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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2. CÓNICAS MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN. Cónicas. 1.- Superficie cónica. 2.- Cónicas. 3. Las cónicas como lugares geométricos. 4. Aplicaciones de las cónicas. Cónicas. 1.- Superficie cónica.
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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2 CÓNICAS MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN
Cónicas. • 1.- Superficie cónica. • 2.- Cónicas. • 3. Las cónicas como lugares geométricos. • 4. Aplicaciones de las cónicas.
1.- Superficie cónica. • Superficie cónica, es la que se genera al girar una recta alrededor de otra a la cual corta. • Si se tienen dos rectas,eyg, que se cortan en un puntoV(figura 3.1) y hacemos girar la rectagalrededor dee,se obtiene una figura formada por dos conos infinitos opuestos por el vértice. Es lasuperficie cónicacuya forma depende del ánguloque forman las rectaseyg.
1.- Superficie cónica. g e α V V Fig. 1: Superficie cónica. La recta e se llama eje, todas las rectas g (la inicial y las infinitas posiciones que ésta ocupa al girar alrededor dee) se llaman generatrices, y V es el vértice de la superficie cónica.
2.- Cónicas. • Cónica, es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónicapor un plano que no pasa por su vértice. • El tipo de curva que se obtiene depende del ángulode la superficie cónica y del ánguloβque forma el planoPcon el ejee.
2.- Cónicas. • Siβ > entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Siβ ≤ se obtiene una curva abierta. • A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tomeβ.
2.- Cónicas. Fig. 2: La circunferencia. Siβ = 90ºla intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.
2.- Cónicas. Fig. 3: La elipse. Siβ > yβ < 90ºse obtiene unaelipsetanto más alargada cuanto menor (más próximo a ) sea el ánguloβ.
2.- Cónicas. Fig. 4: La parábola. Siβ = el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamadaparábola.
2.- Cónicas. Fig. 5: La hipérbola. Siβ < entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < β < ) como cuando es paralelo a él (β = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamadahipérbola.
3. Las cónicas como lugares geométricos. • Salvo lacircunferencia, las restantescónicasse pueden definir comolugaresgeométricosa partir de un punto fijoF, llamadofoco, una recta fija,d, llamadadirectriz, y suexcentricidad,e > 0. • Del siguiente modo, ellugar geométricode los puntosPdel plano tales que el cociente de sus distancias aFy ades igual ae(), es unacónicade excentricidade.
3. Las cónicas como lugares geométricos. Laexcentricidadde unacónicaes un número que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulosyβ. Laexcentricidadde lacircunferenciaescero. Es decir, lascircunferenciasno son nadaexcéntricas. Laselipsesson tanto másexcéntricascuanto más alargadas son: si unaelipsees parecida a unacircunferenciasuexcentricidades próxima acero, mientras que si es muy alargada, suexcentricidades próxima auno.
d P P d P d F F F 3. Las cónicas como lugares geométricos. Todas lasparábolastienenexcentricidaduno. Lashipérbolastienen unaexcentricidadmayor queuno. Fig. 3.7 Excentricidad.
4. Aplicaciones de las cónicas. • Lascónicasposeen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. • Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol soncónicas; los faros de los automóviles tienen secciónparabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en laparábolalos rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa.
4. Aplicaciones de las cónicas. • También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de lashipérbolas. • Laparábolase puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamadofocoy de una recta fija llamadadirectriz.
