Algoritmer och datastructurer - Sökträd, naiva och balancerade lösningar -HashTable

1. Algoritmer och datastructurer -Sökträd, naiva och balancerade lösningar -HashTable -- Kapitel 19, 20.

2. Speciella träd -Binära Sökträd • Har ordnade element • Mindre värde till vänster • Högre värde till höger 7 2 9 11 1 5 3

3. Är det ett sökträd? 7 2 9 11 1 5 8 3

4. Implementation – noden class Node <AnyType> { AnyType element; Node left; Node right; Node( AnyType data) { element=data; left=right=null; } } 3

5. ...och BinarySearchTree public class BinarySearchTree <AnyType extends Comparable<? super AnyType> > { Node <AnyType> root; public BinarySearchTree() { root=null; } -public void insert -public nbrOfNodes -public remove -public find , findMin, findMax }

6. Insert () 6 7 2 9 11 1 5 3

7. Insert () 6 7 2 9 11 1 5 3

8. Insert () 6 7 2 9 11 1 5 3

9. Insert () 7 2 9 6 11 1 5 3

10. BinarySearchTree-insert (Comparable x) public void insert ( Comparable x){ root = isert(x, root);} public BinaryNode insert( Comparable x, BinaryNode t){ if(t==null) t= new BinaryNode(x); else if ( x.compareTo(t.element)<0) t.left=findPlaceAndLink(x, t.left); else if (x.compareTo(t.element)>0) t.right=findPlaceAndLink(x, t.right); else throw new DuplicateException(" No dublicates"); return t; }

11. Binära Sökträd – metoden find()-mycket kort söktid

12. Binära Sökträd – metoden findMax()-mycket kort söktid

13. BinarySearchTree-find( ) public String find ( Comparable x){ BinaryNode n= findNode( x, root); if(n==null) return null; else return n.element; } public BinaryNode findNode( Compare x, BinaryNode t){ while( t!=null) { if(x.compareTo(t.element)<0) t=t.left; if(x.compareTo(t.element)>0) t=t.right; else return t ; // hittat!! }return null; // inte hittat !! }

14. Remove () a) Om noden är löv 7 2 9 11 1 5 3

15. Remove () b) Om noden har ett barn 7 2 9 11 1 5 3

16. Remove () c) Om noden har två barn 7 2 3 9 11 1 5 3 Ersätt värdet i noden med den minsta värdet i i det högra delträdet och sedan ta bort den noden 4

17. Farliga specialfall! Trädet blir en länkad lista

18. Lösningen? Balancerade träd • Hur ? Försök hålla djupet av trädet så lågt som möjligt.

19. Hur? • Olika tekniker att balancera • AVL Träd • Red Black Träd • AA Träd

20. Balancerad Search Trees – AVL Ett träd är balancerad om höjdskillnaden mellan den vänstra delträdet och den högra delträdet är maximum 1. 12 8 16 4 10 14 HR=1 HL=2 2 6 HL– HR = 2 – 1 = 1

21. Balanced Search Trees – AVL Ett träd är balancerad om höjdskillnaden mellan den vänstra delträdet och den högra delträdet är maximum 1. 12 8 16 4 10 14 HR=0 HL=1 2 6 HL– HR = 1 – 0 = 1

22. BST: AVL – Balanced? 1 insert 12 8 16 4 10 14 2 6

23. BST: AVL – Rotation höger k1 k2 k2 C k1 B A B C A

24. k1 8 16 4 14 2 6 1 BST: AVL – Rotate right k2 12 10

25. BST: AVL – Rotation vänster k1 k2 k2 A k1 C A B B C

26. 1 4 5 6 2 6 5 6 7 1 1 5 7 AA – Träd • En ny nod skapas alltid som löv och har nivå 1. • En horizontal länk är en förbindelase med en nod med samma nivå. . • Två horisontala länkar är inte tilllåtna. Split!

27. 4 5 4 5 AA – Träd • Vänster länk är inte tilllåten • I det fallat gör – screw!

