UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2

1. UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2 PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA. MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN

2. Las Cónicas son: • 1. La parábola. • 2. La elipse. • 3. La hipérbola.

3. 1. La parábola. Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje. Fig. 1: La parábola.

4. 1. La parábola. • Hoy en día dicha propiedad tiene diversas utilidades como pueden ser: los sistemas de radar, las antenas de televisión o los espejos solares, entre otros.

5. 1. La parábola. • Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de formaparabólicade los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones(dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe).Parábolasson también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.

6. 1. La parábola. Además del focoFy de la directrizd, en unaparáboladestacan los siguientes elementos: e : Eje V : Vértice p : Distancia de F a d Fig. 2: Elementos de la parábola.

7. 1. La parábola. • Expresión analítica de la parábola. • Si se hace coincidir el ejeXcon el eje de laparábolay el ejeYpasa por su vértice, entonces la ecuación de laparábolaes: • y 2= 4px • Las curvas de ecuacióny = ax2+ bx + ctambién sonparábolas. Su eje es paralelo al ejeY, y su vértice se encuentra en el punto de abscisa-b/2a.

8. 1. La parábola. • Cuenta la leyenda que Arquímedes, contemporáneo de Apolonio, empleó esta propiedad para defender Siracusa de los romanos quemando las naves de éstos. Para ello, fabricó un sistema de espejos parabólicos que consiguieron concentrar los rayos solares en las naves romanas.

9. 2. La elipse. Es el lugar geométrico de los puntos cuyasumade distancias a dos puntos fijos, llamadosFocos, es constante. Fig. 3:

10. 2. La elipse. • Esta forma de definir unaelipsepermite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero” el cual consiste en lo siguiente: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual ak. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre laelipse. • Además de los focosFyF ’en unaelipsedestacan los siguientes elementos:

11. 2. La elipse. O: Centro AA’: eje mayor BB’: eje menor OF: distancia focal Fig. 4: Elementos de la elipse. Algunas distancias características de laelipsese suelen designar con las letras siguientes:

12. 2. La elipse. Por serrectánguloel triánguloOBF, se cumple la siguiente relación: a2 = b2 + c2 a b c Laexcentricidadde unaelipsese obtiene así:

13. 2. La elipse. • Puesto quec < ase verifica que0 < e < 1, es decir, laexcentricidadde unaelipsees un número comprendido entre0y1. • Las órbitas de todos los planetas sonelipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las másexcéntricasson la de Plutón,e = 0.25, y la de Mercurio,e = 0.21. Los restantes planetas tienen órbitas conexcentricidadesinferiores a0.1, es decir, casi circulares.

14. 2. La elipse.

15. La elipse.

16. 2. La elipse. Propiedades de la elipse. Si desde un puntoPde laelipsese trazan los segmentosPFyPF ’, la bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a laelipse. Fig. 5: Propiedades de la elipse.

17. 2. La elipse. • Otra propiedad de laelipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de losfocosde laelipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otrofoco.

18. 2. La elipse. • Es curiosa la construcción de habitaciones con techos elípticos. Al emitir un sonido desde uno de los focos, éste se escuchará con total nitidez desde el otro foco. Además el sonido tardará el mismo tiempo en transmitirse de un foco al otro sea cual sea la dirección que tomemos para emitirlo. Este efecto también permite la insonorización de habitaciones.

19. 3. La hipérbola. Es el lugar geométrico de los puntos cuyadiferenciade distancias a los puntos fijos, llamadosFocosF(c, 0) yF’(-c, 0) es constante e igual a2a. Fig. 6:

20. 3. La hipérbola. • Lahipérbolatiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Lashipérbolascuyas asíntotas son perpendiculares se llamanhipérbolasequiláteras. • Además de los focos y de las asíntotasryr’, en lahipérboladestacan los siguientes elementos:

21. 3. La hipérbola. O: Centro AyA ’: Vértices : Distancia entre los vértices : Distancia entre los focos Fig. 7: Elementos de la hipérbola.

22. 3. La hipérbola. • El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que • b 2= c 2– a 2 • Laexcentricidadde unahipérbolaes • Puesto quec > ase verifica quee > 1. Es decir, laexcentricidadde cualquierhipérbolaes un número mayor que1.

23. 3. La hipérbola. Una propiedad importante de lahipérbolaes que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ánguloformado por ambos segmentos es tangente a lahipérbola. Fig. 8: Propiedades de la hipérbola.

24. 3. La hipérbola. • Las órbitas de algunos cometas sonhipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar. • Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamadoloran, basado en lashipérbolasy sus propiedades, que permite a los barcos y aviones determinar su posición, sobre una carta marina.

25. 3. La hipérbola. • Los rayos que provienen de uno de los focos de una hipérbola se reflejan de manera que los rayos reflejados parecen provenir del otro foco. Esta propiedad ha sido utilizada para la creación del LORAN, que es un dispositivo de navegación hiperbólica radioeléctrico que se ha empleado y se sigue empleando, claro que en menor medida debido a la aparición del GPS y otros sistemas, para fijar la posición de barcos y aviones.

26. 3. La hipérbola. • Se fundamenta en el cálculo de la diferencia de tiempo con que se obtienen en un receptor las señales que se originan en las dos estaciones emisoras localizadas en la superficie terrestre.

27. FIN