont remarqués : (x + 7)² (x + 7)(x – 7) • x² = 25 x² = - 25 • x² = 6 x² = - 6 • x² =

24. Introduction de certaines notions et traitement d’une partie de ces notions • Produits de deux décimaux en sixième. • Nombres relatifs en cinquième. • Sommes d’entiers et de fractions en cinquième. • Quotients de deux décimaux en sixième-cinquième. • Relatifs et puissances en quatrième. • Racines carrées en troisième.

25. Racines carrées

26. Calcul réfléchi et socle. Connaissances. • Les nombres décimaux, relatifs, les fractions et les puissances. • Les quatre opérations et leur sens. • Les techniques élémentaires du calcul mental. • Les éléments du calcul littéral simple. • Le calcul de la valeur d’une expression littérale pour différentes valeurs des variables. • Les identités remarquables. • La proportionnalité. • Les principales grandeurs.

27. Calcul réfléchi et socle. Capacités. • Raisonner logiquement, démontrer. • Communiquer en utilisant un langage mathématique adapté. • Effectuer mentalement des calculs simples. • Déterminer rapidement un ordre de grandeur. • Comparer, additionner, soustraire et multiplier les nombres en écriture fractionnaire. • Contrôler la vraisemblance d’un résultat. • Traiter des situations de proportionnalité. • Maîtriser les principales unités de mesure. • Prendre part à un débat. • Prendre en compte les propos d’autrui.

28. Calcul réfléchi et socle. Capacités. • Savoir écouter, faire valoir son point de vue. • Savoir distinguer un argument rationnel d’un argument d’autorité. • Savoir respecter des consignes. • Etre capable de raisonner avec logique et rigueur. • Identifier un problème et mettre au point une démarche de résolution. • Identifier, expliquer, rectifier une erreur. • Mettre à l’essai plusieurs pistes de solution. • Développer sa persévérance. • Prendre des décisions, s’engager et prendre des risques en conséquence.

29. Calcul réfléchi et socle. Attitudes. • Ouverture à la communication, au dialogue et au débat. • Respect de la vérité rationnellement établie. • Goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver. • Respect de soi et des autres. • Volonté de se prendre en charge personnellement. • Volonté d’exploiter ses facultés intellectuelles. • Conscience de la nécessité de s’impliquer. • Curiosité et créativité. • Motivation et détermination dans la réalisation d’objectifs.