28. 15 10 15 20 10 20 A B A B AA – Träd : Operation split()

29. 10 15 10 15 A B c A B c AA – Träd : Operation skew()

30. Hash Tabeller? • Varför en annan datastruktur? • Konstant tid för både insert- och find- operationer

31. Hash? ”Daniel” Insert Find =18

32. Hashfunktioner! • Hash functioner använder associerade “key” ( som kan vara data i sig ) . • Hash funktionerna är olika för olika sorts data. • Integers • Images • Strings Etc…

33. Hashing integers? • Tänk 16bit int => 0 – 65 535 • Skapa int[] vec = new int[65536]; • Add i => vec[i]++; • Sök value j => Is vec[j] > 0? • Ta bort value k => vec[k]--; • Men för en ... Java int : 32bit • 4 billion items => impractical!

34. Exempel av hash funktion ”Daniel” D a n i e l 589 68 97 110 105 101 108 + + + + + =

35. Men... • Hur unik är den? • hashfunc(”Daniel”) → 589 • hashfunc(”leinaD”) → 589 • Bättre lösning men….! • hashfunc(”TestValue”) → 129310392 • Wrapp värdet till ett visst intervall • Vilken? Arraystorleken…

36. En bättre hash funktion • Ett bättre sätt att beräkna hash värdet • Om vi har en text sträng av längd n+1 och alla tecken har index An, An-1,...,A0 • gör s = AnXn + An-1Xn-1 +...+ A0X0 = • = ((An)X + An-1)X +...+ A0 • Använd hashValue = s % array.length

37. Och då...... • For example: ”Danne” (((’D’)128 + ’a’)128 + ’n’)128 + ’n’)128 + ’e’ = (((68)128 + 97)128 + 110)128 + 110)128 + 101 = 18 458 851 173 hashValue = 18 458 851 173 % array.length om length = 7919 (prim nummer) => hashValue = 18 458 851 173 % 7919 =2690

38. Hur löser man kollision? • Oavsett hur unika keys en hash- funktionen tar fram, kommer kollisioner alltid att inträffa. • Terminology • Load factor

39. Lösningar • Linear probing ( undersökning ??) • Quadratic probing • Double hashing • Separate chaining

40. Linear probing • Sök fram till näst lediga platsen. hashfunc( ) 10 18 18 X=18 X+1, X+2, X+3, X+4, X+5, ...

41. Linear probing • Fenomen kallat: Primary clusters

42. Linear probing • Bygger upp kluster • Påverkar exekveringstiden för insert () och find()!

43. Quadratic probing • Försök undvika“primary clusters “ • Snabbare än linjär probing • Kvadratisk inkrementation av undersöknings-avståndet X=18 X+12, X+22, X+32, X+42, X+52, ...

44. Quadratic probing • Garantera att hitta fria platser om de finns 12 = 1 22 = 4 32 = 9

45. Double hashing • Använder ytterligare en till hash funktion för att hitta fri plats. X = hash(obj); X2 = hash2(obj); X=18, X2=7 X+1*X2, X+2*X2, X+3*X2, X+4*X2, ... X=18, X2=7 18+1*7, 18+2*7, 17+3*7, 18+4*7, ...

46. Separate chaining • Varje hash-position har en länkad lista. • Påverkar inte andra värdet, probing görs bara i listan. • Varje element i tabellen är en länkad lista.

47. Separate chaining H H H H H H H H H Insert Insert Insert

48. Jämförelse • Linear probing • Enkel • Kan resultera i linjär söktid • Quadratic probing • Kräver Load factor < 0.5 annars rehashing ?? • Kräver primtal för array storleken • Separate chaining • LF < 1 • Ingen dubblering, länkade listor är dynamiska ! • Kan leda till linjär sökning men i verklighetet ganska kort • Double hash probing • Eliminerar kluster

49. Hash tabeller i java • I klassen java.util finns klassen HashMap<K,V> som implementerar interfacet Map<K,V>. public int hashCode() och public boolean equals(Object x) så att man får identisk hashkod för objekt som är lika enligt metoden equals. Anm: För flera av Javas egna klasser är detta redan gjort. T ex klassen String.

50. Använding av HashMap • Antag vi vill vill sätta in Person-objekt i en hashtabell, med nyckel = personens namn: class Person { String name; // namn long pNbr; // personnummer public Person(String n, long pnbr) {...} public boolean equals(Object rhs) { return name.equals(((Person) rhs).name); } // andra metoder i klassen Person }