Ensino Superior

1. Ensino Superior Cálculo 3 9. Integrais Duplas Volumes Amintas Paiva Afonso

2. Integrais Duplas - Volume • Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.

3. y d R c a x b f : IR2  IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d] • Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R = [a,b] x [c,d] = { (x,y)  IR2| a < x < b, c < y < d }

4. z y x f  0 em IR Q = {(x,y,z) | (x,y)  IR e 0  z  f(x,y)} • e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Q • Seja Q o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de Q, ou seja, • Q = {(x,y,z)  IR3| (x,y)  R, • 0  z  f(x,y)} Volume deQ= V = ? R

5. Partição de R • O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , yj], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. Rij = [xi-1,xi] x [yj-1,yj ] = {(x,y) | xi-1< x < xi , yj-1< y < yj } cada um dos quais com área A = xy.

6.                                                       Partição de R y R Rij d (xij , yij) yj y yj-1 y2 y1 c a xi xi-1 b x1 x2 x x

7. Integrais Duplas - Volume • Se escolhermos um ponto arbitrário (xij,yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de Q que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij,yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:. Vij = f(xij,yij)A.

8. Integrais Duplas - Volume Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de Q: Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

9. Integrais Duplas - Volume z Q f (xij , yij) Vij y R (xij , yij) x V =

10. Integrais Duplas - Volume

11. Definição • Considere uma função z = f (x, y) contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy. • Traçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região D por pequenos retângulos.

12. Definição • Considere somente os retângulos Rkque estão totalmente contidos em D, numerando-os de 1 a n. Em cada retângulo Rk, tome o ponto Pk= (xk, yk) e forme a soma • SOMA DE RIEMANN: onde Ak= xk . yké a área do retângulo Rk. • Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos ficam cada vez menores. Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos Rktende a zero quando n tende ao infinito.

13. Definição • Então, se existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA de f (xk ,yk)Aksobre a região D. Denota-se por:

14. Interpretação Geométrica • Se f (x, y)  0, f (xk, yk)Akrepresenta o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo Rke cuja altura é f (xk , yk). • A soma de Riemann é a aproximação do volume limitado abaixo da região z e acima de D.

15. Interpretação Geométrica • Assim, se z = f (x, y)  0, então é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y) e inferiormente pela região D.

16. Interpretação Geométrica Área da Região D Se f(x, y) = 1  P(x, y)  D, então, V = 1.áreaD. Logo:

17. Cálculo de Volumes - Aplicações A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)

18. Cálculo de Volumes - Aplicações Para f (x, y)  0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região De lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

19. Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 - x - y inferiormente pela região delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Resposta: V = 15/4 u.v. • Assim, 0  x  2 e , logo a região é do Tipo I e podemos integrar deste modo: Exemplos • Representamos na Figura a região R (base deste sólido):

20. Teorema de Fubini

21. Teorema de Fubini

22. 3 3 Exercícios 1) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1º octante.

23. Exercícios 2) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0. Resposta: 32 u.v

24. a a a Exercícios 3) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros x2 + y2 = a2e x2 + z2 = a2. Resposta: 2a3/3 u.v.

25. Exercícios 4) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z = 2x + y + 4 e inferiormente por z = − x − y + 2 e lateralmente pela superfície definida pelo contorno da região D limitada pelas curvas y = x2 – 4 e

26. Exercícios Resposta: -22/15 u.v.

27. Exercícios 5) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Primeiro, observamos que S é o sólido que se encontra sob a superfície e acima de Resposta: 48

28. y = 2x y = x2 Exercícios 6)Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. Resposta: 216/35

29. Exercícios 8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

30. Exercícios 8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Resposta: 1/3

31. Exercícios