Fungsi Komposisi

1. Fungsi Komposisi

2. Setelah menyaksikan • tayangan ini anda dapat • Menentukan: • fungsi komposisi • salah satu fungsi • jika fungsi komposisi • dan fungsi yang lain • diketahui

3. Fungsi • Suatu relasi dari A ke B • yang memasangkan • setiap anggota A ke • tepat satu anggota B • disebut fungsi atau pemetaan • dari A ke B

4. Notasi Fungsi • Suatu fungsi atau pemetaan • umumnya dinotasikan dengan • huruf kecil. • Misal, f adalah fungsi dari A ke B • ditulis f: A → B • A disebut domain • B disebut kodomain

5. Range atau Daerah Hasil • Jika f memetakan • x  A ke y  B • dikatakan y adalah peta dari x • ditulis f: x → y atau y = f(x). • Himpunan y  B • yang merupakan peta dari x  A • disebut range atau daerah hasil

6. contoh 1 • Perhatikan gambar pemetaan • f : A → B f 1 2 3 4 5 a b c d domain adalah A = {a, b, c, d} kodomain adalah B = {1, 2, 3, 4, 5} A B

7. Perhatikan gambar pemetaan f : A → B f 1 2 3 4 5 a b c d f(a) = 1, f(b) = 2 f(c) = 3, f(d) = 4 range adalah R = {1, 2, 3, 4} A B

8. contoh 2 • Misal f: R → R • dengan f(x) = √1 - x2 • Tentukan domain dari fungsi f.

9. Jawab • Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2 • maka haruslah 1 – x2≥ 0. • 1 – x2≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau • (x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1. • Jadi, domain fungsi tersebut • adalah -1 ≤ x ≤ 1.

10. contoh 3 • Misal f: R → R • dengan f(x – 1) = x2 + 5x • Tentukan : a. f(x) • b. f(-3)

11. Jawab • Misal y = x – 1 maka x = y + 1 • karena f(x – 1) = x2 + 5x • maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1) • f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5 • f(y) = y2 + 7y + 6

12. f(y) = y2 + 7y + 6 a. f(x) = x2 + 7x + 6 b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6 = 9 – 21 + 6 = -6

13. Komposisi Fungsi • Penggabungan operasi dua fungsi • secara berurutan akan • menghasilkan sebuah fungsi baru. • Penggabungan tersebut disebut • komposisi fungsi dan hasilnya • disebut fungsi komposisi.

14. A B C x y z g f x  A dipetakan oleh f ke y  B ditulis f : x → y atau y = f(x) y  B dipetakan oleh g ke z  C ditulis g : y → z atau z = g(y) atau z = g(f(x))

15. A B C g f x y z g o f maka fungsi yang memetakan x  A ke z  C adalah komposisi fungsi f dan g ditulis (g o f)(x) = g(f(x))

16. B A C g f a b p q 1 2 3 • contoh 1 • f : A → B dan g: B → C • didefinisikan seperti pada gambar • Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)

17. B A C g f a b p q 1 2 3 • Jawab: (g o f)(a) = ? f(a) = 1 dan g(1) = q Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q

18. B A C g f a b p q 1 2 3 (g o f)(b) = ? f(b) = 3 dan g(3) = p Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p

19. contoh 2 • Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). • Jika f(x) = 2x + p dan • g(x) = 3x + 120 • maka nilai p = … .

20. Jawab: • f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 • g(f(x)) = f(g(x)) • g(2x+ p) = f(3x + 120) • 3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p • 6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p • 3p – p = 240 – 120 • 2p = 240  p = 60

21. Sifat Komposisi Fungsi • Tidak komutatif: • f o g ≠ g o f • 2. Bersifat assosiatif: • f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h • 3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x • f o I = I o f = f

22. contoh 1 • f : R → R dan g : R → R • f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5 • Tentukan: a. (g o f)(x) • b. (f o g)(x)

23. Jawab: • f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5 • (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x– 1) • = 2(3x– 1)2 + 5 • = 2(9x2 – 6x + 1) + 5 • = 18x2 – 12x + 2 + 5 • = 18x2 – 12x + 7

24. f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5 b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2+ 5) = 3(2x2+ 5) – 1 = 6x2 + 15 – 1 (f o g)(x) = 6x2 + 14 (g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7 (g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif

25. contoh 2 • f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan • h(x) = 1/x • Tentukan: a. (f o g) o h • b. f o (g o h)

26. Jawab: • f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 • dan h(x) = 1/x • ((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x)) • (f o g)(x) = (x2 – 1) – 1 • = x2 – 2 • (f o g(h(x))) = (f o g)(1/x) • = (1/x)2 – 2

27. f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan h(x) = 1/x (f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x)) (g o h)(x)= g(1/x) = (1/x)2 – 1 = 1/x2 - 1 f(g o h)(x)= f(1/x2 – 1) = (1/x2 – 1) – 1 =(1/x)2 – 2

28. contoh 3 • I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1 • Tentukan: • (f o I)(x) dan (g o I) • (I o f) dan (I o g)

29. Jawab: • I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1 • (f o I)(x) = x2 • (g o I)(x) = x + 1 • (I o f)(x) = x2 • (I o g)(x) = x + 1 • (I o f)(x) = (f o I) = f

30. Menentukan • Suatu Fungsi • Jika Fungsi Komposisi • dan • Fungsi Yang Lain Diketahui

31. Contoh 1 • Diketahui f(x) = 3x – 1 • dan (f o g)(x) = x2 + 5 • Tentukan g(x).

32. Jawab • f(x) = 3x – 1dan (f o g)(x) = x2 + 5 • fg(x)] = x2 + 5 • 3.g(x) – 1 = x2 + 5 • 3.g(x) = x2 + 5 + 1 = x2 + 6 • Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)

33. contoh 2 • Diketahui g(x) = x + 9 dan • (f o g)(x) = ⅓x2 – 6 • maka f(x) = … .

34. Jawab: • g(x) = x + 9 • (f o g)(x) = f(g(x)) = ⅓x2 – 6 • f(x + 9) = ⅓x2 – 6 • Misal: x + 9 = y  x = y – 9 • f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6

35. f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6 = ⅓(y2 – 18y + 81) – 6 = ⅓y2 – 6y + 27 – 6 Jadi f(x) = ⅓x2 – 6x + 21

36. contoh 3 • Diketahui f(x) = x – 3 dan • (g of)(x) = x2 + 6x + 9 • maka g(x – 1) = … .

37. Jawab: • f(x) = x – 3; • (g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9 • g(x – 3) = x2 + 6x + 9 • Misal: x – 3 = y  x = y + 3 • g(y) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9 • = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9

38. g(y) = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9 = y2 + 12y + 36 g(x – 1) = (x – 1)2 + 12(x – 1) + 36 = x2 – 2x + 1 + 12x – 12 + 36 = x2 + 10x + 25 Jadi g(x – 1) = x2 + 10x + 25

39. Contoh 4 • Diketahui f(x) = 2x + 1 • dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x + 1 • Nilai g(-2) =….

40. Jawaban: • f(g(x + 1))= -2x2 – 4x + 1 • f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1 • f(g(x + 1)) = 2g (x + 1) + 1 • 2g(x + 1) + 1 = -2x2 – 4x – 1 • 2g(x + 1) = -2x2 – 4x – 2 • g(x + 1) = -x2 – 2x – 1

41. g(x + 1) = -x2 – 2x – 1 g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1 g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) – 1 = -1 – 2 – 1 = -4 Jadi g(2) = - 4